13兩條直線的平行與垂直（2）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（2019選擇性）

1.3兩條直線的平行與垂直（1）（滿分100分時間：40分鐘）班級姓名得分一、單項選擇題：1．設(shè)a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，則直線sinA·x＋ay－c＝0與bx－sinB·y＋sinC＝0的位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直【答案】C【分析】計算得到，，再根據(jù)正弦定理得到，得到垂直關(guān)系.【詳解】直線sinA·x＋ay－c＝0的斜率，直線bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率，故直線sinA·x＋ay－c＝0與直線bx－sinB·y＋sinC＝0垂直故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的位置關(guān)系，正弦定理，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.2．已知，為正整數(shù)，且直線與直線互相平行，則的最小值為（）A．7 B．9 C．11 D．16【答案】B【分析】由已知兩直線平行得出滿足的關(guān)系，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】由題意，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足是正整數(shù)）時等號成立．∴的最小值是9．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值時，注意其條件：一正二定三相等，其中定值有時需要湊配，“1”的代換是常用方法．3．已知直線及與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為A,B,與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為C,D,則直線AB與CDA．平行 B．垂直 C．不確定 D．相交不垂直【答案】D【分析】求出四個交點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而分別求出直線AB,CD的解析式,即可得出答案.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,坐標(biāo)為,B坐標(biāo)為設(shè)直線AB解析式為,則有,解得,直線AB的解析式為,當(dāng)時,,當(dāng)時,坐標(biāo)為,D坐標(biāo)為設(shè)直線CD解析式為，則有解得,直線CD的解析式為兩條直線斜率不相等,且乘積不為1,故直線AB,CD不平行,不垂直,即直線AB,CD相交,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的求法以及直線與直線的位置關(guān)系，4．過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的位置關(guān)系是A．平行 B．重合C．平行或重合 D．相交或重合【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)連線斜率公式求出兩條直線斜率，根據(jù)斜率關(guān)系以及是否有公共點(diǎn)可判斷出兩條直線位置關(guān)系.【詳解】由題意知：，當(dāng)時，與沒有公共點(diǎn)當(dāng)時，與有公共點(diǎn)與重合與平行或重合本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線位置關(guān)系的判斷，關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)連線斜率公式求得斜率，易錯點(diǎn)是忽略兩條直線是否有公共點(diǎn).5．記，方程表示的直線為，直線不過點(diǎn)，直線，則直線，的位置關(guān)系為A．一定平行 B．平行或重合 C．一定垂直 D．不能確定【答案】A【分析】由題，不過點(diǎn)，可得，將直線易知和直線的斜率相等，截距不相等，可得答案.【詳解】因為不過點(diǎn)，所以直線可得：且所以直線，的斜率相等，截距不相等，所以直線，平行故選A【點(diǎn)睛】本題考查了直線的位置關(guān)系，斜率相等，截距不相等的直線是平行的，二、多選題6．已知直角三角形的頂點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】設(shè)，根據(jù)題意可知，即，由斜率公式，解得或，可得答案.【詳解】∵點(diǎn)在直線上，可設(shè)，根據(jù)題意可知，且直線的斜率都存在，故有，即，解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.7．已知，，，，且直線AB與CD平行，則m的值為（）A． B．0 C．1 D．2【答案】BC【分析】對分兩種情況討論，結(jié)合直線的斜率公式和平行直線的斜率關(guān)系得到關(guān)于的方程，解方程即得解.【詳解】當(dāng)時，，，，，直線軸，直線軸，所以直線AB與CD平行.當(dāng)時，.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查平行直線的斜率關(guān)系，考查斜率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8．已知直線，則下列說法正確的是A．若，則m=1或m=3 B．若，則m=3C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)兩直線平行或垂直求出參數(shù)值然后判斷．【詳解】直線，則，解得或，但時，兩直線方程分別為，即，兩直線重合，只有時兩直線平行，A錯，B正確；，則，，C錯，D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行與垂直的條件，在由兩直線平行求參數(shù)時要注意檢驗，排除兩直線重合的情形．如果用斜率求解還需討論斜率不存在的情形．