第1講基本不等式（原卷版）

第1講：基本不等式(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：直接法類型二：湊配法類型三：分離法類型四：二次與二次（一次）商式（換元法）類型五：常數(shù)代換“1”的代換類型六：消元法類型七：對鉤函數(shù)1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個(gè)重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；4、對鉤函數(shù)：對鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：（）的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.函數(shù)（）?？紝︺^函數(shù)（）定義域定義域值域值域奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減5、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項(xiàng)，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.類型一：直接法典型例題例題1．（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例題2．（2022·貴州遵義·三模（理））若，則的最大值為（

）A． B． C． D．同類題型演練1．（2022·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）若，則有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值2．（2022·廣東·普寧市華美實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是________.3．（2022·四川成都·高一期末（理））若，則的最小值為________________．類型二：湊配法典型例題例題1．（多選）（2022·河北廊坊·高三階段練習(xí)）已知，則的取值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例題2．（2022·云南云南·高二階段練習(xí)）已知，則的最小值為__________.同類題型演練1．（2022·廣西柳州·高一期末）若，則的最小值為___________.2．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一期末）已知，則的最小值是______．3．（2022·四川涼山·高一期末（文））若，則的最小值為______．類型三：分離法典型例題例題1．（2022·云南紅河·高一期末）函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·遼寧撫順·高二期末）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．例題3．（2022·吉林·長春市第五中學(xué)高二期末）已知，求的最小值______________.同類題型演練1．（2022·遼寧丹東·高二期末）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．92．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，比較兩數(shù)的大?。篲_____9．3．（2022·福建省同安第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值為___________.4．（2022·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，當(dāng)取得________時(shí)；取得最小值為_________；類型四：二次與二次（一次）商式（換元法）典型例題例題1．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最大值為______.例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為______．同類題型演練1．（2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為___．2．（2022·內(nèi)蒙古·鄂爾多斯市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)，則函數(shù)的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7類型五：常數(shù)代換“1”的代換典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．27例題2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．4 B． C．5 D．9例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3例題4．（2022·江蘇·宿遷中學(xué)高二期末）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題5．（2022·云南麗江·高一期末）若正數(shù)，滿足，則的最小值為___________.同類題型演練1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．2．（2022·河南·永城市苗橋鄉(xiāng)重點(diǎn)中學(xué)高一期末）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．2 B．6 C．3 D．94．（2022·四川資陽·高一期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則最小值為______．5．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知，，，則的最小值為__________．6．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學(xué)高二期中）非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．類型六：消元法典型例題例題1．（2022·貴州遵義·高一期末）負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．例題2．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．同類題型演練1．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．62．（2021·湖南長沙市湖南師大附中高二月考）若正數(shù)滿足，則的最小值是___________.類型七：對鉤函數(shù)典型例題例題1．（2021·廣東·江門市廣雅中學(xué)高一期中）函數(shù)的最小值為（

）A． B．2 C．3 D．4【錯解】D故選：D（錯解在于利用基本不等式求最值問題，要滿足一正，二定，三相等，顯然本例中，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即取不到