專(zhuān)題 與角度有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題（35題提分練）2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步課堂（北師大版2024）

第第頁(yè)（北師大版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第4章基本平面圖形》專(zhuān)題與角度有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題（解答題35題）（基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題）題型一基礎(chǔ)題1．（2023秋?同安區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分線，求∠COE的度數(shù)．【分析】先根據(jù)角的和差求出∠BOD的度數(shù)，在根據(jù)角的平分線定義求出∠BOE的度數(shù)，最后根據(jù)角的和差求解即可．【解答】解：∵∠BOC＝20°，∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝110°，又OE是∠BOD的角平分線，∴∠BOE＝12∠BOD∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，正確求出∠BOE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?吉安期末）如圖，已知∠1：∠3：∠4＝1：2：4，∠2＝80°，求∠1、∠3、∠4的度數(shù)．【分析】設(shè)∠1＝x，∠3＝2x，∠4＝4x，根據(jù)∠2＝80°，列出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，即可求解．【解答】解：設(shè)∠1＝x，∠3＝2x，∠4＝4x，根據(jù)∠2＝80°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，代入即得：x+80°+2x+4x＝360°，解得：x＝40°，故∠1＝40°，∠3＝80°，∠4＝160°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出方程進(jìn)而求解．3．（2023秋?西峽縣期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．試求∠COE的度數(shù)．【分析】先根據(jù)角平分線定義求出∠COB的度數(shù)，再求出∠BOD的度數(shù)，求出∠BOE的度數(shù)，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠COB=12∠∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝45°，∵∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝15°，∴∠BOE＝30°，∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝45°+30°＝75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和角的有關(guān)計(jì)算，能求出∠DOE的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．4．（2023秋?天心區(qū)期末）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度數(shù)．【分析】根據(jù)OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，得出∠AOD＝120°，再根據(jù)平角的定義得出∠BOD＝60°，然后根據(jù)∠BOD＝3∠DOE，即可得出∠DOE的度數(shù)．【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝60°，∵∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的計(jì)算的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用好角的平分線這一知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．5．（2023秋?泉港區(qū)期末）如圖，∠COD＝45°，∠BOD=13∠COD，OC是∠AOB的平分線，求∠【分析】根據(jù)，∠COD＝45°，∠BOD=13∠COD，可求出∠BOD、∠COB的度數(shù)，OC是∠AOB的平分線，求出∠AOB，進(jìn)而求出∠【解答】解：∵∠COD＝45°，∠BOD=13∠∴∠BOD=1∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝45°﹣15°＝30°，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOB＝2∠COB＝2×30°＝60°，∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝15°+60°＝75°．【點(diǎn)評(píng)】考查角的意義、角的和差、以及角平分線的意義等知識(shí)，依據(jù)圖形理清各個(gè)角之間的關(guān)系式正確計(jì)算的關(guān)鍵．6．（2023秋?瀘縣校級(jí)期末）如圖，OE是∠COA的平分線，∠AOB＝∠COD．（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度數(shù)；（2）比較∠AOC和∠BOD的大小，并說(shuō)明理由．【分析】（1）依據(jù)角平分線的定義，即可得到∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，即可得出∠BOC的度數(shù)；（2）依據(jù)等式的性質(zhì)，即可得到∠AOC＝∠BOD．【解答】解：（1）∵OE是∠COA的平分線，∠AOE＝50°，∴∠AOC＝2∠AOE＝100°，又∵∠AOB＝∠COD＝18°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°；（2）∠AOC＝∠BOD．理由：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的大小比較以及角平分線的定義的運(yùn)用，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．7．（2023秋?南沙區(qū)期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起．三角尺ABC的三個(gè)角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三個(gè)角是30°，60°，90°．（1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度數(shù)；（2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度數(shù)．【分析】（1）用90°減去∠CAE的度數(shù)，求出的差就是∠BAE的度數(shù)；（2）設(shè)∠BAD＝x，用含x的代數(shù)式表示出∠BAE后根據(jù)∠BAE+∠BAD＝60°建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值后即可求出∠CAD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠CAE＝58°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝90°﹣58°＝32°；（2）設(shè)∠BAD＝x，則∠CAE＝2x，∴∠BAE＝90°﹣2x，∵∠DAE＝60°，∴90°﹣2x+x＝60°，解得：x＝30°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝90°+30°＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的計(jì)算，熟練掌握角的和差倍分的計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2023秋?