數(shù)學(xué)高二-圓的方程11類重難點題型匯 總（解析版）-【重難點突破】2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)?？碱}專練（新高考）

專題2-2圓的方程11類重難點題型匯總直線與圓的方程式是一個承上啟下的章節(jié)，讓即將經(jīng)歷圓錐曲線毒打的同學(xué)們有個鋪墊直線與圓的方程作為解析幾何中的基礎(chǔ)，不僅幫助同學(xué)們構(gòu)建起圖形與代數(shù)之間的橋梁，更是通往更復(fù)雜曲線——如橢圓、雙曲線和拋物線等圓錐曲線研究的必經(jīng)之路。掌握好這兩類基本圖形的性質(zhì)及它們之間的位置關(guān)系，將為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)，讓同學(xué)們在面對更加抽象的概念時能夠游刃有余?？傆[總覽題型解讀【題型1】圓的方程 ②點在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補上已知圓，直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點斜式設(shè)出方程，利用相切可求答案.【詳解】顯然斜率不存在時，不合題意；斜率存在時，設(shè)方程為，圓心到直線的距離為，因為與圓相切，所以，即，解得，即的方程為.（23-24高二上·湖南長沙·期中）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】分2種情況討論：①直線l的斜率不存在，則其方程為，易得其與圓相切；②直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，根據(jù)直線l與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出k的值即可．【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，得圓心，半徑為2，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線，此時直線l與圓相切，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即，圓心到直線l的距離為，由相切得，所以，平方化簡得，求得直線方程為，綜上，直線l的方程為或過坐標(biāo)原點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意可得為等邊三角形，可得結(jié)果.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為1，

由題意知，,,,,所以,所以.所以,且,所以為等邊三角形，所以.（2024·廣東韶關(guān)·二模）過點作斜率為的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)軸反射后與圓相切，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)直線的點斜式方程求出直線PA，進(jìn)而求出點A，利用反射光線的性質(zhì)求出直線BA，結(jié)合點到直線的距離公式計算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)經(jīng)過點的直線交x軸于點，反射直線與圓相切于點，直線，即，令，解得，即，又，所以，所以直線，即，則點到直線直線的距離為，即.【鞏固練習(xí)1】過點作圓的一條切線，切點為B，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】先求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，再利用切線長定理即可求得的值.【詳解】因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，因為與圓相切，切點為B，所以，則，因為，所以.【鞏固練習(xí)2】已知圓C：，直線l恒過點若直線l與圓C相切，求l的方程【答案】或【分析】分類討論直線l的斜率存在與不存在，利用圓心到直線l的距離等于圓的半徑計算即可；(2)由題意知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點到直線的距離公式和圓的垂徑定理計算即可.【詳解】（1）由題意可知，圓C的圓心為，半徑，①當(dāng)直線l的斜率不存在時，即l的方程為時，此時直線與圓相切，符合題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，化為一般式：，若直線l與圓相切，則，即，解得，：，即l：，綜上，當(dāng)直線l與圓C相切時，直線l的方程為或【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下·全國·隨堂練習(xí)）已知圓C：．若點，求過點的圓的切線方程；【答案】或【分析】求出圓的圓心與半徑，分過點的直線的斜率不存在和存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑，即可求出切線方程；【詳解】解：由題意知圓心的坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)過點的直線的斜率不存在時，方程為．由圓心到直線的距離知，此時，直線與圓相切．當(dāng)過點的直線的斜率存在時，設(shè)方程為，即．由題意知，解得，∴方程為．故過點的圓的切線方程為或．【鞏固練習(xí)4】（23-24高三上·河北秦皇島·開學(xué)考試）從點射出的光線經(jīng)軸反射后，與圓有公共點，則反射光線所在直線斜率的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得反射光線一定經(jīng)過，然后根據(jù)點到直線的距離計算經(jīng)過的直線和圓心的距離不超過半徑即可.【詳解】根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得，反射光線一定經(jīng)過關(guān)于軸的對稱點，反射光所在直線斜率不存在時，反射光的直線方程為，由，易得該方程組無解，于是反射光所在直線斜率存在，設(shè)經(jīng)過的直線為，若反射光和圓有公共點，則圓心到直線的距離不超過半徑，根據(jù)點到直線的距離公式，，整理得，即，解得，故斜率最小值是.故選：A【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上·山西朔州·期末）戰(zhàn)國時期成書《墨經(jīng)》有載曰：“景，日之光反燭人，則景在日與人之間.”這是中國古代人民首次對平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】先得到關(guān)于軸的對稱點，然后根據(jù)反射光線經(jīng)過，設(shè)出反射光線的方程，根據(jù)反射光線與圓相切列出關(guān)于的方程，則結(jié)果可求.【詳解】如圖，設(shè)點與點關(guān)于軸對稱，則點的坐標(biāo)為?2,3，反射光線所在直線經(jīng)過點，且與圓相切，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑，則由圓心到反射光線所在直線的距離等于半徑，可得，即，解得或.故選：A.【題型4】求弦長以及由弦長求直線方程利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．直線與圓交于A，B兩點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點到直線的距離公式，以及弦長公式即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為4，由題意得圓心M到直線的距離，則，所以的面積為．故選：A

