專題27一元二次函數(shù)方程和不等式全章綜合測試卷（提高篇）（人教A版2019）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式全章綜合測試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023春·福建莆田·高二?？茧A段練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)a,b,c,d，以下四個命題中的真命題是（

）A．若a>b，c≠0，則ac>bc B．若a>b>0，c>d，則ac>bdC．若a>b，則1a<1b 【解題思路】采用舉反例的方法，可判斷A,B,C,利用不等式性質(zhì)可判斷D.【解答過程】若a>b，當(dāng)c<0,則ac<bc,A錯誤；若a>b>0，c>d，取a=2,b=1,c=?1,d=?2，滿足條件，但ac=bd，B錯誤；若a>b，取a=1,b=?1，則1a若ac2>bc2，則必有c≠0故選：D.2．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足x+y≥15x+2y≥2，則2x+y的取值范圍（

A．[1,+∞) B．[3,+∞) C．【解題思路】設(shè)2x+y=m(x+y)+n(5x+2y)，求出m,n，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得出答案.【解答過程】解：設(shè)2x+y=m(x+y)+n(5x+2y)，則m+5n=2m+2n=1，解得m=n=故2x+y=1又因x+y≥15x+2y≥2所以13所以2x+y≥1.故選：A.3．（5分）（2023春·河北保定·高一?？计谥校┮阎猘=2，b=7?3，c=6?2，則aA．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．c>b>a【解題思路】通過作差法，a?b=2通過作差法，a?c=22通過作差法，b?c=7【解答過程】由a?b=2+3?7由a?c=22?6且(2b?c=7+2?6所以a>c>b，故選：B.4．（5分）（2023春·山西太原·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+ax+ba,b∈R的值域?yàn)?,+∞，若關(guān)于x的不等式A．9 B．8 C．0 D．6【解題思路】由題意可得b=a24，然后求出不等式fx<c【解答過程】由題意知fx因?yàn)楹瘮?shù)fx的值域?yàn)?,+∞，所以，b?a由fx<c可知c>0，且有x+a所以，m=?a2?所以，6=m+6?m=2c故選：A.5．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x<?1或x>4}A．a(chǎn)>0 B．不等式ax2C．a(chǎn)+b+c<0 D．不等式ax+b>0的解集為x【解題思路】根據(jù)解集形式確定選項(xiàng)A錯誤；化不等式為x2?4x?3<0,即可判斷選項(xiàng)B正確；設(shè)f(x)=ax【解答過程】解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x<?1或x>4}由題得a<0?1+4=?ba?1×4=c設(shè)f(x)=ax2+bx+c不等式ax+b>0為ax?3a>0,∴x<3，所以選項(xiàng)D錯誤.故選：B.6．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若x>0，y>0且x+y=2，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．x2+y2的最小值是1 C．2x+1y的最小值是42【解題思路】根據(jù)x2+y2=【解答過程】對于A，∵x2+y2對于B，∵xy≤x+y22=1（當(dāng)且僅當(dāng)對于C，∵2x+1y對于D，∵x+y2=x+y+2故選：D.7．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意實(shí)數(shù)x>0,y>0，不等式x+xy≤a(x+y)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（A．2?12 B．2?1 C．2【解題思路】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為a≥x+xyx+y對于任意實(shí)數(shù)x>0,y>0恒成立，進(jìn)而求出x+xyx+y【解答過程】由題意可得，a≥x+xyx+y對于任意實(shí)數(shù)x>0,y>0恒成立，則只需求x+xyx+y的最大值即可，x+xyx+y=1+yx1+yx，設(shè)所以a≥2+12，即實(shí)數(shù)a故選：D.8．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2?xy+y2A．m≤6 B．?6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【解題思路】令t=yx，分析可得原題意等價于對一切t∈1,3【解答過程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，則1x∴yx又∵mx2?xy+可得m≥y令t=yx∈1,3，則原題意等價于對一切∵y=t?t2的開口向下，對稱軸則當(dāng)t=1時，y=t?t2取到最大值故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥0.故選：C.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）[多選]下列說法正確的是（

）A．若ab>0，則a+b≥2ab B．若a>b>0，則C．若a>b>0，則a+b<2a2+b【解題思路】取a，b為負(fù)數(shù)可判斷A；作差法可判斷B；對a+b<2a2+b【解答過程】對于A，若ab>0，則a，b可能均為負(fù)數(shù)，此時a+b<0，而2ab對于B，因?yàn)閍>b>0，所以a?b>0，所以a3即a3對于C，將不等式a+b<2a2整理得a2+b2?2ab>0對于D，因?yàn)閍b<0，所以不妨取a=4，b=?1，則ba故選：BC．10．（5分）（2022秋·廣東·高一校聯(lián)考期中）下列說法正確的有（

