數(shù)學(xué)高二-高二數(shù)學(xué)第一次月考模擬卷（范圍：空間向量+直線方程）（原卷版）

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考模擬卷考試范圍：空間向量+直線方程試卷滿分：150分考試用時：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知空間向量,若共面，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．4．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．5．已知，兩點到直線的距離相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或6．如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射后又經(jīng)過點，則光線從A到B走過的路程為（

）A． B． C． D．7．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．過定點A的直線與過定點B的直線交于點與A、B不重合，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列四個選項中，說法錯誤的是（

）A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線與直線互相平行，則C．過兩點的所有直線的方程為D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為.10．下列說法正確的是（

）A．若直線的一個方向向量為，則該直線的斜率為B．方程表示過點的所有直線C．當(dāng)點到直線的距離最大時，的值為D．已知直線過定點且與以、為端點的線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是11．已知正方體的邊長為2，E?F?G?H分別為???的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．點到平面的距離為2 D．二面角的大小為三．填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為.

13．已知，，三點，則到直線的距離為.14．設(shè)A，B，C三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，已知平行六面體的底面是矩形，且，，，為與的交點，設(shè)，，.

(1)用，，表示，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.16．如圖，在正四棱柱中，，．點分別在棱上，，，．

(1)證明：；(2)求點到平面的距離；17．已知頂點，邊上的高所在直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)求頂點的坐標(biāo)與的面積.

18．如圖1，在中，，，分別為邊，的中點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.

(1)求證：平面；(2)若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；(3)線段上一動點滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

19．已知兩條直線，(1)若直線與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點，又過定點，當(dāng)為何值時，有最小值，并求此時的方程；(2)若，設(shè)與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，求這個四邊形面積的最大值；(3)設(shè)，直線與軸交于點，的交點為，如圖現(xiàn)因三角形中的陰影部分受到損壞，經(jīng)過點的任意一條直線MN將損壞的部分去掉，其中直線的斜率，求保留部分三角形面積的取值范圍．2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考模擬卷考試范圍：空間向量+直線方程試卷滿分：150分考試用時：120分鐘12345678DADACCBC91011ADACDBC121314一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知空間向量,若共面，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用三個向量共面，即可列出方程求出實數(shù)的值.【詳解】因為共面，所以存在實數(shù)對,使得,即，所以解得故選：D．2．已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當(dāng)時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線間方程的特征，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為和互相平行，所以，解得.直線可以轉(zhuǎn)化為，由兩條平行直線間的距離公式可得.故選：D4．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由求出，再利用空間向量的夾角公式求解即可【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因為，，且，所以，得，所以，所以，因為，所以，故選：A5．已知，兩點到直線的距離相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用點到直線距離公式列出關(guān)于的方程求解即可．【詳解】因為點到直線的距離相等，所以，即，化簡得，解得或.故選：C.6．如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射后又經(jīng)過點，則光線從A到B走過的路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點關(guān)于線對稱求出C點標(biāo),結(jié)合反射光線的性質(zhì)應(yīng)用兩點間距離公式求出距離的最小值即可.【詳解】一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射,與交于點P,由題意可得，點關(guān)于直線的對稱點在反射光線上，設(shè),則,,故光線從A到B所經(jīng)過的最短路程是.故選：C.7．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩點距離公式，轉(zhuǎn)化問題式為動點到兩定點距離之和的最小值，根據(jù)將軍飲馬模型計算即可.【詳解】由，即轉(zhuǎn)化問題為：直線上一動點到點的距離之和最小，

如圖所示，設(shè)直線與軸分別交于點，則，由直線方程可得其傾斜角為，易知是等腰直角三角形，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，連接，則三點共線，易知也是等腰直角三角形，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)重合時取得最小值.故選：B8．過定點A的直線與過定點B的直線交于點與A、B不重合，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由題意可知，先求出動直線經(jīng)過定點，再結(jié)合垂直條件應(yīng)用基本不等式求出面積的最大值.【詳解】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過點定點，過定點A的直線與過定點B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點，有，故,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最大值為故選:二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列四個選項中，說法錯誤的是（

）A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線與直線互相平行，則C．過兩點的所有直線的方程為D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為.【答案】AD【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率判斷A；根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，即可判斷B；根據(jù)兩點式方程判斷C；分截距都為與都不為兩種情況討論，即可判斷D.【詳解】對于A：坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角，但是與軸平行（重合）的直線的傾斜角為，斜率不存在，故A錯誤；對于B：因為直線與直線互相平行，則，解得或，當(dāng)時直線與直線重合，故舍去，當(dāng)時直線與直線平行，符合題意，綜上可得，故B正確；對于C：過兩點的所有直線的方程為，故C正確；對于D：當(dāng)截距都為時直線方程為，當(dāng)截距都不為時，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上可得滿足條件的直線方程為或，故D錯誤.故選：AD10．下列說法正確的是（

