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文檔簡介

專題九立體幾何一、選擇題1.下列命題中正確的是(

)A.經(jīng)過三點確定一個平面B.經(jīng)過兩條平行直線確定一個平面C.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面D.四邊形確定一個平面【答案】B【解析】對于選項A:經(jīng)過不共線的三點確定一個平面,故選項A錯誤;對于選項B:兩條平行直線唯一確定一個平面,故選項B正確;對于選項C:經(jīng)過一條直線和直線外一個點確定一個平面,故選項C錯誤;對于選項D:因為空間四邊形不在一個平面內(nèi),故選項D錯誤,故選:B.2.正方體中,異面直線與所成角為(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意,作正方體,如下圖所示:連接,,∴異面直線與即所成的角為,由題可得為等邊三角形,,∴異面直線與所成的角為60°,故選:B.3.已知直線在平面內(nèi),直線不在平面內(nèi),則“”是“”(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分條件又非必要條【答案】A【解析】先討論充分性,即考慮“”能否推出“”,因為直線在平面內(nèi),直線不在平面內(nèi),,所以,所以“”是“”的充分條件,討論必要性,即考慮“”能否推出“”,因為直線在平面內(nèi),直線不在平面內(nèi),,所以m||n或者m,n異面,所以“”是“”的非必要條件,故選A.4.如圖所示,P為矩形ABCD所在平面外一點,矩形對角線交點為O,M為PB的中點,下列結(jié)論正確的個數(shù)為(

)①平面PBC

②平面PCD

③平面PDA④平面PBAA.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】對于①,平面,故①錯誤;對于②,由于為的中點,為的中點,則,平面,平面,則平面,故②正確;對于③,由于,平面,平面,則平面,故③正確;對于④,由于平面,故④錯誤,故選:B.5.在空間四邊形中,分別為上的點,且,分別為的中點,則(

)A.平面,且四邊形是平行四邊形B.平面,且四邊形是梯形C.平面,且四邊形是平行四邊形D.平面,且四邊形是梯形【答案】B【解析】如圖,由題意,得,且,,且,∴且,∴四邊形是梯形;又,平面,平面,∴平面;所以選項B正確,故選:B.6.已知長方體中,,,長方體的體積是32,則直線和平面所成角的正弦值為(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】因為長方體的體積是32,所以;所以四邊形為正方形,如下圖所示:取的中點,連接,則,又,所以平面,所以即為和平面所成角;有勾股定理可知;;所以在中,,故選:C.7.在長方體中,,,則二面角的正切值為(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】∵,,由二面角的平面角的定義知,就是二面角的平面角,又,所以,故選:D.8.在正方體中,E是的中點,若,則點B到平面ACE的距離等于(

)A. B. C. D.3【答案】B【解析】如圖,在正方體中,,是的中點,則,,.,設(shè)點到平面的距離為,由,得,解得,故選:.9.已知圓錐的高為,底面半徑為4.若一球的表面積與此圓錐的側(cè)面積相等,則該球的半徑為(