已知直線與圓相交于兩點，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先計算直線到圓心的距離，然后根據(jù)勾股定理得到，從而代入條件即可解出，從而得到.【詳解】如圖所示：

設(shè)坐標(biāo)原點到直線的距離為，則.設(shè)線段的中點為，則，根據(jù)勾股定理，有.由，得，故，解得，故.【鞏固練習(xí)1】（河北石家莊·期末）圓被直線截得的弦長等于.【答案】【分析】求出給定圓的圓心和半徑，再利用圓的弦長公式計算即得.【詳解】圓的圓心，半徑，則點到直線的距離，所以所求弦長為.【鞏固練習(xí)2】兩平行直線與直線分別與圓M:相交于點，和，，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將圓轉(zhuǎn)化為一般方程，根據(jù)知直線過圓心，進(jìn)而求出，然后求出，最后求出面積.【詳解】可化為，故圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，因為，所以直線過圓心，即，所以，.圓心到的距離，所以，所以的面積為.【鞏固練習(xí)3】已知圓C：，直線l恒過點當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.【答案】或【詳解】由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，即，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，由垂徑定理可得，，即，整理得，，解得或，則直線l的方程為或【鞏固練習(xí)4】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圓關(guān)于直線對稱，且過點．(1)求證：圓與直線相切；(2)若直線過點與圓交于兩點，且，求此時直線的方程．【答案】(1)證明見解析(2)或．【分析】（1）根據(jù)圓心在直線以及點在圓上，即可求解，，進(jìn)而根據(jù)點到直線的距離公式求解圓心到直線的距離，與半徑比較即可求解，（2）利用圓的弦長公式可得，結(jié)合圓心到直線的距離即可求解斜率，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】（1）圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即，則因為圓關(guān)于直線對稱，所以，所以，因為圓C過點，所以，所以，得，所以圓方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，故點C到直線的距離為，所以C與直線相切，（2）設(shè)直線方程為，即，設(shè)圓心到直線l的距離為，所以，得，所以，所以直線l的方程為或．即或．【題型5】圓與圓的位置關(guān)系，公切線及公共弦1、圓和圓的五種位置關(guān)系：相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，并結(jié)合圖像掌握它們的代數(shù)表示方式以及公切線條數(shù)2、若兩圓相交，則它們方程相減即為公共弦所在直線的方程圓C：與圓的位置關(guān)系不可能（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切【答案】D【分析】由題可得兩圓半徑與圓心，后由圓心距與兩圓半徑間關(guān)系可得答案.【詳解】由題可得圓C：，則其圓心，半徑為；圓，則其圓心為，半徑為.則兩圓圓心距為，故兩圓可能內(nèi)含，內(nèi)切，相交，不可能外切，外離.已知圓與圓有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)可知兩圓外離得：?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可知，圓外離，，又．圓與圓相交所得公共弦長為．【答案】【分析】兩圓方程作差得公共弦所在直線方程，利用點到直線的距離公式可得到直線的距離，最后由即可得解.【詳解】記圓，圓，兩個方程作差可得，，所以兩圓公共弦所在直線方程為，圓心到直線的距離為，所以公共弦長為.（多選）已知圓和圓的交點為，則下列說法正確的是（

