七年級(jí)數(shù)學(xué) 第02講 有理數(shù)與數(shù)軸（原卷版）

第02講有理數(shù)與數(shù)軸1.了解具有相反意義的量，正負(fù)數(shù)的概念；2.理解有理數(shù)的概念，能正確將數(shù)進(jìn)行分類；3.理解數(shù)軸的概念，并能正確畫(huà)出數(shù)軸,，在數(shù)軸上表示數(shù)；4.通過(guò)數(shù)軸與有理數(shù)是相互對(duì)應(yīng)的，初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)合思想。知識(shí)點(diǎn)1正數(shù)和負(fù)數(shù)概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“—”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號(hào)的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）2.意義：在同一個(gè)問(wèn)題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。知識(shí)點(diǎn)2：有理數(shù)概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。（有限小數(shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。2.分類：兩種⑴按正、負(fù)性質(zhì)分類：⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分?jǐn)?shù)整數(shù)0零有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)軸1.概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度2.對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。比較大小：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。3.應(yīng)用求兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè)作減法，在原點(diǎn)的兩側(cè)作加法。（注意不帶“+”“—”號(hào)）考點(diǎn)1：正數(shù)與負(fù)數(shù)例1．（2023?黔東南州一模）在﹣3，﹣2，0，5四個(gè)數(shù)中，負(fù)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-1】（2023?安徽模擬）數(shù)1，，0，﹣2，﹣3中正數(shù)有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-2】（2023?柯橋區(qū)校級(jí)模擬）下列各數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（）A．8 B．5.6 C． D．【變式1-3】（2022秋?安陸市期末）寫出一個(gè)﹣1與0之間的負(fù)數(shù)．考點(diǎn)二：相反意義量的表示例2.（2023?遵義三模）某水庫(kù)4月份的最高水位超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)水位3cm，記為+3cm，最低水位低于標(biāo)準(zhǔn)水位3cm，記為（）A．+3cm B．﹣3cm C．6cm D．0cm【變式2-1】（2023?神木市一模）手機(jī)移動(dòng)支付給生活帶來(lái)便捷，若張阿姨微信收入5元表示為+5元，則張阿姨微信出支3元應(yīng)表示為（）A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元【變式2-2】（2023?呈貢區(qū)校級(jí)三模）2022年8月28日，微博話題#河南由夏入冬只用了一周#登上熱搜，并短時(shí)間內(nèi)熱搜榜排名上升10名．若“熱搜榜排名上升10名”記作“+10”，則“熱搜榜排名下降5名”記作（）A．+5 B．﹣5 C．+10 D．﹣10例3.（2023?興慶區(qū)校級(jí)一模）某種速凍水餃適宜的儲(chǔ)藏溫度是﹣18±2℃，以下四個(gè)冷藏柜的溫度中，不適合儲(chǔ)藏這種水餃的是（）A．﹣15℃ B．﹣17℃ C．﹣18℃ D．﹣20℃【變式3-1】（2023?衡水二模）某品牌米線的包裝袋上寫著“300克±4%”，則下列不可能是米線的重量的是（）A．285克 B．295克 C．304克 D．310克【變式3-2】（2023?子洲縣校級(jí)一模）中考所用排球的重量有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)有四個(gè)排球，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2022秋?德州期末）某中學(xué)進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測(cè)試，男生成績(jī)合格標(biāo)準(zhǔn)定為1.85米，體育老師記錄了甲、乙、丙、丁四位男生成績(jī)?nèi)缦卤恚海ǔ鰳?biāo)準(zhǔn)的部分記為“+”，不足標(biāo)準(zhǔn)的部分記為“﹣”），你認(rèn)為立定跳遠(yuǎn)成績(jī)最好的是（）學(xué)生甲乙丙丁成績(jī)/米+0.25+0.45﹣0.10﹣0.25A．甲 B．乙 C．丙 D．丁考點(diǎn)三：相反意義的應(yīng)用例4.（2023春?南崗區(qū)期中）某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)100輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：星期一二三四五六日增減+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根據(jù)記錄可知前四天共生產(chǎn)輛；（2）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；（3）該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每周生產(chǎn)一輛自行車給工人60元，超額完成任務(wù)超額部分每輛再獎(jiǎng)15元，少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【變式4-1】（2023春?松江區(qū)期中）某校六年級(jí)（1）班學(xué)生在勞動(dòng)課上采摘成熟的白蘿卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的千克數(shù)記作正數(shù)，相等的千克數(shù)記作0，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱重后記錄如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）﹣2.51.5﹣30﹣0.51﹣2﹣2﹣1.52回答下面問(wèn)題：（1）這10筐白蘿卜，最接近25千克的這筐白蘿卜實(shí)際質(zhì)量為千克．