大荔縣期末）將一副直角三角板ABC和BDE的一個(gè)頂點(diǎn)B重合在一起，按如圖所示方式擺放，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝30°，三角板ABC在∠DBE內(nèi)可任意轉(zhuǎn)動(dòng)．（1）以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的所有銳角有個(gè)．（2）求以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的所有銳角的度數(shù)和．【分析】（1）按照從小到大的順序，找出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的銳角即可；（2）把（1）中所找的角相加，根據(jù)∠DBE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE＝90°，∠ABC＝30°，求出答案即可．【解答】解：（1）以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的銳角有：∠ABD，∠ABC，∠CBE，∠DBC，∠ABE，共5個(gè)，故答案為：5；（2）由題意可知：∠DBE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE＝90°，∠ABC＝30°，∴以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的所有銳角的度數(shù)和為：∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠DBC+∠ABE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠ABC＝∠DBE+∠DBE+∠ABC＝90°+90°+30°＝210°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的大小比較，解題關(guān)鍵是能夠正確的識(shí)別圖形，找出角與角之間的關(guān)系．9．（2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．（1）∠AOB∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）求∠AOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角的倍分關(guān)系進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及角之間的和差關(guān)系列方程可求出答案．【解答】解：（1）∠AOB＝∠NOC，理由如下：∵∠BON：∠NOC＝3：1，∴∠NOC：∠BOC＝1：4，又∵∠AOB：∠BOC＝1：4，∴∠AOB＝∠NOC，故答案為：＝；（2）由（1）可得∠AOB＝∠NOC，設(shè)∠NOC＝α，則∠AOB＝α，∠BON＝3α，∵OM平分∠AOB，∴∠BOM=12∠AOB=∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝91°，即12α+3α解得α＝26°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+4α＝5×26°＝130°，答：∠AOC＝130°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，理解角平分線的定義，掌握?qǐng)D形中各個(gè)角之間的關(guān)系是正確解答的前提．10．（2023秋?婁底期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度數(shù)；（2）試猜想∠BOD和∠COE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義可得∠AOD＝120°，再根據(jù)角平分線的定義可得答案；（2）設(shè)∠COE＝x，則∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°，∴∠AOD＝120°，∵∠AOE＝2∠DOE，∴∠DOE=13∠∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；（2）∠BOD＝3∠COE，設(shè)∠COE＝x，則∠DOE＝60°﹣x，∵∠AOE＝2∠DOE，∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，∴∠BOD＝3∠COE．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．11．（2023秋?瑤海區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠MON＝90°，在∠MON內(nèi)部作射線OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度數(shù)；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)余角的定義求出∠MOC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BOM，然后根據(jù)∠AOM＝180°﹣∠BOM計(jì)算即可；（2）根據(jù)角的倍分關(guān)系以及角平分線的定義即可求解．【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝20°，∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝70°，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠MOC＝140°，∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝40°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴4∠NOC＝90°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的意義、互補(bǔ)、互余的意義，正確表示各個(gè)角，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是得出正確結(jié)論的關(guān)鍵．12．（2023秋?高安市期末）如圖，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）若∠COE=14∠COB【分析】（1）利用角平分線定義，角的加減計(jì)算即可；（2）先求出∠COB的度數(shù)，再判斷∠COE的可能位置，分情況求出∠AOE的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC＝∠COB=12∠AOB∵OD是∠BOC的平分線，∴∠COD=12∠COB∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+20°＝60°；（2）由（1）知∠COB＝40°，∠AOC＝40°，∴∠COE=1∴射線OE可能在射線OC上邊，此時(shí)∠AOE＝∠AOC﹣∠COE＝40°﹣10°＝30°，射線OE可能在射線OC下邊，此時(shí)∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+10°＝50°，∴∠AOE的度數(shù)為30°或50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線定義，角的加減．題型二提升題13．（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OD，OE分別平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度數(shù)；（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度數(shù)．【分析】（1）先利用角平分線的定義得到∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，所以∠DOE（2）先利用角平分線的定義得到∠AOD＝∠COD＝65°，然后計(jì)算∠AOD+∠DOE即可；（3）設(shè)∠COD＝3x，∠COE＝2x，然后利用∠COD+∠COE＝90°可計(jì)算出x＝18°，從而得到∠COD＝54°，則∠AOD＝54°，然后計(jì)算∠AOD+∠DOE．