233點到直線的距離公式~234兩條平行直線間的距離

2．3.3點到直線的距離公式2．3.4兩條平行直線間的距離知識點點到直線的距離、兩條平行線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))題型一、求點到直線的距離1．已知點和直線，則點P到直線l的距離為_______.【答案】【詳解】由可得，則點P到直線l的距離為，故答案為：.2．(1)求點P(2，－3)到下列直線的距離．①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)；②3y＝4.(2)求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點P(－1,0)的距離是eq\f(3\r(10),5)的直線l的方程．【詳解】(1)①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)可化為4x－3y＋1＝0，則點P(2，－3)到該直線的距離為eq\f(|4×2－3×－3＋1|,\r(42＋－32))＝eq\f(18,5).②3y＝4可化為3y－4＝0，則點P(2，－3)到該直線的距離為eq\f(|－3×3－4|,\r(02＋32))＝eq\f(13,3).(2)設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點到直線的距離公式知，d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.題型二、由點到直線的距離求參數(shù)或范圍1．已知兩點到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【詳解】因為兩點到直線的距離相等，所以有，或，故選：D2．已知直線，當變化時，點到直線的距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意知直線過定點，且不與軸垂直，當直線經(jīng)過點時，，點到直線的距離最小為0，當過點的直線垂直于x軸時，點到該直線的距離最大,最大值為3，如圖示：由于的斜率存在，故點到直線的距離小于3，即點到直線的距離的取值范圍是，故選：D.3．已知點在直線上,則的最小值為_____.【答案】4【詳解】根據(jù)題意知，表示原點到直線上的點的距離，大于等于原點到直線的距離，原點到直線的距離為，，的最小值為4．故答案為：4．題型三、兩平行線間的距離1．直線與直線之間的距離為_________.【答案】【詳解】因為直線與直線平行,而直線可化為，故直線與直線之間的距離為，故答案為：2．兩條平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為直線與直線平行,所以,解得,將化為,所以兩平行直線與之間的距離為.故選：C3．若直線與直線之間的距離不大于，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．或【答案】B【詳解】直線化為，則兩直線之間的距離，即，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.4．過點的直線與過點的直線平行，且它們之間的距離為，求直線和的方程．【答案】，；或，【詳解】當兩直線的斜率不存在時，方程分別為，，此時它們之間的距離為2，不滿足題意；當兩直線的斜率存在時，設(shè)方程分別為與，即，．它們之間的距離為，，化簡得，解得，或，這兩條直線的方程為，；或，題型四、距離的綜合應(yīng)用1．兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．【詳解】(1)如圖，顯然有0<d≤|AB|.而|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10).故所求的d的變化范圍為(0,3eq\r(10)]．(2)由圖可知，當d取最大值時，兩直線與AB垂直．而kAB＝eq\f(2－－1,6－－3)＝eq\f(1,3)，所以所求直線的斜率為－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.2．已知△ABC的頂點坐標為A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)，1<m<4.當m為何值時，△ABC的面積S最大？【詳解】|AC|＝eq\r(4－12＋2－12)＝eq\r(10)，直線AC的方程為eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－1,4－1)，即x－3y＋2＝0.因為點B(m，eq\r(m))到直線AC的距離d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(12＋－32))，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4))).因為1<m<4，所以1<eq\r(m)<2，所以0<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4)))≤eq\f(1,4)，0<S≤eq\f(1,8).所以當eq\r(m)＝eq\f(3,2)，即m＝eq\f(9,4)時，△ABC的面積S最大．1．點(1，2)到直線的距離為___．【答案】【詳解】由點線距離公式有(1，2)到直線的距離為.故答案為：2．在第一象限的點到直線的距離為3，則a的值為__________．【答案】4【詳解】在一象限，所以，點到直線的距離為3，則，解得：或.因為，所以.故答案為：4.3．在平面角坐標系中，直線：，則當實數(shù)變化時，原點到直線的距離的最大值為_____________．【答案】【詳解】由直線可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，由于直線經(jīng)過定點，又所以原點到直線的距離的最大值為.4．已知點在直線上，則的最小值為______【答案】2【詳解】由點在直線上得上，且表示點與原點的距離∴的最小值為原點到直線的距離，即∴的最小值為2故答案為25．兩條平行線與之間的距離是___________.【答案】【詳解】直線可化為，又直線與直線的距離為，所以平行線與之間的距離是，故答案為：.6．已知直線：，：．若，則___________，此時與之間的距離為___________．【答案】

