第二十章建立數(shù)學建模案例分析

鎖具裝箱問題[學習目標]能表述鎖具裝箱問題的分析過程；能表述模型的建立方法；會利用排列組合來計算古典概型；會利用Mathematica求解鎖具裝箱問題。問題某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個鎖具的鑰匙有5個槽，每個槽的高度從{1，2，3，4，5，6}6個數(shù)（單位從略）中任取一數(shù)。由于工藝及其它原因，制造鎖具時對5個槽的高度有兩個要求：一是至少有3個不同的數(shù)；二是相鄰兩槽的高度之差不能為5。滿足上述兩個條件制造出來的所有互不相同的鎖具稱為一批。銷售部門在一批鎖具中隨意地抽取，每60個裝一箱出售。從顧客的利益出發(fā)，自然希望在每批鎖具中不能互開（“一把鑰匙開一把鎖”）。但是，在當前工藝條件下，對于同一批中兩個鎖具是否能夠互開，有以下實驗結(jié)果：若二者相對應的5個槽的高度中有4個相同，另一個槽的高度差為1，則可能互開；在其它情況下，不可能互開。團體顧客往往購買幾箱到幾十箱，他們會抱怨購得的鎖具中出現(xiàn)互開的情形?，F(xiàn)請回答以下問題：每批鎖具有多少個，能裝多少箱？按照原來的裝箱方案，如何定量地衡量團體顧客抱怨互開的程度（試對購買一、二箱者給出具體結(jié)果）。問題分析與建立模型因為彈子鎖具的鑰匙有5個槽，每個槽的高度從{1，2，3，4，5，6}這6個數(shù)中任取一數(shù)，且5個槽的高度必須滿足兩個條件：至少有3個不同的數(shù)；相鄰兩槽的高度之差不能為5。所以我們在求一批鎖具的總數(shù)時，應把問題化為三種情況，即5個槽的高度由5個不同數(shù)字組成、由4個不同數(shù)字組成、由3個不同數(shù)字組成，分別算出各種情況的鎖具個數(shù)，然后相加便得到一批鎖具的總個數(shù)。在分別求這三種情況鎖具個數(shù)的時候，先求出滿足第1個條件的鎖具個數(shù)再減去不滿足第2個條件的鎖具個數(shù)。在求這三種情況鎖具個數(shù)的時候，主要依靠排列組合的不盡相異元素的全排列公式。下面用一個5元數(shù)組來表示一個鎖具：Key=（h1，h2，h3，h4，h5）其中hi表示第i個槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元數(shù)組表示一把鎖，應滿足下述條件：條件1：hi∈{1，2，3，4，5，6}，i=1，2，3，4，5。條件2：對于任意一種槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，至少有3種不同的槽高。條件3：對于任意一種槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，有|hi，hi-1|≠5，i=2，3，4，5。而兩個鎖可以互開的條件為：兩個鎖的鑰匙有四個槽高相同，其中一個槽高相差為1。一批鎖具個數(shù)的計算記一批鎖具的集合為：K={（h1，h2，h3，h4，h5）|hi∈{1，2，3，4，5，6}，i=1，2，3，4，5，且（h1，h2，h3，h4，h5）為一鎖具}，其個數(shù)小于65，可采用逐個檢驗條件1，2，3的方法，求一批中的所有鎖具，當然也可計算出其個數(shù)。抱怨程度的刻劃在這里我們簡單地用平均互開總對數(shù)來刻劃抱怨程度，所以，關鍵是計算出顧客購買一箱或兩箱時的平均互開總對數(shù)，這可以用計算機模擬去計算。我們引入下面的記號：P={（h1，h2，h3，h4，h5）|（h1，h2，h3，h4，h5）∈K，且為偶數(shù)}Q={（h1，h2，h3，h4，h5）|（h1，h2，h3，h4，h5）∈K，且為奇數(shù)}則可得到P中的鎖具不能互開，Q中的鎖具不能互開，P中的鎖具與Q中的才能互開。在計算中，判斷互開時，我們將P和Q中的鎖具分別標號為0，1，這樣就減少了判斷時的計算，大大提高了計算速度。說明：直接用平均互開總對數(shù)來刻劃抱怨程度有一定的不合理性。因為這樣來刻劃，購買的箱數(shù)越多，抱怨程度就越大，而實際上，購買的越多，自然互開的可能性就越大，這是顧客意料之中的，不應有太多的抱怨，顧客所不能容忍的是在購買少量的鎖具而出現(xiàn)互開現(xiàn)象。因此應把購買箱數(shù)作為一個因素考慮到抱怨函數(shù)中。理想的抱怨函數(shù)應該是，開始隨購買量的增加而增加，到一定量后下降，這才合理。在這里，我們的主要任務是模擬求解，而簡單地用平均互開總對數(shù)來刻劃抱怨程度。