3.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.結(jié)合實(shí)際情景熟悉雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.(重點(diǎn))2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，并與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較，并加以區(qū)分.(難點(diǎn))3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.(難點(diǎn))

雙曲線是我們?cè)谄綍r(shí)生活中經(jīng)常見到的圖形，這節(jié)課我們來研究雙曲線.我們知道,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.一個(gè)自然的問題是:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？下面我們借助信息技術(shù)進(jìn)行探究.探究：如圖，在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi),取定點(diǎn)F1,F2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.F1.F2..

探究：如圖，在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi),取定點(diǎn)F1,F2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓..情景1:當(dāng)點(diǎn)

P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)

F1F2..

探究：如圖，在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi),取定點(diǎn)F1,F2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓..情景2：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)F1F2..

雙曲線

類比思想橢圓雙曲線兩定點(diǎn)、兩定點(diǎn)、||MF1|-|MF2||=常數(shù)|MF1|+|MF2|=常數(shù)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．概念生成雙曲線定義我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．一般用2a表示一般用2c表示2FF1M符號(hào)表述：

F1F2MF1F2M2.若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，則軌跡是什么？3.若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，則軌跡是什么？4.若2a=0,即|MF1|=|MF2|，則軌跡是什么？此時(shí)軌跡為以F1或F2為端點(diǎn)的兩條射線此時(shí)軌跡不存在此時(shí)軌跡為線段F1F2的垂直平分線F1F2MF1F2M概念辨析：定義中有哪些關(guān)鍵詞？小試牛刀1.已知兩定點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，則當(dāng)a＝3時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為(

)A．雙曲線B．一條射線C．雙曲線的一支D．軌跡不存在[變式1]當(dāng)a＝5時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為？[變式2]動(dòng)點(diǎn)P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，則當(dāng)a＝3或5時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為？當(dāng)a＝3時(shí)，是雙曲線；當(dāng)a=5時(shí)，是以F1或F2為端點(diǎn)的兩條射線以F2為端點(diǎn)的一條射線探究

類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線的方程？

設(shè)M(x,y)

是雙曲線上任意一點(diǎn)

雙曲線的焦距為2c（c>0)，則有F1(-c,0)

,F2(c,0).

F1F2MxyO我們?nèi)〗?jīng)過兩焦點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系

(如圖).由雙曲線的定義，雙曲線就是下列點(diǎn)的集合：①建系②設(shè)點(diǎn)建系設(shè)點(diǎn)限式代入化簡(jiǎn)③限式(1)④代入⑤化簡(jiǎn)將方程(1)左邊的一個(gè)根式移到右邊，得(2)對(duì)方程(2)兩邊平方，得整理，得(3)對(duì)方程(3)兩邊平方，得對(duì)方程(3)兩邊平方，得整理，得兩邊同時(shí)除于

，得由雙曲線的定義知，即所以類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立，令其中，代入上式，得

我們把上述方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(-c,0),F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.這個(gè)方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(0,-c),F2(0,c)的雙曲線，這里c2=a2+b2.

類比橢圓，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？思考小試牛刀2.下列哪些方程是雙曲線的方程？雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征相同點(diǎn)不同點(diǎn)方程等號(hào)左邊是平方差的形式，右邊是1；②a>0,b>0，但a,b大小不定；③c2=a2+b2,

其中c最大；

如果x2的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在y軸上.化為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走歸納總結(jié)定義焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖像方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)位置判斷a,b,c的關(guān)系a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大||MF1|－|MF2||=2a(2a<2c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走雙曲線知識(shí)歸納例1.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：因?yàn)殡p曲線的交點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為例題講解變式訓(xùn)練3.求焦點(diǎn)為(0,-6),(0,6)，且經(jīng)過點(diǎn)(2,-5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解（待定系數(shù)法）:∵焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為是否還有其他方法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟和方法(1)步驟：①定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式.②定量：是指確定

的數(shù)值，常由條件列方程組求解.(2)方法：①定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的

，再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.②待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

或者

然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可.歸納總結(jié)

l分析：因?yàn)樵贏處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s，所以在A處與爆炸點(diǎn)的距離比在B處遠(yuǎn)680m<800m.因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A，B為焦點(diǎn)且靠近B點(diǎn)的雙曲線的一支上.解如圖，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，使A，B在x軸上，并且原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合，設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則

例題講解利用定義法求軌跡方程的一般步驟1.建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形確定動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件.2.依據(jù)幾何條件和曲線方程的定義確定軌跡的形狀.3.確定曲線方程中的參數(shù)并直接寫出方程.4.驗(yàn)證所求方程（檢查是否有要去掉的點(diǎn)）.歸納總結(jié)變式訓(xùn)練

橢圓雙曲線定義方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)a,b,c的關(guān)系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,