《四、單調(diào)性》知識(shí)清單

《四、單調(diào)性》知識(shí)清單正弦函數(shù)和余弦函數(shù)單調(diào)性知識(shí)清單一、明確目標(biāo)和范圍1、主題：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性。2、涵蓋內(nèi)容正弦函數(shù)單調(diào)性的定義、區(qū)間。余弦函數(shù)單調(diào)性的定義、區(qū)間。如何根據(jù)函數(shù)圖象判斷單調(diào)性。單調(diào)性在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。3、編寫(xiě)目的幫助高中學(xué)生（使用北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)教材）更好地理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性這一重要知識(shí)點(diǎn)，為解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題（如函數(shù)值域、最值等）打下基礎(chǔ)。二、正弦函數(shù)的單調(diào)性（一）正弦函數(shù)的圖象與單調(diào)性的直觀感受咱們先來(lái)說(shuō)說(shuō)正弦函數(shù)。你可以把正弦函數(shù)的圖象想象成是大海里的波浪，一波接著一波。從圖象上看，正弦函數(shù)y＝sinx在一個(gè)周期內(nèi)，它的單調(diào)性是有規(guī)律的。我有一次在海邊看海浪，那海浪一會(huì)兒沖上來(lái)，一會(huì)兒又退下去，就像正弦函數(shù)的圖象在上升和下降一樣。正弦函數(shù)的圖象在區(qū)間＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)上是單調(diào)遞增的。就好比海浪在某一段距離內(nèi)是朝著岸邊涌過(guò)來(lái)，而且越來(lái)越高。比如說(shuō)，當(dāng)k＝0時(shí)，在區(qū)間＼frac{＼pi}｛2}，＼frac{＼pi}｛2}上，隨著x的值越來(lái)越大，y＝sinx的值也越來(lái)越大。這就像海浪從比較低的地方不斷往高處涌。（二）正弦函數(shù)單調(diào)性的證明（簡(jiǎn)單理解版）那怎么知道它在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)遞增的呢？咱們可以從正弦函數(shù)的定義出發(fā)。對(duì)于任意的x_1,x_2\in＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，且x_1＜x_2。根據(jù)正弦函數(shù)的差角公式sin(AB)＝sinAcosBcosAsinB，我們可以得到sinx_2sinx_1＝2cos\frac{x_2＋x_1}｛2}sin\frac{x_2x_1}｛2}。因?yàn)閤_1,x_2\in＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，所以＼frac{x_2＋x_1}｛2}＼in＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，那么cos\frac{x_2＋x_1}｛2}＞0。又因?yàn)閤_1＜x_2，所以sin\frac{x_2x_1}｛2}＞0，這樣就得出sinx_2sinx_1>0，也就是sinx_2>sinx_1，這就證明了正弦函數(shù)在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)遞增的。在區(qū)間＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{3\pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)上，正弦函數(shù)是單調(diào)遞減的。這就像海浪在另一段距離內(nèi)是朝著遠(yuǎn)離岸邊的方向退去，而且越來(lái)越低。三、余弦函數(shù)的單調(diào)性（一）余弦函數(shù)的圖象與單調(diào)性再來(lái)看余弦函數(shù)y＝cosx，它的圖象就像彈簧一樣，一會(huì)兒壓縮，一會(huì)兒拉伸。從圖象上看，余弦函數(shù)在區(qū)間2k\pi,＼pi+2k\pi（k\inZ)上是單調(diào)遞減的。我記得有一次我玩彈簧，把彈簧壓下去的時(shí)候，它的長(zhǎng)度在不斷減小，就像余弦函數(shù)的值在這個(gè)區(qū)間不斷減小一樣。例如，當(dāng)k＝0時(shí)，在區(qū)間0,＼pi上，隨著x的值從0增加到＼pi，y＝cosx的值從1減小到1。（二）余弦函數(shù)單調(diào)性的理解對(duì)于余弦函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減的理解，我們也可以從它的定義和性質(zhì)來(lái)考慮。設(shè)x_1,x_2\in2k\pi,＼pi+2k\pi（k\inZ)，且x_1＜x_2。根據(jù)余弦函數(shù)的差角公式cos(AB)＝cosAcosB＋sinAsinB，可以得到cosx_2cosx_1=2sin\frac{x_2＋x_1}｛2}sin\frac{x_2x_1}｛2}。因?yàn)閤_1,x_2\in2k\pi,＼pi+2k\pi（k\inZ)，所以＼frac{x_2＋x_1}｛2}＼in2k\pi,＼pi+2k\pi（k\inZ)，那么sin\frac{x_2＋x_1}｛2}＞0。又因?yàn)閤_1＜x_2，所以sin\frac{x_2x_1}｛2}＞0，這樣就得出cosx_2cosx_1＜0，也就是cosx_2＜cosx_1，證明了余弦函數(shù)在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)遞減的。而在區(qū)間＼pi+2k\pi,2\pi+2k\pi（k\inZ)上，余弦函數(shù)是單調(diào)遞增的，就像彈簧從被壓縮得最厲害的狀態(tài)開(kāi)始慢慢恢復(fù)原狀，長(zhǎng)度不斷增加。四、根據(jù)函數(shù)圖象判斷單調(diào)性（一）圖象上升與下降我們可以通過(guò)觀察正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象來(lái)判斷它們的單調(diào)性。如果圖象是上升的，那函數(shù)就是單調(diào)遞增的；如果圖象是下降的，函數(shù)就是單調(diào)遞減的。就像我們看股票走勢(shì)圖一樣，如果股票價(jià)格的曲線是上升的，那就說(shuō)明股票在這個(gè)時(shí)間段是上漲的，也就是單調(diào)遞增；如果曲線是下降的，股票就是下跌的，也就是單調(diào)遞減。（二）特殊點(diǎn)的作用圖象上的特殊點(diǎn)也很重要。對(duì)于正弦函數(shù)，像（＼frac{＼pi}｛2}，1)，（＼frac{＼pi}｛2}，1)等點(diǎn)，這些點(diǎn)可以幫助我們確定單調(diào)區(qū)間的邊界。