專(zhuān)題04復(fù)數(shù)（重難點(diǎn)突破）

專(zhuān)題04復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的______和______.若______，則a＋bi為實(shí)數(shù)，若________，則a＋bi為虛數(shù)，若____________，則a＋bi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R).(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?____________(a，b，c，d∈R).(4)．復(fù)數(shù)：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,b分別叫它的和．(5)．分類(lèi)：設(shè)復(fù)數(shù)：(1)當(dāng)＝0時(shí)，z為實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)0時(shí)，z為虛數(shù)；(3)當(dāng)＝0,且0時(shí)，z為純虛數(shù).(5)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作____或________，即|z|＝|a＋bi|＝__________.2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f((a＋bi)(c－di),(c＋di)(c－di))＝________________________(c＋di≠0).3.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R).(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)__________.一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例1．（2022·四川·寧南中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（文））已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t.故選：B.【變式訓(xùn)練11】、（2021·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）（多選題）已知復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的為（）A． B．z的虛部是4C．是純虛數(shù) D．z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義、復(fù)數(shù)虛部的定義，結(jié)合純虛數(shù)的定義、復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的特征逐一判斷即可.【詳解】復(fù)數(shù)，則，故A正確；的虛部是，故B錯(cuò)誤；，是實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限，故D正確.故選：AD二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例2．（1）、（2022·陜西·高新一中高三階段練習(xí)（文））若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．5【答案】B【解析】【分析】直接對(duì)原式兩邊求模，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?，故選：B.（2）、（2022·河南·一模（理））已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等，應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)z即可.【詳解】由題設(shè)，.故答案為：.【變式訓(xùn)練21】、（2022·浙江·高二期末）i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】故答案為：.【變式訓(xùn)練22】、（2022·廣東五華·一模）若，其中a，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相等，列式求，即可求解.【詳解】，所以，得.故選：B三、復(fù)數(shù)的幾何意義例3．（2022·浙江省龍游中學(xué)高二期末）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定復(fù)數(shù)所在象限【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選：D【變式訓(xùn)練31】、（2021·云南·高三期中（文））已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模化簡(jiǎn)求出，即可判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】，，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，故選：D四、復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用例4．（2021·貴州遵義·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù).(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先將代入化簡(jiǎn)，再由其虛部為零可求出的值，從而可求出復(fù)數(shù)，（2）先對(duì)化簡(jiǎn)，再由題意可得從而可求得結(jié)果(1)因?yàn)椋?，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得.故.(2)因?yàn)椋?因?yàn)閺?fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第二象限，所以解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【變式訓(xùn)練41】、（2022·上海·復(fù)旦附中高二期末）已知關(guān)于x的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根分別為?.(1)若該方程沒(méi)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；并在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)進(jìn)行因式分解；(2)若，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】(1)，(2)或【解析】【分析】（1）若該方程沒(méi)有實(shí)根，則，解之即可，由，可得，即可在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)進(jìn)行因式分解；（2）分和兩種情況討論，結(jié)合韋達(dá)定理從而可得