河北省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)生全過(guò)程縱向評(píng)價(jià)三數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省2023屆高三學(xué)生全過(guò)程縱向評(píng)價(jià)（三）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則下列元素屬于的是（）A.3 B.4 C. D.5【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，求出在全集中的補(bǔ)集，判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由，即，解得，所以，則或，因?yàn)?，故A正確；B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.2.已知，那么的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分子有理化，化簡(jiǎn)后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由題意可知，，，由在0,+∞上單調(diào)遞增可得，故選：C.3.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算得解.【詳解】由題意可知，在上的投影向量為：.故選：C.4.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最小值為（）A.1 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的性質(zhì)可得．【詳解】設(shè)，又，則，消去得，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在橢圓上，其右焦點(diǎn)為，，表示復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離，即橢圓的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，則最小值為，所以的最小值為．故選：B.5.已知正四棱臺(tái)，其高為，則此正四棱臺(tái)外接球的直徑為（）A.8 B. C. D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)設(shè)出球心位置，然后根據(jù)勾股定理求解.【詳解】由題意可知，正四棱臺(tái)外接球的球心在正四棱臺(tái)的高上，設(shè)球心位置為，如圖所示，距離下平面距離為，因?yàn)楦邽?，所以，解得，即正四棱臺(tái)下底面中心即為球心，則直徑為，故選：B.6.設(shè)等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，那么等于（）A.10 B.80 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)特征假設(shè)，從而利用題設(shè)條件列式求得，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列an前項(xiàng)和為，所以設(shè)，則，即，兩式相減，得，所以，所以.故選：D.7.已知，那么以下關(guān)于式子的分析判斷正確的選項(xiàng)是（）（1）；（2）上式當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立；（3）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值A(chǔ).以上全正確 B.（1）錯(cuò) C.（2）錯(cuò) D.（3）錯(cuò)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式及求最值條件，逐一分析判斷，即可求解.【詳解】根據(jù)條件，由基本不等式可知，（1）（2）均正確，對(duì)于（3），由基本不等式知，求最小值，則需滿足“一正二定三相等”的原則，求和的最小值，需要乘積為定值，而不為定值，所以（3）錯(cuò)，故選：D.8.已知函數(shù)有零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用零點(diǎn)的意義并作恒等變形，借助函數(shù)單調(diào)性可得，再分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】由，得，即，則，令函數(shù)，則有，而函數(shù)都是R上的增函數(shù)，于是函數(shù)是R上的增函數(shù)，因此，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在時(shí)取得最大值，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的意義建立等式，利用同構(gòu)變形并借助函數(shù)單調(diào)性建立的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為1，那么數(shù)據(jù)的方差為B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，與正相關(guān)C.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么最大值是D.數(shù)據(jù)的分位數(shù)是5【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)回歸直線的含義判斷B；結(jié)合基本不等式判斷C；根據(jù)百分位數(shù)的算法判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：樣本數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為，所以A選項(xiàng)錯(cuò)；B選項(xiàng)：經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，x系數(shù)為正，所以與正相關(guān)，所以B選項(xiàng)對(duì)；C選項(xiàng)：隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，設(shè)成功概率為,則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；D選項(xiàng)，數(shù)據(jù)的分位數(shù)是，D錯(cuò)誤，故選：BC.10.設(shè)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，令即可求解答案；對(duì)于B選項(xiàng)，令即可求解答案；對(duì)于C選項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理的通式進(jìn)行求解即可；對(duì)于D選項(xiàng)，分別令與，然后聯(lián)立方程進(jìn)行求解即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，得，解得：，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，得：，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，當(dāng)時(shí)，得：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，令，得：，由上式，兩式相加得：，解得：，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的對(duì)稱中心B.函數(shù)的定義域?yàn)镃.函數(shù)的最小正周期是D.函數(shù)的解集是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心判斷A，求出正切型函數(shù)定義域判斷B，根據(jù)正切函數(shù)周期判斷C，解正切型函數(shù)不等式判斷D.【詳解】因?yàn)檎泻瘮?shù)的對(duì)稱中心為，則,l可知函數(shù)的對(duì)稱中心應(yīng)為，所以A錯(cuò)誤；由，則fx定義域?yàn)椋訠對(duì)；函數(shù)的最小正周期與函數(shù)的最小正周期相同，都是，所以C對(duì)；函數(shù)等價(jià)于，解之可得：，所以D對(duì).故選：BCD.12.數(shù)列滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由數(shù)列各項(xiàng)不為兩邊同除以得，構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)，求出相應(yīng)項(xiàng)可判斷AB；再結(jié)合不等式性質(zhì)與二項(xiàng)式定理求范圍判斷CD.【詳解】首先證明數(shù)列中任意一項(xiàng)不為.證明：假設(shè)數(shù)列中存在某項(xiàng)，由，得，將代入得則有，即，同理依次遞推可知，這與矛盾.故假設(shè)錯(cuò)誤，即數(shù)列中從第2項(xiàng)起均不為.又已知，故數(shù)列中任意一項(xiàng)不為，得證.由證明結(jié)論可得，由，兩邊同除以得，即，兩邊同加上整理得，，又，所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，所以，即，所以.D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.綜上，，故D正確；A項(xiàng)，，故A正確；B項(xiàng)，，則，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，其中，，則，所以，故C正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造法得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再求出，再一一分析即可.