）A．兩圓的圓心距OB．直線的方程為C．圓上存在兩點和，使得D．圓上的點到直線的最大距離為【答案】AD【分析】A選項，求出兩圓的圓心，得到圓心距；B選項，兩圓相減得到直線的方程；C選項，線段是圓的直徑，故C錯誤；D選項，求出圓心到直線的距離，從而得到最大距離.【詳解】對于，因為圓的圓心坐標(biāo)為1,0，圓的圓心坐標(biāo)0,1，因為兩個圓相交，所以兩圓的圓心距，故A正確；對于，將兩圓方程作差可得，即得公共弦的方程為，故B錯誤；對于，由B選項可知，直線的方程為，由于0,1滿足上，故直線經(jīng)過圓的圓心坐標(biāo)0,1，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長的弦，故C錯誤；對于，圓的圓心坐標(biāo)為1,0，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最大距離為，故D正確【鞏固練習(xí)1】若圓：與圓：內(nèi)切，則（）A．29 B．9 C． D．19【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由圓：，可得圓心，半徑；圓：可化為，可得圓心，半徑，所以，由圓圓內(nèi)切，所以，即，解得：.【鞏固練習(xí)2】設(shè)，若圓與圓有公共點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓心距離與半徑和與差的關(guān)系列不等式求解.【詳解】圓，圓心為，半徑為，圓，圓心為，半徑為，若圓與圓有公共點，則，又，所以.【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·山東日照·期末）若兩圓：與：外離，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化圓方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，方程表示圓以及圓心距滿足的關(guān)系式即可列不等式求解.【詳解】由題意：即：，它的圓心半徑分別為，：即：，它的圓心半徑分別為，所以圓心距滿足，解得，所以.【鞏固練習(xí)4】已知圓與圓交于A，B兩點，則（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】求出兩圓的公共弦所在直線方程，再求出弦長即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，圓與圓相交，兩圓方程相減得直線：，顯然點在直線上，因此線段是圓的直徑，所以.模塊二模塊二中檔題型【題型6】軌跡問題（阿氏圓，相關(guān)點法，定義法）求與圓有關(guān)軌跡方程的常用方法1．定義法當(dāng)題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程．2．直譯法直接將題目條件翻譯成代數(shù)方程，求解軌跡方程．3．直接法當(dāng)題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時，可設(shè)出該點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程．4．幾何法利用圖形的幾何性質(zhì)，確定等量關(guān)系，設(shè)點、列式，求解軌跡方程．5．代入法(或相關(guān)點法)當(dāng)題目條件中已知某動點的軌跡方程，而要求的點與該動點有關(guān)時，常找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程動圓的圓心的軌跡方程是．【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得則圓心坐標(biāo)為，因為，得到，所以消去可得即故答案為：已知圓：，若，點是圓上的動點，求線段中點的軌跡方程，并說明表示什么曲線．【解答】設(shè)，，，則有，，解得，，代入圓方程得：，化簡得表示以為圓心，為半徑的圓已知點、，過、作兩條互相垂直的直線和，則和的交點的軌跡方程為（化為標(biāo)準(zhǔn)形式）【解答】解：設(shè)，則過、作兩條互相垂直的直線和的交點，，，，，，化簡整理可得．故答案為：．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點到兩個定點，的距離之比等于．（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；（2）已知點為所求軌跡上任意一點，求的最大值．【解答】解：（1）由題意可知：，由點到直線的距離公式，可得：，化簡整理得：，即，點的軌跡方程，軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；（2）由（1）可知，為圓上任意一點，，由，，當(dāng)時，時，的最大值18．【鞏固練習(xí)1】已知線段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為．【解答】解：設(shè)，，線段的中點為．則，，端點在圓上運動，．線段的中點的軌跡方程是：．故答案為：．【鞏固練習(xí)2】（24-25高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知曲線，設(shè)曲線上任意一點與定點連線的中點為，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)動點坐標(biāo)，找到動點坐標(biāo)與曲線上點坐標(biāo)的關(guān)系，通過已知解析式得出動點的軌跡方程.【詳解】設(shè)，因為為的中點，所以，即，又因為點在曲線上，所以，所以．所以點的軌跡方程為即．【鞏固練習(xí)3】已知兩定點、的坐標(biāo)分別為：、，動點滿足．求動點的軌跡方程.【解答】解：設(shè)動點坐標(biāo)為，則，，又知，則，得．【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓C：，直線l：.(1)設(shè)l與圓C交于不同的兩點A，B，求弦AB的中點M的軌跡方程；(2)若定點分弦AB為，求此時直線l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)Mx,y，根據(jù)已知列式化簡，即可得解；（2）聯(lián)立方程組應(yīng)用韋達(dá)定理結(jié)合向量關(guān)系求出直線方程.【詳解】（1）∵直線l：過定點，斜率一定存在，而在圓C：內(nèi)，∴直線l與圓C總有兩個不同的交點；圓C：的圓心為，所以M與P不重合時，連接CM，CP，則，∴.設(shè)，則，化簡得：；（2）設(shè)，，由，得，∴，化簡得，①又由，消去y得.∴，②由①②解得，代入（*）解得.∴直線l的方程為或.【題型7】圓的4類?？甲钪祮栴}