對(duì)于余弦函數(shù)，像（0,1)，（＼pi,1)等點(diǎn)也有同樣的作用。就好比在地圖上，一些標(biāo)志性的地點(diǎn)可以幫助我們確定區(qū)域的邊界一樣。五、單調(diào)性在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用（一）求函數(shù)的值域1、對(duì)于函數(shù)y＝A\sin(＼omegax+＼varphi)＋B（A\neq0,＼omega\neq0），我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求它的值域。因?yàn)檎液瘮?shù)y＝sinx的值域是1,1，當(dāng)＼sin(＼omegax+＼varphi)取到1時(shí)，y＝A\sin(＼omegax+＼varphi)＋B取到最小值y_{min}＝A＋B；當(dāng)＼sin(＼omegax+＼varphi)取到1時(shí)，y＝A\sin(＼omegax+＼varphi)＋B取到最大值y_{max}＝A＋B。這里要注意，要先確定＼omegax+＼varphi的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定＼sin(＼omegax+＼varphi)的最值。2、同樣對(duì)于函數(shù)y＝A\cos(＼omegax+＼varphi)＋B（A\neq0,＼omega\neq0），根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求值域。余弦函數(shù)y＝cosx的值域是1,1，當(dāng)＼cos(＼omegax+＼varphi)取到1時(shí)，y＝A\cos(＼omegax+＼varphi)＋B取到最小值y_{min}＝A＋B；當(dāng)＼cos(＼omegax+＼varphi)取到1時(shí)，y＝A\cos(＼omegax+＼varphi)＋B取到最大值y_{max}＝A＋B。也要先確定＼omegax+＼varphi的取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性確定＼cos(＼omegax+＼varphi)的最值。（二）解決物理中的振動(dòng)問(wèn)題在物理中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)來(lái)描述。比如一個(gè)彈簧振子的位移x隨時(shí)間t的變化關(guān)系可以表示為x＝A\sin(＼omegat+＼varphi)（或x＝A\cos(＼omegat+＼varphi)）。根據(jù)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性，我們可以知道振子在什么時(shí)候運(yùn)動(dòng)得最快（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性有關(guān)，這里簡(jiǎn)單理解為函數(shù)變化最快的時(shí)候），什么時(shí)候運(yùn)動(dòng)得最慢。這就像我們觀察秋千的擺動(dòng)一樣，在某些位置秋千蕩得快，在某些位置蕩得慢，這和正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性是有關(guān)系的。（三）解決幾何中的角度問(wèn)題在幾何中，有時(shí)候我們需要求某個(gè)角的范圍，這個(gè)角可能與正弦函數(shù)或余弦函數(shù)有關(guān)。例如，在一個(gè)三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角的范圍。我們可以利用正弦定理＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＝＼frac{c}｛＼sinC}，把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的關(guān)系，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定角的范圍。這就像我們?cè)谄磮D的時(shí)候，要根據(jù)各個(gè)小塊的形狀和關(guān)系來(lái)確定它們的位置一樣，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定角的范圍就是在找到合適的“位置”。六、習(xí)題1、求函數(shù)y＝2\sin(3x＼frac{＼pi}｛4}）的單調(diào)遞增區(qū)間。2、已知函數(shù)y＝＼cos(2x+＼varphi)在區(qū)間＼frac{＼pi}｛3}，＼frac{2\pi}｛3}上單調(diào)遞減，求＼varphi的取值范圍。3、在三角形ABC中，已知a＝3，b＝4，A=＼frac{＼pi}｛3}，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求角B的范圍。答案：1、令u＝3x＼frac{＼pi}｛4}，因?yàn)檎液瘮?shù)y＝sinu的單調(diào)遞增區(qū)間是＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，則＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi\leqslant3x＼frac{＼pi}｛4}＼leqslant\frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，解這個(gè)不等式得：＼frac{＼pi}｛12}＋＼frac{2k\pi}｛3}＼leqslantx\leqslant\frac{＼pi}｛4}＋＼frac{2k\pi}｛3}（k\inZ)，所以函數(shù)y＝2\sin(3x＼frac{＼pi}｛4}）的單調(diào)遞增區(qū)間是＼frac{＼pi}｛12}＋＼frac{2k\pi}｛3}，＼frac{＼pi}｛4}＋＼frac{2k\pi}｛3}（k\inZ)。2、令u＝2x+＼varphi，余弦函數(shù)y＝cosu的單調(diào)遞減區(qū)間是2k\pi,＼pi＋2k\pi(k\inZ)，則2k\pi\leqslant2x+＼varphi\leqslant\pi＋2k\pi（k\inZ)，解出x得k\pi\frac{＼varphi}｛2}＼leqslantx\leqslant\frac{＼pi}｛2}＼frac{＼varphi}｛2}＋k\pi（k\inZ)。因?yàn)楹瘮?shù)y＝＼cos(2x+＼varphi)在區(qū)間＼frac{＼pi}｛3}，＼frac{2\pi}｛3}上單調(diào)遞減，所以有＼begin{cases}k\pi\frac{＼varphi}｛2}＼leqslant\frac{＼pi}｛3}＼＼＼frac{＼pi}｛2}＼frac{＼varphi}｛2}＋k\pi\geqslant\frac{2\pi}｛3}＼end{cases}（k\inZ)，解這個(gè)不等式組得：