專題03不等式問題中的同構變形策略（學生版）

專題03不等式問題中的同構變形策略專題03不等式問題中的同構變形策略同構，在抽象代數(shù)中指一個保持結構的雙射，在高中階段則表示結構或形式相同．在很多不等式問題中，經(jīng)過同構變形使不等式兩側呈現(xiàn)相同結構，然后構造函數(shù)，結合復合函數(shù)的單調(diào)性，將不等式蘊含的特征與屬性清晰明朗地呈現(xiàn)出來，可解決求參數(shù)的取值范圍、零點的個數(shù)、證明不等式等問題，此種解法不妨稱為同構法．例如，若能等價變形為，然后利用外層函數(shù)的單調(diào)性，轉化為或．例如：若，則（）．A．B．C．D．分析：由于，設，則，又在上單調(diào)遞增，則，故選B．同構法變形精巧，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧對稱之美，能夠有效培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)，成為近年數(shù)學研究的熱點之一．同構法的關鍵是同構變形，上例中的變形是容易的，對于較為復雜的同構變形，目標應該指向何方？同構變形又有哪些策略呢？一般的，同構變形最終要歸結為一些常見的函數(shù)模型，如、等．從構造方式來看，它們都是基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算或復合而成，特別是以和為基礎構造的系列函數(shù)；從特征來看，這些函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等屬性容易討論同構變形的策略靈活多樣，常見的有移項、取對數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)式的互化等，以下舉例說明．策略一：借助移項、四則運算等同構變形對于較為簡單的多項式函數(shù)，可根據(jù)題設條件，通過移項、四則運算等變形，直至不等式兩側呈現(xiàn)相同的結構，之后引進新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題．例1若，則（）A．B．C．D．解：由題意得．設，則，又在上單調(diào)遞增，則，則．選A．例2已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)p、q，且，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：不妨設，則不等式變形為．設，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，從而在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，易得．點評：例2中通過對已知不等式變形，使不等式兩邊結構相同，適時引入函數(shù)，進而將問題轉化為不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)可輕松獲解．策略二：借助取對數(shù)運算同構變形數(shù)據(jù)處理中，我們經(jīng)常對原始數(shù)據(jù)取對數(shù)，然后再作出處理．依據(jù)主要有二，一是通過取對數(shù)可以大幅壓縮數(shù)據(jù)的絕對數(shù)值，數(shù)據(jù)更趨平穩(wěn)．本質(zhì)上是：當x的取值很大時，對數(shù)函數(shù)變化速度非常緩慢；二是通過取對數(shù)降低運算的維度．由于，，，，，取對數(shù)后，乘方運算轉化成了乘法計算，乘法運算則轉化成了加法計算．對于兩邊均是指數(shù)型不等式，可考慮通過取對數(shù)，將指數(shù)問題轉化為對數(shù)問題，降低思維難度．例3已經(jīng)，求證：．解：因為，所以，只需證明，即，從而．設，又，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即．所以．策略三借助恒等式代換同構變形由對數(shù)的概念易知等式成立，我們常常利用該式簡化計算．但逆向觀察該式，則有，特殊的，可以發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)式可等價變形為指數(shù)式，必要時實施此代換，可將一些結構不良的不等式變形為不等式兩邊相同的結構特征，然后引入新函數(shù)求解．例4已知函數(shù)．若，求a的取值范圍．解：的定義域是，若，即，亦即，從而，即不等式在上恒成立．設，則在R上單調(diào)遞增，又，所以．從而．設，，當時，；當時，，故當時，有極大值，也是最大值．所以，得．點評：本題的難點是將不等式進行變形，利用恒等式和代換，實現(xiàn)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)式之間的相互轉化，使不等式變形為更協(xié)調(diào)的形式，然后構造函數(shù)，利用的單調(diào)性，將問題簡化為恒成立問題．例5設，若存在，使得不等式成立，求k的取值范圍．解：由得，不等式的兩邊同時乘以得，即．設，則，又在上單調(diào)遞增，所以，進而．設，，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，故，從而．點評：利用恒等式，將變形為，此時不等式兩邊的結構一致，然后引入函數(shù)，利用在上單調(diào)遞增得，通過分離參數(shù)轉化為函數(shù)的最值問題．例6設實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，求的取值氛圍；解：由題意得入，不等式的兩邊同時乘以得，即，設，則，又，當時，單調(diào)遞增，所以入，進而．設，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，故，從而．點評：與例5類似，利用恒等式，將不等式入同構變形為，之后水到渠成的構造函數(shù)，利用在上單調(diào)遞增得，再通過分離參數(shù)轉化為的最大值問題．結合上述幾例可知，掌握以下要點對于同構變形有益的：第一，“函數(shù)模型”要儲備完善．同構變形往往歸結為一些常見的函數(shù)模型，如等．熟練掌握這些函數(shù)模型的性質(zhì)（尤其是單調(diào)性），可有效加快解題的進程；第二，熟悉同構變形的常用技巧，如移項、取對數(shù)、利用恒等式代換等．特別是取對數(shù)和利用恒等式代換，體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)三個基本初等函數(shù)之間的內(nèi)在關聯(lián)，內(nèi)涵豐富，意蘊悠長．然而，同構變形技巧性強，需要學生具備較全面的知識儲備、較高的關鍵能力和素養(yǎng)，而這些顯然不是一朝一夕就能輕松練就的．教師要通過典型題目的剖析講評，結合題設條件將被破壞的結構進行還原變形，直至不等式同構形式，然后選擇構造新函數(shù)，結合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)簡化不等式，即將原不等式中蘊含的內(nèi)在規(guī)律外顯化，揭示問題的豐富背景和內(nèi)涵，讓學生在驚訝于同構法巨大威力的同時，又不會感到其玄妙莫測和出其不意．通過對解題過程的思維分析，留住知識之“根”，方法之“根”，價值之“根”和本質(zhì)之“根”．專題強化訓練1．已知函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．2．已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知對任意給定的，存在使成立，則實數(shù)的取值范圍為：__________．4．已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為：_______．5．已知，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為______.6．不等式的解集為____．7．已知函數(shù)，，則t的取值范圍是_______．8．設，若存在正實數(shù)x，使得不等式成立，則k的最大值為__________．9．如果，則的取值范圍是___________．10．已知函數(shù)，若，求的取值范圍