求解與圓有關(guān)的最值問題，其通法是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化（23-24高三上·河南駐馬店·期末）若點是圓:上一點,則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)圓外一定點到圓上一點距離的平方的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】圓:可化為表示點到點的距離的平方,因為，所以的最小值為.當(dāng)圓截直線所得的弦長最短時，實數(shù)（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先判斷直線經(jīng)過定點，且定點在圓內(nèi)，要使弦長最短，只需使，計算即得.【詳解】由得，圓心坐標(biāo)是，半徑是直線：過定點，且在圓內(nèi)，當(dāng)時，直線被圓截得的弦長最短，由解得.（23-24高二上·江蘇無錫·期中）若圓被直線平分，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．【答案】C【分析】由題意得圓心在直線上，即得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【詳解】由圓被直線平分，得圓心在直線上，則，即，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為4.設(shè)點，，直線，于點，則的最大值為.【答案】6【分析】先求出直線過定點，再根據(jù)條件求出點的軌跡方程，再結(jié)合軌跡方程求出的最大值．【詳解】直線，則，則，解得，，即直線恒過點，設(shè)，，，，即，故點的軌跡為，該軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，．【鞏固練習(xí)1】若實數(shù)滿足，則的最大值是．【答案】/【分析】利用兩點間距離幾何意義求解最值.【詳解】設(shè)點，由實數(shù)滿足可得：點在以原點為圓心，以為半徑的圓上，設(shè)點，則的幾何意義為動點到定點的距離，由，則點在圓外，結(jié)合圖形可知，.的最大值是.故答案為：.

【鞏固練習(xí)2】若點在圓上，則的最小值為.【答案】【分析】利用表示點與點的距離的平方，求出圓心與點的距離為，可求得最小距離，繼而可求得所求.【詳解】因為，化為，圓心為，半徑為，又表示點與點的距離的平方，圓心與點的距離為，所以點與點的距離的最小值為，故的最小值為【鞏固練習(xí)3】已知直線與圓相交于A，B兩點，則|的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線恒過的定點，由幾何法可知當(dāng)時，最小，用勾股定理求出?！驹斀狻繉的方程轉(zhuǎn)化為，令解得，即過定點，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大值為，此時取得最小值,根據(jù)勾股定理：.【鞏固練習(xí)4】已知點為圓上一點，記為點到直線的距離.當(dāng)變化時，的最大值為.【答案】3【分析】根據(jù)直線方程，求得該直線的定點，利用點到過定點直線以及點到圓上點距離的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由直線方程，則該直線過定點，易知圓上任意定點到該直線的最大距離就是該點到的距離，由圓的方程，則其圓心為，半徑為，點到圓上點的最大距離為.【鞏固練習(xí)5】已知圓關(guān)于直線（a，b為大于0的數(shù)）對稱，則的最小值為，此時直線方程為．【答案】【分析】空1：由題意得直線過圓心，從而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1結(jié)果代入回直線方程即可.【詳解】圓，整理得，則其圓心為，由題意得：直線過圓心，所以，又，，所以．（當(dāng)且僅當(dāng)，時，取“＝”）．此時直線方程為，即.故答案為：；.【鞏固練習(xí)6】已知直線：，：，，若和交于點，則的最大值是.【答案】【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)分析可知點M的軌跡為以為直徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】對于直線：，當(dāng)時，恒成立，即過定點，記為A，對于直線：，當(dāng)時，恒成立，則恒過定點，記為，因為，無論m取何值，與都互相垂直，和交于點M，所以，即點M的軌跡為以為直徑的圓，可知圓心為，半徑為，所以的最大值是.【題型8】直線與半圓的交點個數(shù)問題一、半圓方程例：化簡曲線移項后兩邊平方得，通過方程看曲線是整圓，但要滿足的條件所以曲線其實是右半圓.

這就提醒我們,比如：“兩邊平方”、“分式化整”、“實際問題情境”等，要留意是否恒等變形.二、觀察交點個數(shù)觀察動直線是斜率為定值還是直線過定點.當(dāng)直線斜率為定值時，此直線在平移的過程中，利用圖形，抓關(guān)鍵點，什么時候是有一個和兩個公共點，相交相切位置要清楚，然后利用點到直線的距離與半徑的不等關(guān)系得出參數(shù)的范圍.當(dāng)直線恒過定點時，直線在旋轉(zhuǎn)，方法和平移類似，抓關(guān)鍵點和位置直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】曲線表示的是一個以原點為圓心，3為半徑的左半圓，直線的斜率為1，作出圖形，由圖形確定直線與曲線有兩個公共點時的條件.【詳解】方程，即，表示的是一個以原點為圓心，3為半徑的左半圓，直線的斜率為1，連接和，