）A．y=xB．已知x>1，則y=2x+4x?1C．已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=3xy，則2x+y的最大值為3D．若關(guān)于x的不等式(a?2)x2+2(a?2)x?4<0對一切x∈R【解題思路】對于A選項(xiàng)，y=x2+1對于B選項(xiàng)，y=2x+4對于C選項(xiàng)，由x+2y=3xy得x+2y3xy=13y+對于D選項(xiàng)，當(dāng)a=2時，顯然成立.當(dāng)a≠2時，轉(zhuǎn)化為fx=a?2【解答過程】對于A選項(xiàng)，y=x2+1當(dāng)x>0時，y=x2+1x=x+當(dāng)x<0時，y=x當(dāng)且僅當(dāng)?x=1?x，即x=?1時取等號.因條件中未告知對于B選項(xiàng)，y=2x+4x?1?1=2則2x?1當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=4對于C選項(xiàng)，由x+2y=3xy得x+2y3xy則2x+y=2x+y13y+23x則2x3y取等號時有2x3y=2y3x，即x=y，代入即當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時，上述不等式取等號.則2x+y的最小值為3.又13y+23x=1，當(dāng)13y無限接近1時，y無限接近13對于D選項(xiàng)，當(dāng)a=2時，原式化為?4<0，故a=2滿足條件.當(dāng)a≠2時，不等式(a?2)x2+2(a?2)x?4<0等價于fx=a?2有a?2<0Δ<0，即a<24綜上?2<a≤2，故D正確.故選：BD.11．（5分）（2022秋·湖北十堰·高一校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足3x+y+xy?13=0，且2t2?t?4?2y?xy恒成立，則tA．?32 B．?1 C．1 【解題思路】對式子變形，構(gòu)造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解決恒成立問題.【解答過程】由3x+y+xy?13=0，得(x+1)y=?3x+13，因?yàn)閤>0，所以x+1≠0，所以y=?3x+13x+1=?3+當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，等號成立，故2y?xy=3(x+y)?13??1，因?yàn)?t2?t?4?2y?xy恒成立，所以2故選：BCD.12．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0,a,b,c為常數(shù)）的對稱軸為x=1A．a(chǎn)bcB．當(dāng)a≤x≤1?a時，函數(shù)的最大值為c?C．關(guān)于x的不等式ax4+bxD．若關(guān)于x的函數(shù)t=x2+bx+1與關(guān)于t的函數(shù)【解題思路】A選項(xiàng)，由開口方向，與y軸交點(diǎn)，及對稱軸，求出a,b,c的正負(fù)，得到A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)a≤x≤1?a時，數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)隨著x的增大而減小，從而求出最大值；C選項(xiàng)，結(jié)合b=?2a，化簡不等式，求出解集；D選項(xiàng)，配方得到兩函數(shù)的最小值，從而得到?b2≥1?【解答過程】A選項(xiàng)，二次函數(shù)圖象開口向上，故a>0，對稱軸為x=?b2a=1圖象與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，故c>0，所以abc<0，故abc+abc=?abc+abc=0B選項(xiàng)，因?yàn)閎=?2a，故y=ax因?yàn)閍>0，所以1?a<1，當(dāng)a≤x≤1?a<1時，y=ax2?2ax+c所以x=a時，y取得最大值，最大值為y=aC選項(xiàng)，因?yàn)閎=?2a，所以axax故不等式ax4+b因?yàn)閍>0，x2>2，解得：x>2D選項(xiàng)，t=x2+bx+1=x+b22y=t2+bt+1=t+b22所以?b2≥1?b2即b?1≥故選：ACD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足1<x+y<20<x?y<1，則3x+y的取值范圍為(2,5)【解題思路】將3x+y表示成關(guān)于(x+y)和(x?y)的表達(dá)式進(jìn)行求解即可.【解答過程】由不等式的性質(zhì)求解即可．解：3x+y=2(x+y)+(x?y)，因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足1<x+y<20<x?y<1所以2<2(x+y)+(x?y)<5，即3x+y的取值范圍為(2,5)．故答案為：(2,5)．14．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知x∈4,+∞，y∈0,5，z∈0,1，則2x+y+4zx+2z【解題思路】將2x+y+4zx+2z+2x+zy變形為yx+2z+x+2z2y+32【解答過程】2x+y+4zx+2z+2x+z當(dāng)且僅當(dāng)yx+2z=x+2z此時xy=2xx+2z∴zx∈0,14∴原式≥2+22，此時x=4，y=32，故答案為：2+2215．（5分）（2023秋·湖南長沙·高一校考期末）已知實(shí)數(shù)a，b滿足0<b<1+a，若關(guān)于x的不等式a2?1x2+2bx?b2【解題思路】先對不等式左邊進(jìn)行因式分解，再結(jié)合a>?1對a進(jìn)行分類討論，分a∈(?1,1)，a=1和a>1三種情況，求出符合要求的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過程】(a2?1)因?yàn)?