（2）以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，這10筐白蘿卜總計(jì)超過(guò)或不足多少千克？（3）若白蘿卜每千克售價(jià)2元，則售出這10筐白蘿卜可得多少元？【變式4-2】（2022秋?和平區(qū)期末）近日市場(chǎng)上一種“果凍橙”比較暢銷．現(xiàn)有8箱這種橙子，以每箱10千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱后的記錄如圖，回答下列問(wèn)題：（1）求這8箱“果凍橙”的總質(zhì)量是多少千克？（2）若這種橙子每千克售價(jià)12元，則出售這8箱“果凍橙”可賣多少元？【變式4-3】（2023春?萊蕪區(qū)月考）學(xué)校為了備戰(zhàn)校園足球聯(lián)賽，一名足球守門員練習(xí)折返跑，從球門線出發(fā)，向前記作正數(shù)，返回記作負(fù)數(shù)，他的記錄為：+7，﹣6，+8，﹣10，+13，﹣8，﹣4（單位：米）．（1）守門員最后是否回到了球門線的位置？（2）在練習(xí)過(guò)程中，守門員離開(kāi)球門線最遠(yuǎn)的距離是多少米？（3）守門員全部練習(xí)結(jié)束后一共跑了多少米？考點(diǎn)四：有理數(shù)的概念辨析例5.（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）下面的說(shuō)法中，正確的是（）A．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) B．整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) C．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù) D．整數(shù)、零和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)【變式5-1】（2023春?閔行區(qū)期中）有理數(shù)分為（）A．正數(shù)和負(fù)數(shù) B．素?cái)?shù)和合數(shù) C．整數(shù)和分?jǐn)?shù) D．偶數(shù)和奇數(shù)【變式5-2】（2022秋?東港區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式5-3】下列說(shuō)法：①整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)；②分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；③﹣7既是負(fù)數(shù)也是整數(shù)，但不是自然數(shù)；④O既是正整數(shù)也是負(fù)整數(shù)；⑤非負(fù)分?jǐn)?shù)就是正分?jǐn)?shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)五：有理數(shù)的分類例6.（2022秋?新泰市期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：﹣35，0.6，，0，，1，4.01001000…，π．正有理數(shù)：{…}；整數(shù)：{…}；負(fù)分?jǐn)?shù)：{…}；非負(fù)整數(shù)：{…}．【變式6-1】（2023春?閔行區(qū)期中）在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，﹣，314%．這八個(gè)有理數(shù)中非負(fù)數(shù)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【變式6-2】在15，﹣0.23，0，，2，，316%這幾個(gè)數(shù)中，是非負(fù)數(shù)的有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【變式6-3】（2022秋?簡(jiǎn)陽(yáng)市期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合：0，﹣3，2.，﹣0.010010001，﹣8，，15，300%．整數(shù)集合{…}；分?jǐn)?shù)集合{…}；非負(fù)整數(shù)集合{…}；負(fù)數(shù)集合{…}．考點(diǎn)六：數(shù)軸的畫(huà)法及應(yīng)用例7.（2022秋?梅里斯區(qū)期末）A、B、C、D四位同學(xué)畫(huà)的數(shù)軸其中正確的是（）A． B． C． D．【變式7-1】（2021秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）判斷下列圖中所畫(huà)的數(shù)軸正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3【變式7-2】（2022?蘇州模擬）以下是四位同學(xué)畫(huà)的數(shù)軸，其中正確的是（）A． B． C． D．例8.（2022秋?自貢期末）a，b為有理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．則下列關(guān)系式正確的是（）A．﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜b＜﹣a＜a D．a(chǎn)＜﹣b＜b＜﹣a【變式8-1】（2022秋?德州期末）點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，若點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，b，且滿足a+b＞0，則下列一定是正數(shù)的為（）A．a(chǎn) B．﹣a C．b D．﹣b【變式8-2】（2023?大慶一模）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列關(guān)系中，正確的（）A．a(chǎn)＜b B．c＞b C．a(chǎn)＞b+c D．b﹣a＜c﹣a考點(diǎn)七：數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)例9.（2023春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)可能是（）A．﹣2.01 B．﹣2.6 C．﹣3.4 D．3.3【變式9-1】（2023?景縣校級(jí)模擬）如圖，被墨跡污染的數(shù)可能是（）A．1.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．﹣0.5【變式9-2】（2022秋?鳳山縣期末）點(diǎn)A、B在同一數(shù)軸上，其中點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣4，若AB＝3，則點(diǎn)B表示的數(shù)為（）A．﹣7 B．﹣7或﹣1 C．﹣1 D．1或7【變式9-3】（2023?