要使直線與該半圓有兩個交點，直線必在以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切（不含相切），則可求出直線的兩個臨界位置對應(yīng)的的值.當(dāng)直線與重合時，，當(dāng)直線與半圓相切時，圓心到的距離3，即，解得或（舍去）.所以的取值范圍是）.若曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】作出曲線與直線的圖象，考慮直線與曲線相切以及直線過點時實數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可知，整理可得，所以，曲線表示圓的上半圓，作出曲線與直線的圖象如下圖所示：當(dāng)直線與圓相切，且切點在第二象限時，則有，解得，當(dāng)直線過點時，，.由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線有兩個公共點.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)1】直線與半圓有兩個交點，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖象，利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由半圓，即，如圖所示，當(dāng)直線在第三象限與半圓相切時，圓心到直線的距離，即，解得：或(舍去)，當(dāng)直線過點時，直線與圓有兩個交點和，把代入中，可得，解得，則直線與圓有兩個交點時，的范圍是．故答案為：【鞏固練習(xí)2】若曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】化簡曲線

得：，求出直線過的定點，當(dāng)直線與曲線相切時，直線斜率最小，斜率大于的斜率且小于或等于的斜率求解即可.【詳解】如圖：化簡曲線

得：.曲線表示以C0,1為圓心，半徑的圓的上半圓.∵直線可化為，直線經(jīng)過定點且斜率為.又∵半圓與直線有兩個交點，設(shè)直線與半圓的切線為，半圓的左端點為，當(dāng)直線的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率時，直線與半圓有兩個相異的交點，由點到直線的距離公式，當(dāng)直線與半圓相切時滿足.解之得，即又因為直線的斜率，所以直線的斜率的范圍為.【鞏固練習(xí)3】若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題可知曲線，表示圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，作出直線與半圓，利用數(shù)形結(jié)合即得．【詳解】方程是恒過定點，斜率為的直線，曲線，即，表示圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，半圓弧端點在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與半圓)，如圖，

當(dāng)直線與半圓C相切時，得，且，解得，又，所以或，所以或．【題型9】雙切線模型與切點弦方程1、切點弦方程（二級結(jié)論）：圓外一點向圓作切線，兩個切點A,B的連線方程為（類似的其余圓錐曲線都有此類方程）2、雙切線性質(zhì)：OP⊥l時候①切線長最?、谇悬c四邊形面積最?、矍悬c弦AB最短④切線夾角最大⑤AB平行l(wèi)3、切點弦的方程的常規(guī)求法：如圖，易知PAOB四點共圓，且PO為圓的直徑，而AB為兩圓的公共弦已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為.【答案】【分析】由二級結(jié)論：若點在圓外，過點引圓的兩條切線，切點為，則切點弦(兩切點的連線段)所在直線的方程為：（圓的方程為），代入即可的直線的方程【詳解】由題意，切點弦所在直線的方程為：，化簡得：.（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）已知圓，點為軸上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意由四邊形的面積與的面積關(guān)系，設(shè)可得，利用單調(diào)性即可求出AB的最小值為.【詳解】易知圓的圓心為0,2，半徑為，如圖所示：易知，設(shè)，則由圖可得，又，可得，因為，所以當(dāng)時，AB的最小值為.過點作圓的兩條切線，圓心坐標(biāo)為C，設(shè)切點分別為A，B，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點距離公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面積公式即可求解.【詳解】由，得,則圓心，則，則，則四邊形的面積為.故選：A