計算過程計算流程如下：對（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列逐個檢驗條件2、條件3，判斷其是否為鎖具，將鎖具放在數(shù)組key中，若為奇數(shù)，標號為1，若為偶數(shù)，標號為0，并計數(shù)count。輸出一批鎖具的總個數(shù)count。多次用隨機數(shù)來模擬銷售一箱的情況，計算平均互開總對數(shù)。輸出一箱平均互開總對數(shù)average。注意：以上流程略去了某些細節(jié)，具體的細節(jié)可參看下面的程序。對上流程稍加修改，可用于研究2，3，4箱等的平均互開總對數(shù)。程序?qū)Γ╤1，h2，h3，h4，h5）的所有排列逐個檢驗條件2、條件3時要進行兩次判斷，一次是判斷（h1，h2，h3，h4，h5）是否有3個不同的數(shù)，另一次是相鄰槽高之差是否為5。在前一次判斷時，采用了比較簡捷的方法，請仔細考察。找（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列，實際上可用五重循環(huán)來實現(xiàn)。具體程序如下：Model[{h1，h2，h3，h4，h5，flag，cnt，key，flal，su，te，keel，i，aid，mnx，kebe，k，j，n}，（*計算一批鎖具的個數(shù)*）key=Table[Table[0，{5}]，{5880}]；keel=Table[0，{5}]；flag=Table[-1，{5880}]；cnt=0；For[h1=1，h1<=6，h1++，F(xiàn)or[h2=1，h2<=6，h2++，F(xiàn)or[h3=1，h3<=6，h3++，F(xiàn)or[h4=1，h4<=6，h4++，F(xiàn)or[h5=1，h5<=6，h5++，te=Table[0，{6}]；te[[h1]]=1；te[[h2]]=1；Te=[[h3]]=1；te[[h4]]=1；te[[h5]]=1；su=te.Table[1，{6}]；If[su>=3，keel[[1]]=h1；keel[[2]]=h2；keel[[3]]=h3；For[flal=1；i=2，i<=5，i++，If[Abs[keel[[i]]-keel[[i-1]]]>=5，flal=0，]]；If[flal==1，cnt++；key[[cnt]]=keel；flag[[cnt]]=If[Mod[keel.Table[1，{5}]，2]==0，0，1]；，]，]]]]]]；Print[“count=”，cnt]；（*計算顧客購買一箱時的平均互開總對數(shù)*）cnt=0；aid=Table[1，{5}]；kebe=Table[0，{5}]；For[n=1，n<=1000，n++，（*模擬1000次*）Mnx=Table[Rndom[Integer，{1，5880}]，{60}]；For[i=1，i<=60，i++，F(xiàn)or[k=i+11，k<=60，k++，If[flag[[mnx[[i]]]!=flag[[mnx[[k]]]]，If[Abs[key[[mnx[[i]]]].aid-key[[mnx[[k]]]].aid]==1，Keel=key[[mnx[[I]]]]；kebe=key[[mnx[[k]]]]；For[flal=0；j=1，j<=5，j++，If[keel[[j]]!=kebe[[j]]，flal++，]]；If[flal==1，cnt++，]，]，]；]]]；Print[“Average=”，N[cnt/1000]]；]運算結(jié)果：count=5880與Average=2.362，即得到一批鎖具的個數(shù)為：5880，購買一箱的平均互開總對數(shù)大約為：2.362。對程序稍加修改可得到買兩箱時的平均互開總對數(shù)大約為：8.91，即得到如下結(jié)果：count=5880與Average=8.91。習題15.4請為銷售部門提出一種方案，包括如何裝箱（仍舊是60個鎖具裝一箱），如何給箱子以標志，出售時如何利用這些標志，使團體顧客不再抱怨或減少抱怨？有4位教師給5個班級授課，按教學要求教師Xi給班級Yi上課的課時數(shù)如下表所示。班級教師Y1Y2Y3Y4Y5X120110X201010X301110X400011試排出課程表。某些工業(yè)部門（如貴重石材加工等）采用截斷切割的加工方式，從一個長方體中加工出一個已知尺寸、位置預定的長方體（這兩個長方體的對應表面是平行的），通常要經(jīng)過六次截斷切割。已知待加工長方體和成品長方體的長、寬、高分別為10、14.5、19和3、2、4，二者左側(cè)面、正面、底面之間的距離分別為6、7、9（單位均為厘米）。切割費用為每平方厘米1元，試求最佳切割方案。