數(shù)學(xué)（上海B卷）（全解全析）

2023年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷數(shù)學(xué)·全解全析注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、填空題1．用列舉法表示______．【答案】【分析】根據(jù)且求出的值，即可求出，從而列舉即可.【解析】解：因為且，所以或或或，解得或或或，所以對應(yīng)的分別為、、、，即；故答案為：2．已知變量y與x線性相關(guān)，若，且y與x的線性回歸直線的斜率為2，則線性回歸方程是______________．【答案】【分析】設(shè)線性回歸方程為，根據(jù)回歸方程的性質(zhì)，把已知數(shù)據(jù)代入求得，則線性回歸方程可求．【解析】解：設(shè)線性回歸方程為，，，與的線性回歸直線的斜率為2，即，．關(guān)于的線性回歸方程為．故答案為：．3．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則實數(shù)的值為___________.【答案】或1【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，代入點，求解參數(shù)的值.【解析】∵函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，∴，，或，則令，可得實數(shù)或，故答案為：或1.4．若函數(shù)是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是___________【答案】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，以及偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，故，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，故，即，由于為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.故答案為：5．若關(guān)于x的方程有純虛數(shù)根，則實數(shù)t的值為___________．【答案】2【分析】設(shè)(且)為方程的根，代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可列式求解.【解析】設(shè)(且)為方程的根，則.故答案為：2.6．直線被圓所截得的弦長為______．【答案】【分析】根據(jù)所給圓，確定圓心以及半徑，再結(jié)合點線距離即可求解.【解析】依據(jù)題意得圓心為，半徑，圓心到直線的距離.則直線被圓截得的弦長為.故答案為：7．已知是奇函數(shù)，且當時，若，則_______.【答案】【分析】首先利用奇函數(shù)的性質(zhì)，變形為，再代入函數(shù)解析式，即可求解.【解析】因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以，又當時，所以，即，解得.故答案為：8．函數(shù)的圖象的頂點A在直線上，其中，則的最小值為______．【答案】8【分析】先根據(jù)二次函數(shù)求出頂點坐標,然后代入直線方程可得,然后中的1用代入,2用代入化簡,利用基本不等式可求出最小值．【解析】解：由題意可得頂點,又點A在直線上,,則,當且僅當時,等號成立,故答案為：8．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定點以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中等題型.9．電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式___________.（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】48【分析】由分步計算原理求解即可【解析】由題意，可分步進行，第一步，安排公益廣告，不同的安排方式有種，第二步，安排商業(yè)廣告，不同的安排方式有種，故總的不同安排方式有種，故答案為：4810．圓錐的底面圓直徑為2，母線長為6，若小蟲從點開始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點，則小蟲爬行的最短距離為_____．【答案】【分析】要求小蟲爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．【解析】由題意知底面圓的直徑AB＝2，故底面周長等于.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為，展開后扇形的弧長為根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得＝，故所以展開圖中，在中，由余弦定理得所以小蟲爬行的最短距離為.故答案為：11．拋物線的焦點到準線的距離為2，過點的直線與交于，兩點，的準線與軸的交點為，若的面積為，則___________.【答案】2或【分析】先求出拋物線的標準方程，再設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長，求出點M到直線的距離為d，表達出的面積，求出m的值（注意分兩種情況），再分別求出與的長，求出結(jié)果【解析】拋物線化為標準形式為：∵拋物線的焦點到準線的距離為2∴，即∴拋物線方程為，焦點∵過點的直線與交于A，兩點∴設(shè)直線方程為：與拋物線方程聯(lián)立得：設(shè)，，不妨假設(shè)A點在x軸上方，B點在x軸下方.則，則設(shè)點M到直線的距離為d則∴解得：∴當時，，解得：此時：∴，∴2當時，，解得：此時：∴，∴故答案為：2或12．已知函數(shù)，數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和______.【答案】【分析】由題意判斷的奇偶性以及單調(diào)性，結(jié)合的特征，構(gòu)造函數(shù)，判斷其性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可推得，繼而求得首項，即可求得答案.【解析】由函數(shù)可知,由，故為偶函數(shù)，當時，知，在上單調(diào)遞增且，設(shè)，則為奇函數(shù)且時，，故此時單調(diào)遞增，則時，單調(diào)遞增，故結(jié)合奇函數(shù)的對稱性可得在單調(diào)遞增，由題意，得，又是等差數(shù)列，可得，當時，，同理，即，不合題意，當時，同理可得，也不合題意；所以，又公差為4，可得，則，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項和的求解，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及到對數(shù)型函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強，解答時要能綜合應(yīng)用函數(shù)的相關(guān)知識靈活解答,解答的關(guān)鍵是分類討論，判斷，進而求得數(shù)列首項.二、單選題13．已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【解析】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.14．用反證法證明命題①：“已知，求證：”時，可假設(shè)“”；命題②：“若，則或”時，可假設(shè)“或”.以下結(jié)論正確的是A．①與②的假設(shè)都錯誤 B．①與②的假設(shè)都正確C．①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯誤 D．①的假設(shè)錯誤，②的假設(shè)正確【答案】C【解析】分析：利用命題的否定的定義判斷即可.詳解：①的命題否定為，故①的假設(shè)正確.或”的否定應(yīng)是“且”②的假設(shè)錯誤，所以①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯誤，故選C.點睛：本題主要考查反證法，命題的否定，屬于簡單題.用反證法證明時，假設(shè)命題為假，應(yīng)為原命題的全面否定.15．嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項的大小，即可求解.【解析】[方法一]:常規(guī)解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.16．如圖，在矩形中，，，、分別為邊、的中點，沿將折起，點折至處（與不重合），若，分別為線段、的中點，則在折起過程中，下列選項正確的是（