（高二上·湖北黃石·期末）已知點是直線上的一點，過點作圓的切線，切點分別為、，則直線恒過定點，四邊形面積的最小值.【答案】【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，求出以為圓心，為半徑的圓的方程，將該圓的方程與圓的方程作差，可得出直線的方程，進(jìn)而可求得直線所過定點的坐標(biāo)；【詳解】如下圖所示：設(shè)點，連接、，則，，由勾股定理可得，以點為圓心，為半徑的圓的方程為，即，將圓的方程與圓的方程作差并化簡得，即直線的方程為，即，由，解得，所以，直線恒過定點；由切線長定理可得，又，，，所以，四邊形的面積為，當(dāng)時，取最小值，即，因此，四邊形的面積的最小值為.【鞏固練習(xí)1】若過點向圓C：作兩條切線，切點分別為A，B，求直線AB的方程【分析】求出以為直徑的圓的方程，再與已知圓的方程相減即得公共弦所在直線的方程.【詳解】過點向圓作兩條切線，切點分別為、，則，于是點、在以為直徑的圓上，而，則的中點為，，因此以為直徑的圓方程為，圓與圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為，所以直線AB的方程為.【鞏固練習(xí)2】已知圓M：和點，過點P作圓M的切線，切點分別為A，B，則三角形PAB外接圓的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知點在圓外，可求出切點弦方程，再利兩圓公共弦方程設(shè)出的外接圓方程，從而可求解.【詳解】由題意得，所以點在圓外，由圓外一點引圓的兩條切線，切點弦方程知識可得，即直線：，的外接圓與圓的交線為，則可得外接圓方程為：，將代入，得，解得，即外接圓方程為，即.【鞏固練習(xí)3】設(shè)點P為直線上任意一點，過點P作圓的切線，切點分別為A，B，則直線必過定點【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，由切線的性質(zhì)得點、在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓的方程聯(lián)立可得直線的方程，將其變形分析可得直線恒過的定點.【詳解】如圖，連接，，根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，則，由于為圓的切線，則有，，則點A、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立可得直線AB：，又由，則有AB：，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點.【鞏固練習(xí)4】已知圓，為直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，當(dāng)四邊形的面積最小時，則直線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到時，最小，從而得到的方程為，進(jìn)而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以圓心，半徑，如圖，，所以四邊形的面積，所以當(dāng)PC最小時，也最小，此時，，故的方程為，即，聯(lián)立解得：，，即，所以直線的方程為，化簡得：.【題型10】直線與圓的聯(lián)立：韋達(dá)定理計算解決直線與圓相交問題，韋達(dá)定理題型常用步驟：(1)得出直線方程，設(shè)交點為：(2)聯(lián)立直線與圓方程，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程；(3)寫出韋達(dá)定理：(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；(5)代入韋達(dá)定理求解（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知圓是圓上的兩點，點，且，則的值為（

）A． B．7 C． D．8【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線的方程，與圓的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，由，得點共線，

顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為，且，由消去x得：，設(shè)，則，又，所以.（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知直線與圓，設(shè)O為坐標(biāo)原點，若直線l與圓C交于兩點，且直線的斜率分別為，，則=．【答案】【分析】先確定直線過定點，再設(shè)坐標(biāo)及直線l方程并與圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計算即可.【詳解】由直線得，令，解得，直線l恒過定點.圓的圓心為，半徑為，直線過點，直線l與圓C交于M，N兩點，則直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，是定值，定值為（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知直線與圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，則，.【答案】【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理、勾股定理求出弦長，設(shè)，，聯(lián)立直線與圓的方程，列出韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以，設(shè)，，由，消去整理得，則，，又，，所以.【鞏固練習(xí)1】在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線與圓交于，兩點，其中點在第一象限，且，則直線的傾斜角為.【答案】【分析】由題意，設(shè)直線與圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量知識，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，設(shè)直線與圓聯(lián)立，可得，設(shè)，，因為，即，則，，，，所以m>0，聯(lián)立解得，直線的方程為，則直線的斜率為，所以傾斜角為.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·湖北·期中）已知圓的半徑為2，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切．(1)求圓的方程；(2)若過點的直線與圓交于不同的兩點，，且，為坐標(biāo)原點，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑得到方程，求出，得到圓的方程；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立圓的方程，得到兩根之和，兩根之積，由得到，根據(jù)得到方程，求出，得到答案.【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以，解得或（舍去），所以圓的方程為．（2）設(shè)，，直線，聯(lián)立得，，，解得，所以，，，因為，所以，解得或（舍去），所以直線．【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·陜西西安·階段練習(xí)）已知圓，過點的直線與交于點，，且.(1)求的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點，求.【答案】(1)(2)16【分析】（1）根據(jù)圓的弦長公式即可結(jié)合點到直線的距離公式求解，（2）聯(lián)立直線與圓的方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.【詳解】（1）將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，則的圓心為，半徑.當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為.此時圓心到的距離，不符合題意.故直線的斜率存在，設(shè)的方程為，即.圓心到的距離.由垂徑定理可得，即，解得.故直線的方程為.（2）聯(lián)立整理得.設(shè)，則..故.【題型11】直線與圓的綜合：定點，定值，定線模型一、定點問題1．證明直線過定點，一般情況下，通過題中條件，尋找直線中的函數(shù)關(guān)系，或者設(shè)參，求解出含參直線方程，再求解出含參直線所過的定點。2．證明定點，可以通過特殊化法先確定定點坐標(biāo)，再證明定點適合題意。二、定值問題探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)：②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。三、定直線問題定直線問題往往是動點所在的定直線、動圓的定切線，含有多個參數(shù)，其幾何特征不明顯，解決時常常不知從何入手，此時，須緊扣等量關(guān)系恒成立，應(yīng)用待定系數(shù)法來處理。四、?？寄Ｐ停?）：模型（極點極線背景）形態(tài)1：如圖，已知圓O：，M，N為圓O與x軸左右交點，直線AB交圓O于A,B兩點直線AM與直線BN交于點P結(jié)論一：若點P在直線上運動，連接PM得到點A,連接PN得到點B，則直線AB過定點結(jié)論二：若直線過定點，則P點軌跡為形態(tài)2：如圖，已知圓O：，直線AB交圓O于A,B兩點，交x軸于Q點，點K為圓外x軸上一點結(jié)論三：①點；②點；③(即x軸平分∠AKB)，以上3個條件知二得一形態(tài)3：如圖，已知圓O：，直線AB交圓O于A,B兩點，交x軸于點K，點Q為圓內(nèi)x軸上一點結(jié)論三：①點；②點；③(即∠1=∠2)，以上3個條件知二得一五、?？寄Ｐ停?）：手電筒模型（平移齊次化）如圖，P，A,B為圓上三點（P點也可以在圓外）結(jié)論一：若直線AB過定點，則或為定值結(jié)論二：若或為定值則直線AB過定點（23-24高二上·天津南開·期中）點M是直線上的動點，O是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）．A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】過點作垂直于直線，根據(jù)圓的性質(zhì)可得以為直徑的圓過定點和，得解.【詳解】如圖，過點作垂直于直線，垂足為，則以為直徑的圓過定點和，易知直線的方程為，聯(lián)立，解得，即.所以以為直徑的圓經(jīng)過定點和.故選：D.