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知，那么__________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】由題意可知，，即：，即，所以.故答案為：.14.在中，，設(shè)邊長(zhǎng)為，若滿足條件的有且只有一個(gè)，則的取值范圍是______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求出范圍.【詳解】在中，由正弦定理，得，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解，則，即，解得，所以的取值范圍是或.故答案為：或15.若曲線圍繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到函數(shù)y=fx的圖象，那么的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】將曲線轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并作出圖象，進(jìn)而求得曲線在原點(diǎn)的切線的傾斜角，數(shù)形結(jié)合可知旋轉(zhuǎn)的角度范圍，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，同時(shí)，曲線方程可化為，所以曲線是圓的一部分，如圖所示，又圓的圓心為，所以圓心與原點(diǎn)連線的斜率為，則它在原點(diǎn)的切線斜率為，所以它在原點(diǎn)的切線的傾斜角為，可知要得到y(tǒng)=fx的圖象，至少要旋轉(zhuǎn)，即它在原點(diǎn)的切線與軸重合，所以的最小值為.故答案為：.16.對(duì)，都有恒成立，那么取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先利用分離常數(shù)法求出，然后求出最值，再根據(jù)恒成立條件即可得【詳解】由題意可知，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立，所以；綜上所述：.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）求出的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，兩式作差，可得，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，所以【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，那么，可知，兩邊乘以3，可得：，兩式作差可得：所以，即得：.18.在銳角三角形中，角對(duì)應(yīng)的邊分別記為.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將邊化角，再利用等式，運(yùn)用兩角和的正弦公式將等式化簡(jiǎn)最終可得，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得角；（2）結(jié)合（1）可得，統(tǒng)一用角表示，化簡(jiǎn)可得，由三角形為銳角三角形可得，進(jìn)而可求范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，由正弦定理可得：，而，所以，又，所以，那么，所以.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，因?yàn)殇J角三角形中，，所以，所以，所以所以取值范圍是.19.已知在長(zhǎng)方體中，.（1）若分別在線段和上，求的最小值；（2）若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由共線條件設(shè)，由的坐標(biāo)得向量的坐標(biāo)，由的坐標(biāo)運(yùn)算可得表達(dá)式，再利用配方法求最小值可得；（2）求平面的法向量，利用向量方法求線面角的正弦值的表達(dá)式，再利用換元法求復(fù)合函數(shù)最值即可.【小問(wèn)1詳解】在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，所以.由分別在線段和上，設(shè).則，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為.【小問(wèn)2詳解】由（1）中所建空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，得，令，那么.由點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)時(shí)，可知上式為0，當(dāng)時(shí)，則，令，則，設(shè)，，則，則.綜上所述，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.20.某單位年會(huì)有這樣一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)：箱子里裝有8個(gè)小球，除顏色外完全相同，其中4個(gè)黑球，4個(gè)白球．每次抽獎(jiǎng)從這個(gè)箱子里隨機(jī)摸出4個(gè)球，若摸出的白球不少于3個(gè)，則為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)1000元，若摸出的白球?yàn)?個(gè)，則為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)600元，若摸出的白球不多于1個(gè)，則為三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)400元，每個(gè)人三次抽獎(jiǎng)，且各次的結(jié)果相互獨(dú)立（1）若甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求最后獲得2000元的概率；（2）若甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求最后獲得獎(jiǎng)金的期望．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)和排列數(shù)公式及古典概型來(lái)求解，根據(jù)甲最后獲得2000元，得出三次抽獎(jiǎng)只能分別獲得一?二?三等獎(jiǎng)各一次，再根據(jù)順序不一樣進(jìn)行求解；（2）先求出在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，甲獲得獎(jiǎng)金的期望值，再利用期望的性質(zhì)計(jì)算．【小問(wèn)1詳解】由題意可知，設(shè)獲得一等獎(jiǎng)為事件，設(shè)獲得二等獎(jiǎng)為事件，設(shè)獲得三等獎(jiǎng)為事件，那么甲獲得一等獎(jiǎng)的概率為，甲獲得二等獎(jiǎng)的概率為，甲獲得三等獎(jiǎng)的概率為，若甲最后獲得2000元，則三次抽獎(jiǎng)只能分別獲得一?二?三等獎(jiǎng)各一次，所以甲最后獲得2000元的概率為：．【小問(wèn)2詳解】在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，甲獲得獎(jiǎng)金的期望值為：，又因?yàn)榧子腥纬楠?jiǎng)機(jī)會(huì)，所以甲最后獲得獎(jiǎng)金的期望為．21.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足.證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得的值，即可得到橢圓的方程；（2）聯(lián)立橢圓與直線方程，根據(jù)題意利用韋達(dá)定理算出即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知，離心率為，，那么，把代入橢圓，可得：，所以，那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓的方程：,可得：，由題意可知：，整理可得：，即：，整理可得：，即：，那么或，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，所以舍去，所以為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡(jiǎn)即可得出定值.22.已知函數(shù)（1）過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求取值范圍.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圖像上的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到切點(diǎn)為和，即可求解；（2）根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到，易得，再分和，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間關(guān)系，結(jié)合條件，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圖像上的切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，由題知，整理得：，令，則，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，若有零點(diǎn)，則至多有兩個(gè)零點(diǎn)，又，，所以兩個(gè)切點(diǎn)即為和，那么兩條切線的斜率分別為1和，所以兩條切線的方程分