）A．若直線的一個方向向量為，則該直線的斜率為B．方程表示過點的所有直線C．當(dāng)點到直線的距離最大時，的值為D．已知直線過定點且與以、為端點的線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是【答案】ACD【分析】根據(jù)直線的斜率與方向向量之間的關(guān)系可判斷A選項；根據(jù)點斜式方程可判斷B選項；求出直線所過定點的坐標(biāo)，可知，當(dāng)直線與垂直時，合乎題意，可求出的值，可判斷C選項；作出圖形，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的變化關(guān)系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若直線的一個方向向量為，則該直線的斜率為，A對；對于B選項，方程表示過點，且斜率為的直線，但不包括直線，B錯；對于C選項，將直線方程變形為，由可的，所以，直線過定點，當(dāng)直線與垂直時，點到直線的距離最大時，因為，則，C對；對于D選項，如圖，，，所以由圖可知，或，則斜率的取值范圍是，D對.故選：ACD.11．已知正方體的邊長為2，E?F?G?H分別為???的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．點到平面的距離為2 D．二面角的大小為【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,運用空間向量的方法對線線垂直，線面平行，點面距離，二面角進(jìn)行計算，對選項進(jìn)行分析,由此確定正確答案【詳解】解：以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以，所以，所以，故A選項錯誤；設(shè)平面的法向量為，則，令則，所以，所以，由于平面，所以平面，故B選項正確；，所以到平面的距離為故C選項正確；由正方體可得平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，所以，故D選項錯誤三．填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為.

【答案】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再求出相關(guān)向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，，得，由底面為矩形，，，得，顯然，又，因此，所以.故答案為：13．已知，，三點，則到直線的距離為.【答案】【分析】根據(jù)條件，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】因為，，所以，得到，所以到直線的距離為，故答案為：.14．設(shè)A，B，C三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為．【答案】【分析】法一：可初步確定點所在的平面，作，在這個面的射影，，利用把空間向量問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)和基本不等式求最小值.法二：建立空間直角坐標(biāo)系，不妨假設(shè)A在平面中，設(shè)，，，和分別是點，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解.【詳解】法一：如圖：

不防設(shè)點在正方體的下底面內(nèi)，，在正方體的表面的任何位置，它們在下底面的射影分別為，.則，.所以，，.所以（當(dāng)與方向相反時取“”）.又（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.分析兩個“”成立的條件，可知為中點時，有最小值.此時（當(dāng)為下底面的面對角線時取“”）.所以，（當(dāng)位于下底面中心，，在下底面的射影是下底面的面對角線端點時取“”）.法二：將正方體置于空間直角坐標(biāo)系中，且A在平面中，點和點的連線是一條體對角線．

設(shè)，，，和分別是點，在平面上的投影．可得，，，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)點C為的中點時，等號成立，可得，所以，當(dāng)，，且時等號成立．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，已知平行六面體的底面是矩形，且，，，為與的交點，設(shè)，，.

(1)用，，表示，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平行六面體的性質(zhì)，結(jié)合空間向量基本定理求解即可；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）因為是平行六面體，所以，（2）因為，底面是矩形，所以，又因為，，所以，，因此，，若異面直線與所成角為，則，因此異面直線與所成角的余弦值為．16．如圖，在正四棱柱中，，．點分別在棱上，，，．

(1)證明：；(2)求點到平面的距離；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可證明；（2）根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）

以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，不在一條直線上，.（2）設(shè)平面的一個法向量為，，所以，設(shè)，則，所以，又因為，所以點到平面的距離.17．已知頂點，邊上的高所在直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)求頂點的坐標(biāo)與的面積.【答案】(1)(2)，20【分析】（1）由AC邊上的高BH所在直線方程為可得直線BH的斜率為1，根據(jù)垂直時斜率乘積為-1可得直線AC的斜率為-1，且過即可得到AC邊所在直線方程；（2）聯(lián)立直線AC和直線CM，即可求出頂點C的坐標(biāo)．求出AC的長和B到AC的距離，結(jié)合面積公式即得.【詳解】（1）∵，，∴，∴方程為：，即.（2）聯(lián)立解得，.設(shè)，則，∴，∴.∴，到直線距離為，而.∴的面積為.18．如圖1，在中，，，分別為邊，的中點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.

(1)求證：平面；(2)若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；(3)線段上一動點滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由中位線和垂直關(guān)系得到，，從而得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值；（3）求出兩平面的法向量，根據(jù)二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【詳解】（1）因為，分別為，的中點，所以.因為，所以，所以.又，，平面，所以平面.（2）因為，，，所以，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

依題意有A0,0,0，，，D0,1,0，，，則，，，.設(shè)平面的法向量，則有令，得，，所以是平面的一個法向量.因為，所以直