（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且該圓經(jīng)過點.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線m交圓C于M，N兩點，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線m的斜率是定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓C的半徑即可作答.（2）設(shè)出直線AM，AN的方程，與圓C的方程聯(lián)立，求出點M，N的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)公式計算作答.【詳解】（1）依題意，圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.（2）設(shè)直線方程為：，由消去y并整理得：，則有點，而直線：，同理，于是得直線的斜率，所以直線m的斜率是定值，該定值為.如圖所示，已知圓與軸交于、兩點，過點的直線與圓交于、兩點，探究直線、交點是否在定直線上．若是，請求出該直線；若不是，請說明理由．【答案】是，在定直線上．【分析】根據(jù)題意設(shè)出，，，，構(gòu)造出構(gòu)曲線系方程，對比系數(shù)得出，再聯(lián)立、直線方程即可得到定直線.【詳解】設(shè)，，，，構(gòu)造曲線系方程，由于曲線系方程也可表示圓的方程，故上式應(yīng)可化簡為，對比得的系數(shù)為；的系數(shù)為；由此兩式解得故將、直線方程進(jìn)行聯(lián)立可得，解得，故在定直線上．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知圓C與直線相切于點，且圓心C在x軸的正半軸上.(1)求圓C的方程；(2)過點作直線交圓C于M，N兩點，且M，N兩點均不在x軸上，點，直線BN和直線OM交于點G.證明：點G在一條定直線上，并求此直線的方程.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）設(shè)圓心，利用垂直關(guān)系求出圓心坐標(biāo)，從而利用距離公式求出半徑，即可求出圓的方程；（2）設(shè)直線MN方程，與圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理式，求出直線OM和直線BN的方程，聯(lián)立求得，即可證明.【詳解】（1）由圓心C在x軸的正半軸上設(shè)圓心，又圓C與直線相切于點，則，解得，所以，半徑，所以圓C的方程為：.（2）設(shè)Mx1,y1，N聯(lián)立得，，，，直線OM方程為：，直線BN方程為：y=y2x2可得，所以點G在直線上.（2024高二·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓和直線（其中和均為常數(shù)，且），為l上一動點，為圓與軸的兩個交點，直線與圓的另一個交點分別為.(1)若，M點的坐標(biāo)為,求直線方程；(2)求證：直線過定點，并求定點的坐標(biāo)．【答案】(1)．(2)證明見解析，過定點．【分析】（1）解法一：通過，，求出．然后推出坐標(biāo)，即可求直線方程；解法二：通過，，求出．直線與的方程，由在曲線，求出直線的方程．（2）證明法一：設(shè)，設(shè)，求出直線的方程，直線的方程，通過直線與圓的方程聯(lián)立，求出直線的方程，然后說明經(jīng)過定點，求定點的坐標(biāo)；法二：設(shè)得，設(shè)，求出直線的方程，與圓的交點,設(shè)為Px1,y1，求出直線的方程，與圓的交點設(shè)為Qx2,y2．點Px1,y1，Qx2,y2在曲線上，有【詳解】（1）解法一：當(dāng)，，則，則直線的方程：，即，解得．同理可得直線的方程：，解得．由兩點式得直線方程為：，即．解法二：通過，，求出，則直線的方程：，即，解得．同理可得直線的方程：，解得．由在曲線，則當(dāng)時，求出直線方程為．（2）證法一：由題設(shè)得．設(shè)，直線的方程是：，直線的方程是：．解得．解得．于是直線PQ的斜率，直線PQ的方程為．上式中令，得是一個與無關(guān)的常數(shù)．故直線PQ過定點．證法二：由題設(shè)得，．設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：，與圓的交點,設(shè)為Px1,y直線MA2的方程是：,與圓的交點設(shè)為Qx2,y則點Px1,y1化簡得