）A．可以與垂直B．不能同時做到平面且平面C．當時，平面D．直線、與平面所成角分別、，、能夠同時取得最大值【答案】D【分析】A假設(shè)，利用線面垂直的判定有DE⊥面，進而可得得矛盾即可判斷；B取DE，DC中點G，F(xiàn)，連接GM，GN，F(xiàn)K，F(xiàn)B，由線面平行的判定有面，面，再由面面垂直的判定、性質(zhì)得面，同理判斷平面是否成立；C：連接ME，EN，利用勾股定理判斷是否成立；D根據(jù)題設(shè)確定的軌跡，連接EC，取EC中點T，連接TK，TB，應(yīng)用余弦定理求得，由線面角的定義研究、是否能夠同時取最大值.【解析】A：連接EC，假設(shè)，因為，，所以，因為，面，所以DE⊥面，因為面，所以，與矛盾，錯誤；B：取DE，DC中點G，F(xiàn)，連接GM，GN，F(xiàn)K，F(xiàn)B，則，因為面，面，所以面，因為，，則四邊形BEDC為梯形，且BE，CD為底，又G，N分別為DE，BC的中點，所以，因為面，面，所以面，因為，面，所以面面，因為面MGN，所以面，同理面，錯誤；C：連接ME，EN，DN，當時，，又，所以，故MN與ME不垂直，從而MN不垂直于平面，錯誤；D：因為在以DE為直徑的球面上，球心為G，所以的軌跡為的外接圓（與F不重合，F(xiàn)為CD的中點），連接EC，取EC中點T，連接TK，TB，則，，且，則，在△KTB中，，，由余弦定理得，所以，當直線BK與面BCDE所成角取最大值時，K到面BCDE距離最大，由K為的中點，此時到面BCDE距離最大，由，當直線與面BCDE所成角取最大值時，到面BCDE距離最大，所以直線、BK與面BCDE所成角、能夠同時取得最大值，正確.故選：D三、解答題17．如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD與平面CBD所成二面角為直角，平面ABD，且.(1)求證：直線EC與平面ABD平行；(2)求點C到平面BED的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接、，證明平面即可得解；（2）在三棱錐中，利用等體積法即可求出點到平面的距離.【解析】（1）證明：取的中點，連接、，如圖，依題意，在中，，則，而平面與平面所成二面角為直角，即平面平面，又平面平面，平面，于是得平面，且，因平面，且，則有，且，從而得四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，則平面；（2）解：由（1）可得平面，于是得平面，，則等腰底邊上的高，，而，設(shè)點C到平面BED的距離為d，由得，即，解得，所以點C到平面BED的距離為1.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）若方程在區(qū)間上至少有兩個不同的解，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用及二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡整理為，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出函數(shù)的值域；（2）由已知得由，得，且或，結(jié)合方程在區(qū)間上至少有兩個不同的解，可得，解不等式可得解.【解析】（1），令，，由的圖像知，，即，，所以函數(shù)的值域為.（2），，即，，且或由于方程在區(qū)間上至少有兩個不同的解，所以，解得，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：考查三角函數(shù)的值域時，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡整理為，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.19．已知函數(shù).(1)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)對全分離,將在上恒成立,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可.(2)由在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,求導(dǎo)后全分離轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可.【解析】（1）解:由題知在上恒成立,即,,只需即可,即,記,,,,,在單調(diào)遞減,;（2）由題知,在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,即恒成立,,只需恒成立,即,記,,,,在單調(diào)遞增,,只需即可,綜上:.20．如圖，為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為；雙曲線的左、右焦點分別為、，離心率為，已知，且過作的不垂直于軸的弦，為的中點，直線與交于、兩點.(1)求、的方程；(2)若四邊形為平行四邊形，求直線的方程；(3)求四邊形面積的最小值.【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）由橢圓和雙曲線的離心率公式可得出，由可求得、的值，即可得出橢圓和雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點的坐標，分析可知為線段的中點，可得出點的坐標，將點的坐標代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出直線的方程；（3）求出，可得出直線的方程，求出、兩點的坐標，求出、兩點到直線的距離之和，可得出四邊形的面積，進而可求得該四邊形面積的最小值.【解析】（1）解：由題意可得，，，則，，，，所以，橢圓的方程為，雙曲線的方程為.（2）解：由（1）可知，因為直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，則，，所以，點，因為四邊形為平行四邊形，則為線段的中點，故點，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，即，解得，因此，直線的方程為或.（3）解：由（2）可得，，所以，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，不妨取點、，所以點到直線的距離為，點到直線的距離為，則，所以，四邊形的面積為，故當時，四邊形的面積取最小值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21．若項數(shù)為且的有窮數(shù)列滿足：，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”．(1)判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，并說明理由；①1，2，4，3；②2，4，8，16．(2)設(shè)，2，，，若數(shù)列具有“性質(zhì)”，且各項互不相同．求證：“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列為常數(shù)列”；(3)已知數(shù)列具有“性質(zhì)”．若存在數(shù)列，使得數(shù)列是連續(xù)個正整數(shù)1，2，，的一個排列，且，求的所有可能的值．【答案】(1)數(shù)列1，2，4，3不具有“性質(zhì)M”；數(shù)列2，4，8，16具有“性質(zhì)M”(2)證明見解析(3)或5【分析】（1）按照題目給出的定義：數(shù)列具有“性質(zhì)”直接判斷；（2）根據(jù)充要條件的概念直接證明；（3）根據(jù)條件可知，，逐漸增大，且最小值為1，分情況可求之．【解析】（1）解：，該數(shù)列不具有“性質(zhì)”；，該數(shù)列具有“性質(zhì)”；（2）證明：充分性，若數(shù)列是常數(shù)列，則，即