晉安區(qū)校級(jí)模擬）如圖，數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1，若點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)八：數(shù)軸中點(diǎn)的規(guī)律問(wèn)題例10.（2022秋?南通期末）如圖，A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上（A在B的右側(cè)），點(diǎn)A表示的數(shù)是2，AB＝6，C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C表示的數(shù)是．【變式10-1】（2022秋?寧強(qiáng)縣期末）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣3和5，C是線段AB的中點(diǎn)，D是數(shù)軸上一點(diǎn)，且CD＝3，則點(diǎn)D表示的數(shù)為．【變式10-2】（2022秋?磁縣期末）如圖，數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣1，則點(diǎn)A表示的數(shù)為．1．（2022?襄陽(yáng)）若氣溫上升2℃記作+2℃，則氣溫下降3℃記作（）A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃2．（2022?益陽(yáng)）四個(gè)實(shí)數(shù)﹣，1，2，中，比0小的數(shù)是（）A．﹣ B．1 C．2 D．3．（2022?河池）如果將“收入50元”記作“+50元”，那么“支出20元”記作（）A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元4．（2021?南京）北京與莫斯科的時(shí)差為5小時(shí)，例如，北京時(shí)間13：00，同一時(shí)刻的莫斯科時(shí)間是8：00．小麗和小紅分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當(dāng)?shù)貢r(shí)間9：00～17：00之間選擇一個(gè)時(shí)刻開(kāi)始通話，這個(gè)時(shí)刻可以是北京時(shí)間（）A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：005．（2021?濱州）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示﹣2．若從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．46．（2021?廣州）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（）A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣67．（2021?涼山州）下列數(shù)軸表示正確的是（）A． B． C． D．8．（2020?樂(lè)山）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣3，將點(diǎn)A在數(shù)軸上平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．4 B．﹣4或10 C．4或﹣10 D．﹣109．（2020?臨沂）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)B，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）A．﹣ B．﹣2 C． D．10．（2020?湘潭）在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于4的整數(shù)可以為．（任意寫出一個(gè)即可）1．（2023?鄱陽(yáng)縣一模）下列各數(shù)中，是正數(shù)的是（）A． B．0 C．2 D．﹣52．（2023?安寧市一模）中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并使用負(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的國(guó)家．當(dāng)前，手機(jī)移動(dòng)支付已經(jīng)成為新型的消費(fèi)方式，節(jié)日當(dāng)天媽媽收到微信紅包80元記作+80元，則媽媽微信轉(zhuǎn)賬支付67元可以表示為（）A．+80元 B．﹣80元 C．+67元 D．﹣67元3．（2022秋?婺城區(qū)期末）手機(jī)移動(dòng)支付給生活帶來(lái)便捷．如圖是張老師2022年12月26日微信賬單的收支明細(xì)（正數(shù)表示收入，負(fù)數(shù)表示支出，單位：元），張老師當(dāng)天微信收支的最終結(jié)果是（）A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元4．（2023春?南崗區(qū)校級(jí)月考）下列各數(shù)中，負(fù)有理數(shù)有（）個(gè)．﹣1，2.5，，0，﹣π，120，﹣1.732，A．1 B．2 C．3 D．45．（2022秋?廣陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）下列各數(shù)：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) B．零上6攝氏度可以寫成+6℃，也可以寫成6℃ C．向東走一定用正數(shù)表示，向西走一定用負(fù)數(shù)表示 D．沒(méi)有最小的有理數(shù)7．（2023?九臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示數(shù)a和b，則下列式子正確的是（）?A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)b＜0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．a(chǎn)+b＞08．（2022秋?公安縣期末）在數(shù)軸上，若點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是﹣3和5，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則M表示的數(shù)為（）A．1 B．2 C．4 D．﹣49．（2022秋?增城區(qū)期末）若數(shù)軸上線段AB＝2，點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣3或110．（2022秋?大荔縣期末）如圖，將刻度尺放在數(shù)軸上，刻度尺上“4cm”和“5cm”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的1和0，那么刻度尺上“2.4cm”對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為（）A．3.6 B．3.4 C．2.4 D．2.611．（2022秋?寧陜縣校級(jí)期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0，正數(shù)集合：{