①又有Px1,y1，Q①－×②得化簡得：．所以直線的方程為,

③在③中令，得是一個與無關(guān)的常數(shù)．故直線過定點．（23-24高二上·山東淄博·期中）已知動點與兩個定點的距離的比為.(1)求動點的軌跡；(2)過點作直線，交曲線于兩點，不在軸上．①過點作與直線垂直的直線，交曲線于兩點，記四邊形的面積為，求的取值范圍：②已知，設(shè)直線相交于點，試討論點是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)①；②是，直線方程；理由見解析【分析】（1）設(shè)為所求軌跡上的任意一點，結(jié)合，列出方程，即可求解；（2）①設(shè)直線的方程為，求得圓心到直線的距離，得到，分和，兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；②聯(lián)立方程組，求得，再由直線和方程，聯(lián)立可得，代入求得的值，即可求解.【詳解】（1）設(shè)為所求軌跡上的任意一點，則，可得，整理得，所以曲線的方程.（2）①設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，所以，（i）若，則直線為軸，此時，則，（ii）若，則直線為，，所以，令，由于，則，，于是，由于，所以，因此，即時，取得最大值，最大值為7，同時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，即面積的取值范圍為，綜上所述：②設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，易得，所以，直線方程為，直線方程為，聯(lián)立可得，可知，代入上式得，解得所以點在定直線上..【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·山東·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程：，點B，C是圓上關(guān)于軸對稱的兩點，點P是圓上任意一點，直線PB與軸交于點M，直線PC與軸交于點N，則的值為（

）A．4 B．2 C．6 D．3【答案】A【分析】設(shè)，，則C．根據(jù)兩點坐標(biāo)求直線斜率公式和直線的點斜式方程表示出直線PB、PC的方程，令可得點M、N的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的模表示出，計算化簡即可求解.【詳解】設(shè)，，∵點B，C關(guān)于y軸對稱，∴點C的坐標(biāo)為．∵點B，C，P均為圓上一點，∴，，直線PB的方程：，直線PC的方程：，令，則M點的縱坐標(biāo)為，N點的縱坐標(biāo)為，∴，．【鞏固練習(xí)2】已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程．(2)過點M（1，0）的直線與圓C交于A，B兩點（A在x軸上方），問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)x2＋y2＝4.(2)存在，（4，0）【詳解】解：（1）設(shè)圓心C（a，0）（a＞－），則＝2，解得a＝0或a＝－5（舍去）.所以圓C的方程為x2＋y2＝4.（2）當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB，此時N可以為x軸上任意一點．當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x－1）（k≠0），點N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2＋1）x2－2k2x＋k2－4＝0，經(jīng)檢驗Δ＞0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN，即＋＝0，則＋＝0，即2x1x2－（t＋1）（x1＋x2）＋2t＝0，即－＋2t＝0，解得t＝4，所以當(dāng)點N坐標(biāo)為（4，0）時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．【鞏固練習(xí)3】如圖，已知的方程為，點A5,0，過點A作的切線AP，P為切點.(1)求AP的長；(2)在x軸上是否存在點B（異于A點），滿足對上任一點C，都有為定值？若存在，求B點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)4；(2)存在點B，為定值.【分析】（1）利用勾股定理求出切線長.（2）設(shè)出點、點坐標(biāo)，根據(jù)題意列出等式化簡，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解即可.【詳解】（