)A. B. C. D.2【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為,因為圓錐的高為,底面半徑為4,所以圓錐的母線長為:,由題意可知:,故選:A.10.已知四面體的棱長都等于2,那么它的外接球的表面積為(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖,正四面體棱長為2,平面于,則是中心,,平面,平面,則,設(shè)外接球球心為,則在,則為外接半徑,由得,解得,所以其外接球的表面積為,故選:C.二、填空題11.若直線a和b沒有公共點,則a與b的位置關(guān)系是.【答案】平行或異面【解析】空間中兩條直線的位置關(guān)系有3種:相交,有且只有一個公共點;平行,沒有公共點;異面,沒有公共點,所以直線a和直線b沒有公共點,則它們的位置關(guān)系是平行或異面,故答案為:平行或異面.12.設(shè)E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,若AC⊥BD,則四邊形EFGH的形狀是.【答案】矩形【解析】如圖所示,∵E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,∴EFAC,且EFAC,HGAC,且HGAC,∴EFHG,且EFHG,∴四邊形EFGH是平行四邊形,又AC⊥BD,∴EF⊥EH,則四邊形EFGH的形狀是矩形.,故答案為:矩形.13.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等于.【答案】【解析】PA⊥平面ABC,∠PBA為PB與平面ABC所成的角,PA=AB,∠PBA=45°,故答案為:.14.如圖,P是二面角內(nèi)的一點,PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B.若∠APB=80°,則二面角的大小為. 【答案】100°【解析】設(shè)二面角的大小為,因為PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B,所以,所以,故答案為:100°.15.正方體中,分別是的中點,如圖,則:與平面的位置關(guān)系是.【答案】平行【解析】如圖,取的中點,連接∵為的中點,∴為的中位線,則,且,∵為的中點,∴且,∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴,而平面,平面,∴平面,答案:平行..16.如圖所示,ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點,P是上底面的棱AD上的一點,AP=,過P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=.【答案】【解析】∵MN//平面ABCD,平面PMNQ∩平面ABCD=PQ,MN?平面PQNM,∴MN//PQ,易知DP=DQ=,故PQ=,故答案為:.17.半徑為4的半圓卷成一個圓錐,則該圓錐的體積為.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,母線為,高為,因為圓錐是由半徑為4的半圓卷成,所以,由,由勾股定理可得:,所以圓錐的體積為:,故答案為:.18.在一個底面圓直徑和高都是2的圓柱內(nèi)挖去一個圓錐,圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓錐的頂點是圓柱的下底面中心,這個幾何體的表面積為.【答案】【解析】挖去圓錐的母線長為,則圓錐的側(cè)面積為,圓柱的側(cè)面積為,圓柱的一個底面積為,故幾何體的表面積為,故答案為:.三、解答題19.如圖,在四棱錐中,底面為矩形,為中點,證明:平面【答案】證明見解析【解析】證明:設(shè),連接,因為分別為中點,所以//,因為平面,平面,所以//平面.20.已知P是△ABC所在平面外的一點,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求證:BC⊥AC.【答案】證明見解析【解析】證明:如圖,在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點D,因為平面PAC⊥平面PBC,平面PAC平面PBC=PC,AD?平面PAC,且AD⊥PC,所以AD⊥平面PBC,又BC?平面PBC,所以AD⊥BC.因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,因為ADPA=A,所以BC⊥平面PAC,又AC?平面PAC,所以BC⊥AC.21.如圖,平面ABC,,EA=2DC,F(xiàn)是EB的中點.(1)求證:平面ABC;(2)求證:平面ABC.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;【解析】證明:(1)∵EA⊥平面ABC,AB,AC平面ABC,∴EA⊥AB,EA⊥AC,又DC∥EA,∴DC⊥AB,DC⊥AC,∵ABAC=A,AB、AC平面ABC,∴DC⊥平面ABC.(2)取AB中點M,連結(jié)CM,F(xiàn)M,在△ABE中,F(xiàn),M分別為EB,AB中點,F(xiàn)M∥EA,且EA=2FM,又DC∥EA且EA=2DC,于是DC∥FM,且DC=FM,∴四邊形DCMF為平行四邊形,則DF∥CM,CM平面ABC,DF平面ABC,∴DF∥平面ABC.22.如圖,在底面是矩形的四棱錐中,底面,,分別是,的中點.(1)若,求四棱錐的體積;(2)求證:平面.【答案】(1);(2)證明詳見解析【解析】(1)解:∵在底面是矩形的四棱錐中,底面,,∴;(2)證明:∵四邊形為矩形,∴,∵底面,面,∴,又,∴面,又,分別是,的中點,∴,∴平面.23.如圖,在正三棱錐中,底面邊長為6,側(cè)棱長為5,G、H分別為PB、PC的中點.(1)求證:平面ABC;(2)求正三棱錐的表面積.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)證明:因為G、H分別為PB、PC的中點,所以,又平面,平面,所以平面ABC.(2)解:設(shè)BC中點為D,連接PD,因為三棱錐PABC是正三棱錐,所以是等腰三角形,所以,在Rt中,又,PB=5,PD=,所以正三棱錐側(cè)面積為,底面積為,所以正三棱錐PABC的表面積為.24.如圖,四棱錐的底

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