【詳解】直線：，：．若，所以，解得，當時，：，：，此時與重合，故舍去；當時，：，：，此時與平行；故；若，即：，即：，：，所以與之間的距離為.故答案為：，.7．若直線與直線平行，且它們之間的距離等于，則直線的方程為___________.【答案】或【詳解】設(shè)直線，將直線與直線化為一般式可得，，故它們之間的距離為，解得或，故直線的方程為或.故答案為：或.8．已知直線l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是________．【答案】x＋2y－3＝0【詳解】當兩條平行直線與A，B兩點的連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大．因為A(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以兩條平行直線的斜率為－eq\f(1,2)，所以直線l1的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.1．與點之間的距離為2，且在軸上的截距為4的直線是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】與的距離為2，在軸上的截距為4，故符合要求；對于直線，有且時，故也符合要求；與的距離為3且軸無交點，不符合要求.∴、都是與點距離為2且在軸上的截距為4的直線.故選：C2．直線：與：之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由可得，即與平行，故與之間的距離為.故選：B.3．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【詳解】由直線平行可得，解得，則直線方程為，即，則距離是.故選：D.4．冰糖葫蘆是中國傳統(tǒng)小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖2所示，且山楂的半徑（圖2中圓的半徑）為2，竹簽所在的直線方程為，則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題可設(shè)與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為，則，∴，∴與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為.故選：D.5．①點到直線的距離是___________.②兩平行直線和間的距離是___________.【答案】

4

【詳解】①；則點到直線的距離.②即為，所以兩平行直線和間的距離.6．點P為直線上任意一個動點，則P到點的距離的最小值為___________.【答案】3【詳解】由題意得當點P和點的連線和直線垂直時距離最小，此時距離等于點到直線的距離，故P到點的距離的最小值為3.故答案為：3.7．點到直線的距離等于4，則實數(shù)m___________.【答案】或4【詳解】由題意可得：，解得或．故答案為：或4．8．兩平行線與之間的距離為______．【答案】【詳解】因為直線，即為，所以兩平行直線與之間的距離為.故答案為：.9．設(shè)，則的最小值是___________.【答案】1【詳解】表示直線上任意點到原點的距離的平方，顯然原點到直線上的點的最小距離就是原點到直線的距離，即，所以的最小值是.故答案為：110．已知的三個頂點的坐標為、、，試求：(1)邊上的高所在的直線方程；(2)的面積．【答案】(1)；(2)24【詳解】(1)因為，則邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過A點，故方程為，化簡得．(2)，直線方程為，整理得，則到的距離為，則的面積為.11．求與直線平行且距離等于3的直線．【答案】或.【詳解】設(shè)所求直線方程為，由，得或，所以與直線平行且距離等于3的直線方程為或.12．兩平行直線，分別過，.(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【詳解】(1)當，斜率不存在時，易知，，之間的距離為1，不合題意；當，斜率存在時，設(shè)斜率為，則，化為一般式得，，由，之間的距離為5，可得，解得或，當時，；當時，.故兩直線方程為或.(2)如圖：當，旋轉(zhuǎn)到和垂直時，，之間的距離d最大為，當，旋轉(zhuǎn)到和重合時，距離為0，又兩平行直線，不重合，故.13．已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．【詳解】因為直線與平行，所以，解得，，又因為直線與直線之間的距離為，所以，解得或.綜上，m的值為；n的值為或.14．已知?和直線，若坐標平面內(nèi)存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，求點P的坐標.【詳解】設(shè)點P的坐標為.∵，，所以線段AB的中點M的坐標為.而AB所在直線的斜率，