三、填空題9．若直線和直線垂直，則____．【答案】0或【解析】【分析】由，解得或，驗證兩條直線是否垂直由，得，解得即可得出．【詳解】若，解得或．經(jīng)過驗證只有時，兩條直線相互垂直．若，因為直線和直線垂直，則，解得（驗證分母不等于）綜上可得或0,故答案為0或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相互垂直的充要條件、分類討論方法，屬于中檔題．對直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心.10．與直線2x＋y－10＝0平行，且在x軸、y軸上的截距之和為12的直線l的方程為________．【答案】2x＋y－8＝0【解析】【分析】根據(jù)平行設(shè)出直線的方程，求出橫截距和縱截距，根據(jù)橫截距與縱截距的和為列方程，解方程求得直線的方程.【詳解】依題意設(shè)直線的方程為，故直線過，所以，解得，故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩條直線平行，考查橫截距和縱截距的求法，屬于基礎(chǔ)題.已知直線為，如果一條直線和已知直線平行，則可設(shè)直線方程為，通過題目所給另一個條件求得，由此求得直線方程.如果一條直線和已知直線垂直，則可設(shè)直線方程為，通過題目所給另一個條件求得，由此求得直線方程.11．當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時，直線(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒過一個定點(diǎn)，這個定點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線（a+2）x+（a﹣1）y+3a=0可變?yōu)閍（x+y+3）+2x﹣y=0，令x+y+3=0、2x﹣y=0可得答案．【詳解】∵（a+2）x+（a﹣1）y+3a=0，∴a（x+y+3）+2x﹣y=0令x+y+3=0、2x﹣y=0解得：x=﹣1，y=﹣2∴恒過點(diǎn)（﹣1，﹣2）故答案為：（﹣1，﹣2）．【點(diǎn)睛】直線過定點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)上是恒成立的問題，判斷直線過定點(diǎn)時，先把直線方程整理成（為參數(shù)）的形式，解方程組可得定點(diǎn)的坐標(biāo)．四、解答題12．已知垂直于3x-4y+1=0的直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長是【答案】4x+3y+15=0【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的條件求出直線的斜率，利用待定系數(shù)法結(jié)合三角形的周長公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：直線l與直線3x-4y設(shè)直線l的方程為y=-4則直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(34b,0)，與∴|AB|=由題意得|54即|b|=5，得b∴直線l的方程為y=-43x±5，即【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求解，結(jié)合直線垂直的等價條件，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．13．已知直線l1：ax－y＋b＝0；l2：bx＋y＋a＝0(a∈R，b∈R)．(1)直線l1，l2能否平行？說明理由；(2)若直線l1，l2重合，求證：點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)Q(b，a)在同一條直線上；(3)求證：兩條直線l1，l2的交點(diǎn)共線．【答案】(1)直線l1，l2不能平行．(2)見解析(3)見解析【分析】(1)由題意，假設(shè)直線與平行，列出方程，即可作出判定；(2)由直線重合，求得，即可證得點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上．(3)由兩條直線相交，聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到交點(diǎn)都在同一直線上.【詳解】(1)由題意，假設(shè)直線與平行，則滿足且，即且，顯然矛盾，所以直線不能平行．(2)證明：若直線重合，由（1）可知必有，故點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上．(3)證明：若兩條直線相交，可得，解方程組，得，故直線的交點(diǎn)為，由此可得直線的交點(diǎn)都在直線上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩條直線的位置關(guān)系的判定與應(yīng)用，其中解答中熟記平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系判定和應(yīng)用，合理列出相應(yīng)的方程（組）是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，14．三條直線3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0圍成直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）或或m＝【分析】直線2mx3y+12=0過定點(diǎn)A（0，4），若三條直線能圍成直角三角形，則根據(jù)直線垂直與斜率之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】(1)當(dāng)直線3x＋2y＋6＝0與直線2x－3m2y＋18＝0垂直時，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1．若m＝1，直線2mx－3y＋12＝0也與直線3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能構(gòu)成三角形，故m＝1應(yīng)