<b<1+a，所以0<b其中a>?1，當(dāng)a∈(?1,1)時，y=(a當(dāng)a=1時，2bx?b2<0當(dāng)a>1時，y=(a因?yàn)閎1?a<0，所以不等式解集為此時要想不等式解集中有且僅有3個整數(shù)，則這3個整數(shù)解為0，1，2，則必有?3≤b1?a<?2，所以2(a?1)<b≤3(a?1)所以2(a?1)<1+a，所以1<a<3，綜上：a∈(1,3)故答案為：(1,3).16．（5分）（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知對任意x∈R，均有不等式ax2+bx+c≥0成立，其中b<0.若存在t∈R使得1?ta+1+2t【解題思路】由一元二次不等式恒成立得c≥b24a>0、a>0，將問題化為求t=a+b+3c【解答過程】由題設(shè)a>0Δ=b2?4ac≤0，有b又1?ta+1+2tb+3c=a+b+3c+(2b?a)t故存在t∈R使a+b+3c+(2b?a)t=0成立，則t=所以t=1+3(b+c)a?2b≥1+3?ba所以t≥1+38?而38?[(12?m)+所以t≥14，僅當(dāng)a=?b且c=b24a故答案為：14四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023·高一課時練習(xí)）一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，而且這個比值越大，采光效果越好．設(shè)某所公寓的窗戶面積為am2，地板面積為(1)若這所公寓窗戶面積與地板面積的總和為330m2(2)若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，設(shè)增加的面積為tm【解題思路】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于a,b的等量關(guān)系和不等量關(guān)系，化簡求解即可（2）分式的分子分母同時增加t，通過作差法比較新的分式與原來分式的大小，從而判斷采光效果變好了還是變壞了【解答過程】（1）根據(jù)題意可得：{a+b=330ab≥10%，則b=330?a，所以（2）同時增加窗戶面積和地板面積后，比值為a+tb+t，則a+tb+t?ab=ab+tb?ab?at所以同時增加相同的窗戶面積和地板面積后，公寓的采光效果變好了.18．（12分）（2023·高一課時練習(xí)）（1）比較x3與x（2）已知a>b>c，且a+b+c=0，①求證：ca?c②求ca【解題思路】（1）對兩式作差，然后因式分解并分x=1，x>1，x<1三種情況討論，即可求解；（2）①由a>b>c且a+b+c=0，可得c<0，再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，即可求解；②由題意，有a>0,c<0，又ba=?【解答過程】解：（1）x3當(dāng)x=1時，(x2+1)(x?1)=0當(dāng)x>1時，(x2+1)(x?1)>0當(dāng)x<1時，(x2+1)(x?1)<0（2）①證明：∵a>b>c且a+b+c=0，∴c<0，∵a>b>c，∴a?c>b?c>0，兩邊取倒數(shù)得1a?c又∵c<0，∴ca?c②∵a>b>c且a+b+c=0，∴a>0,c<0，所以ca<0，因?yàn)閍+b+c=0，所以1+ba+所以?ca?1<1綜上，?2<c19．（12分）（2023春·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1.(1)求ab+bc+ca的最大值；(2)求證：a2【解題思路】（1）由(a+b+c)2（2）利用基本不等式求a2b+c+b+c4【解答過程】（1）由(a+b+c)2所以(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)，即ab+bc+ca≤13綜上，ab+bc+ca的最大值為13（2）由a2b+c+b+c4由b2c+a+c+a4由c2a+b+a+b4綜上，a2b+c+20．（12分）（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)fx（Ⅰ）當(dāng)m>?2時，解關(guān)于x的不等式fx（Ⅱ）若不等式fx≥0的解集為D，且【解題思路】（Ⅰ）將不等式化為一般形式，然后根據(jù)m的取值情況分類討論求解即可．（Ⅱ）將條件中的集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題解決，然后分離參數(shù)后再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的問題，最后根據(jù)基本不等式求解可得所求．【解答過程】（Ⅰ）由fx≥m得即m+1x+1①當(dāng)m+1=0，即m=?1時，解得x≥1；②當(dāng)m+1>0即m>?1時，解得x≤?1m+1或③當(dāng)m+1<0，即?2<m<?1時，由于?1故解得1≤x≤?1綜上可得：當(dāng)m>?1時，解集為{x|x≤?1m+1或當(dāng)m=?1時，解集為x|x≥1}當(dāng)?2<m<?1時，解集為{x|1≤x≤?1（II）不等式fx≥0的解集為D，且?1,1?D，即任意的x∈即mx2?x+1≥?由于x2∴m≥?x2令t=2?x∈1,3∵2?xx當(dāng)且僅當(dāng)t=3t，即x=2?∴?x∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是23另解:不等式fx≥0的解集為D，且?1,1?D，即任意的x∈?1,1(1)當(dāng)m+1<0時,g?1≥0(2)當(dāng)m+1=0時,gx=x?2,當(dāng)(3)當(dāng)m+1>0時,(ⅰ)Δ=m2?4(ⅱ)m2m+1綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是2321．（12分）（2022·高一課時練習(xí)）已知x>0，y>0．(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y(2)若不等式1x+1(3)若x+y=1．且1x+a【解題思路】（1）將x2+y2?4mx+4my≥0（2）將1x+1y+（3）根據(jù)x+y=1，a>0，利用基本不等式求解.【解答過程】（1）解：∵x