2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.4第2課時空間圖形的公理4和等角定理學案含解析北師大版必修2

PAGE第2課時空間圖形的公理4和等角定理考綱定位重難突破1.了解公理4及等角定理．2.會用公理4和等角定理進行簡潔的推理論證．3.了解異面直線所成的角的定義，并會求異面直線所成的角.重點：公理4和等角定理的應用．難點：異面直線所成的角的定義及求法．疑點：異面直線所成角的范圍易出錯.授課提示：對應學生用書第11頁[自主梳理]一、公理4文字語言圖形表示符號語言平行于同一條直線的兩條直線平行若a∥b，b∥c，則a∥c二、等角定理空間中，假如兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．三、異面直線所成的角θ1．定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線l1∥a，l2∥b，我們把l1與l2所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．2．范圍：0°＜θ≤90°.3．當θ＝90°時，a與b相互垂直，記作a⊥b.[雙基自測]1．兩條異面直線是指()A．分別位于兩個不同平面的直線B．空間內不相交的直線C．某一平面內的一條直線與這一平面外的一條直線D．空間兩條既不平行也不相交的直線解析：依據(jù)異面直線的定義可知D正確．答案：D2．空間兩個角α，β的兩邊分別對應平行且方向相同，若α＝50°，則β等于()A．50° B．130°C．40° D．50°或130°解析：由等角定理可以推斷β與α相等，∴α＝β＝50°，選A.答案：A3．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1(1)直線A1B與D1C(2)直線A1B與B1C(3)直線D1D與D1C(4)直線AB與B1C答案：(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與BC1解析：連接AD1，B1D1，∵AB綊D1C1，∴AD1∥BC1，則∠D1AB1即為異面直線AB1與BC1所成的角，由題意知，AB1＝B1D1＝AD1，即△AB1D1為等邊三角形，所以∠D1AB1＝60°.答案：60授課提示：對應學生用書第12頁探究一公理4的應用[典例1]如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.[解析](1)如題圖，在△ABD中，∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD.又FG是△CBD的中位線，∴FG∥BD，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BD，∴FG∥EH，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面，又FG＝EH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空間中證明兩直線平行的方法(1)借助平面幾何學問證明，如三角形中位線性質、平行四邊形的性質、用成比例線段證平行等．(2)利用公理4證明，即證明兩直線都與第三條直線平行．1.已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點．求證：四邊形MNA′C′是梯形．證明：連接AC.∵M，N為CD，AD的中點，∴MN綊eq\f(1,2)AC.由正方體性質可知AC綊A′C′，∴MN綊eq\f(1,2)A′C′.∴四邊形MNA′C′是梯形．探究二等角定理的應用[典例2]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1(1)四邊形BB1M(2)∠BMC＝∠B1M1[證明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD，A1D1∴MM1＝AA1，MM1∥AA1，又∵AA1＝BB1，AA1∥BB1，∴MM1＝BB1，且MM1∥BB1.∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．(2)證法一由(1)知四邊形BB1M∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.由平面幾何學問可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.證法二由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1＝BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形．∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．要明確等角定理的兩個條件，即兩個角的兩條邊分別對應平行，并且方向相同，這兩個條件缺一不行．2．空間中證明兩個角相等，可以利用等角定理，也可以利用三角形的相像或全等，還可以利用平行四邊形的對角相等．在利用等角定理時，關鍵是弄清晰兩個角對應邊的關系．2．空間中角A的兩邊和角B的兩邊分別平行，若∠A＝70°，則∠B＝________.解析：由于角A的兩邊和角B的兩邊分別平行，所以有∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.因為∠A＝70°，所以∠B＝70°或∠B＝110°.答案：70°或110°探究三求兩異面直線所成的角[典例3]如圖，正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大小．[解析]解法一(干脆平移法)如圖，連接A1C1，B1D1，并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.解法二(中位線平移法)如圖，連接A1D，取A1D的中點H，連接HE，則HE∥DB1且HE＝eq\f(1,2)DB1.于是∠HEF為所求異面直線DB1與EF所成的角或其補角．連接HF，設正方體的棱長為1，則EF＝eq\f(\r(2),2)，HE＝eq\f(\r(3),2)，取A1D1的中點I，連接IF，HI，則HI⊥IF.∴HF2＝HI2＋IF2＝eq\f(5,4).∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.1．求兩條異面直線所成的角，一般是依據(jù)其定義求解，步驟如下：(1)平移；(2)構造三角形；(3)解三角形；(4)作答．2．在所給幾何體中平移直線構造異面直線所成的角時，一般是選取其中一條直線上的特別點，諸如：頂點、棱的中點等．3.如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2.求：(1)BC和A′C′所成角的大小；(2)AA′和BC′所成角的大小．解析：(1)因為BC∥B′C′，所以∠B′C′A′就是A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq\r(3)，B′C′＝2eq\r(3)，所以∠B′C′A′＝45°，即BC和A′C′所成角的大小為45°.(2)因為AA′∥BB′，所以∠B′BC′就是AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(3)，BB′＝AA′＝2，所以∠B′BC′＝60°，即AA′和BC′所成角的大小為60°.求異面直線上兩點間的距離[典例](本題滿分12分)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1.求EF的長度．[規(guī)范解答]如圖，取BC的中點O，連接OE，OF，因為OE∥AC，OF∥BD，所以OE與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成的角為60°，①4分所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.②6分當EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).9分當∠EOF＝120°時，取EF的中點M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).12分[規(guī)范與警示](1)解題時，首先在①處利用中位線作出異面直線AC和BD所成的角是關鍵，也是失分點．(2)在②處，因為作出的∠EOF不肯定就是60°，也可能是120°，此處簡潔出錯，造成后面解答不全面，而出現(xiàn)漏解，失分點．(3)求異面直線上兩點間的距離，其重點還是在考查對異面直線所成角的理解和應用，其步驟是：一、作圖；二、確定三角形中的已知條件；三、解三角形，求出長度．[隨堂訓練]對應學生用書第13頁1．空間兩條不同的直線a，b與直線l都成異面直線，則a，b的位置關系是()A．平行或相交 B．異面或平行C．異面或相交 D．平行或異面或相交解析：直線a，b與直線l都成異面直線，a與b之間并沒有任何限制，所以直線a與b平行或異面或相交，故選D.答案：D2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點，則直線EF與直線GHA．相交 B．異面C．平行 D．垂直解析：連接AD1，CD1，AC(圖略)，則E，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點．由三角形的中位線定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故選C.答案：C3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線BA1與CC1A．30° B．45°C．60° D．90°解析：∵CC1∥BB1，∴∠A1BB1即為BA1與CC1所成的角．∵∠A1BB1＝45°，∴BA1與CC1所成的角為45°.答案：B4．如圖，是正方體的平面綻開圖，在這個正方體中，有下列四個說法：①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．其中正確的是________．解析：如圖，BM與ED垂直，故①不正確；CN∥BE，故②不正確；CN∥BE，而△EB