復習題十五席位分配問題在n個單位的團體中，經(jīng)常涉及到代表名額分配問題，每個單位都希望自己的代表名額多一些，以便在委員會中能更好地反映自己單位的意圖。試設計一種公平的代表名額分配方案，并針對下面三種情況就方案的公平與合理性進行說明。該團體有A、B、C三個單位，開始時A、B、C三個單位的人數(shù)分別是100、60、40，一年后三單位的人數(shù)是103、63、34。就20名代表和21名代表名額給出分配方案。該團體有A、B、C、D、E五個單位，其人數(shù)分別為9061、7179、5259、3319、1182，給出26、27、28、29個代表名額的分配方案。該團體有A、B、C、D、E、F六個單位，其人數(shù)分別為9215、159、158、157、156、155，給出100名代表名額的分配方案。實驗數(shù)據(jù)分解組成生命蛋白質(zhì)的若干種氨基酸可以形成不同的組合，通過質(zhì)譜實驗測定分子量來分析某個生命蛋白質(zhì)分子的組成時，遇到的首要問題就是如何將它的分子量x分解為幾個氨基酸的已知分子量a[i]（i=1，2，…，n）之和，某實驗室所研究的問題中：n=18，a[1：18]=57，71，87，97，99，101，103，113，114，115，128，129，131，147，156，163，186。x為正整數(shù)小于等于1000。要求針對該實驗室擁有或不擁有計算機的情況，對上述問題提出相應解答，并就所討論的數(shù)學模型與方法在一般情形下進行討論。加工順序現(xiàn)有14件工件等待在一臺機床上加工，某些工件的加工必須安排在另一些工件加工完工以后才能開始，第j號工件的加工時間tj及先期必須完工的工件號i由下表給出。工件號j1234567891011121314tj2028251642123210242040243616前期工件號i3,45,7,85,9-10,113,8,943,5,74-4,76,7,145,121,2,6若給出一個加工工序，則確定了每個工件的完工時間（包括等待與加工兩個階段）。試設計一個滿足條件的加工順序，使各工件的完工時間之和最小。若第j號工件緊接著第i號工件完工后開工，機床需要花費的準備時間是：假定工件的完工時間（包括等待與加工兩個階段）超過一確定時限u時，則需支付一定的補償費用，其數(shù)值等于超過時間與費用率之積，各工件的補償費用率ωi如下：j1234567891011121314ωi121015161011108541010812u=100，tij=0，安排一個加工順序，使總補償最小。追捕與逃跑的策略問題一種肉食（捕食其它動物的）恐龍，成年恐龍平均長3米，髖高0.5米，重約45公斤。據(jù)估計，這種恐龍跑的非?？?，速度可達60公里/小時，持續(xù)15秒。在以這種速度進行沖刺后，它要停下來在其肌肉中增加乳酸以恢復體力。假設恐龍捕食一種稱為太西龍屬的雙足食草動物，大小與所述恐龍差不多，可以50公里/小時的速度長時間奔跑。設恐龍是一只獨居的獵食者，試設計一個單個恐龍潛近獵物并追捕單只太西龍屬的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的數(shù)學模型。假設當恐龍潛近15米內(nèi)時，太西龍屬總能察覺到，根據(jù)棲息地及氣候的條件不同，甚至在（多達50米）更大范圍內(nèi)覺察欲捕食者的存在。此外，由于恐龍的身體結(jié)構(gòu)及體能，它在全速奔跑時的轉(zhuǎn)彎半徑是有限的，據(jù)估計，轉(zhuǎn)彎半徑大約是其髖高的三倍。另一方面，太西龍屬卻是極其靈活的，其轉(zhuǎn)彎半徑只有0.5米。更現(xiàn)實地假設恐龍是成對外出追獵，試設計一個新的關于成對恐龍潛近獵物并追獵單只太西龍屬的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的數(shù)學模型。利用（1）中給的假設和限制。評卷問題在確定以論文形式給出比賽優(yōu)勝者時，常常要評閱大量的答卷，比如說有P=100份答卷。一個由J位評閱人組成的小組來完成評閱任務，基于比賽資金，對于能夠聘請的評閱人數(shù)量和評閱時間的限制，如果P=100，通常J=8。理想的情況是每個評閱人看所有的答卷，并給出分數(shù)。為了減少所看答卷的數(shù)量，考慮如下的篩選模式：如果答卷是被排序的，則在每個評閱人給出的排序中排在最下面的30%答卷被篩除；如果答卷被打分（比如說從1分到10分），則某個截止分數(shù)線以下的答卷被篩除。這樣，通過篩選的答卷重新放在一起返回給評閱小組，重復上述過程。人們關注的是，每個評閱人看的答卷總數(shù)要顯