【解答】解：（1）∵OD，OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=12∠AOC，∠COE=1∴∠COD+∠COE=12（∠AOC+∠即∠DOE=12∠AOB（2）∵∠AOD＝∠COD＝65°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝65°+90°＝155°；（3）∵∠COD：∠COE＝3：2，∴設(shè)∠COD＝3x，∠COE＝2x，∵∠COD+∠COE＝90°，∴3x+2x＝90°，解得x＝18°，∴∠COD＝54°，∴∠AOD＝54°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝54°+90°＝144°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算：利用角的和、差轉(zhuǎn)化為角的度數(shù)的和、差．也考查了角平分線的定義．14．（2023秋?慈溪市期末）如圖，直角三角板DOE的直角頂點(diǎn)O在直線AB上，OD平分∠AOF．（1）比較∠EOF和∠EOB的大小，并說(shuō)明理由；（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度數(shù)．【分析】（1）先說(shuō)明∠AOD+∠EOB＝90°，再說(shuō)明∠AOD＝∠FOD，從而得出∠FOD+∠EOB＝90°，再根據(jù)∠FOD+∠EOF＝90°，即可得到∠EOB＝∠EOF；（2）設(shè)∠AOD＝x°，則∠DOF＝x°，∠EOF＝90°﹣x°，列方程即可求得．【解答】解：（1）∠EOB＝∠EOF；理由如下：∵∠DOE＝90°，∴∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°，∵OD平分∠AOF，∴∠AOD＝∠FOD，∴∠FOD+∠EOB＝90°，∵∠FOD+∠EOF＝90°，∵∠EOB＝∠EOF．（2）設(shè)∠AOD＝x°，∵OD平分∠AOF，∴∠DOF＝x°，∵∠DOE＝90°，∴∠EOF＝90°﹣x°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOF，∴x°+x°＝90°﹣x°，∴x＝30，∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣30﹣90°＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的比較大小和角平分線的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及角的和差列出方程式．15．（2023秋?武昌區(qū)期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°．（1）如圖1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左側(cè)，則∠BOC＝；（2）如圖2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，再根據(jù)圖形中角度的和差關(guān)系可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義及角度的和差關(guān)系可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，∵∠AOD＝80°，∠AOB＝50°，∴∠BOD＝30°，∵∠COD＝20°，∴∠BOC＝10°；故答案為：10°；（2）∵OP平分∠AOD，∴∠DOP=12∠AOD=12（∠AOB+∠∵OQ平分∠BOC，∴∠COQ=12∠∵∠AOB＝50°，∠COD＝20°，∴∠POQ＝∠DOP﹣∠COQ﹣∠COD，=12（∠AOB+∠COD+∠BOC）?12=12（∠AOB﹣∠＝15°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算，合理利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023秋?無(wú)為市期末）利用折紙可以作出角平分線，如圖1折疊，則OC為∠AOB的平分線，如圖2、圖3，折疊長(zhǎng)方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接OA′．（1）如圖2，若點(diǎn)B'恰好落在OA′上，且∠AOC＝32°，則∠BOD＝；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時(shí)，連接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度數(shù)．【分析】（1）由折疊得出∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，由平角的性質(zhì)可得∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD＝180°，再由∠AOC＝32°，即可求解；（2）同（1）的方法求出∠A'OD，再由∠A'OB'＝∠B'OD﹣∠A'OD即可求解．【解答】解：（1）由題意知∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，∵∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD＝180°，∠AOC＝32°，∴∠BOD=1（2）由題意知∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，∵∠AOC+∠A'OC+∠A'OD+∠BOD＝180°，∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠A'OD＝180°﹣2×44°﹣61°＝31°，∴∠A'OB'＝∠B'OD﹣∠A'OD＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，角的和差的計(jì)算，掌握從圖形中找出角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．17．（2023秋?彭水縣期末）已知∠AOB內(nèi)部有三條射線OD，OC，OE且在同一個(gè)平面內(nèi)，∠AOC＝2∠BOC，射線OD始終在射線OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．（1）如圖1，當(dāng)OE平分∠BOC時(shí)，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOD＝5∠COE時(shí)，求∠BOE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意，求得∠BOC、∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，求得∠COE的度數(shù)，從而得到∠DOC的度數(shù)，即可求解；（2）分兩種情況，OE在OC的上方或OE在OC的下方，分別求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∴∠AOC=23∠AOB=72°∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝54°；（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，設(shè)∠BOE＝x°，當(dāng)OE在OC的上方時(shí)，∠COE＝（x﹣36）°，∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°，解得x＝42，即∠BOE＝42°；當(dāng)OE在OC的下方時(shí)，則∠COE＝（36﹣x）°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°，解得x＝27，即∠BOE＝27°；綜上，∠BOE的度數(shù)為42°或27°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角的和差關(guān)系，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到角的和差關(guān)系，學(xué)會(huì)利用分類(lèi)討論的思想求解問(wèn)題．18．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC內(nèi)的射線，且∠AOB=35∠BOC，射線OD、OE將∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠（1）求∠DOE．（2）如圖2，作∠BOD，∠EOC的平分線OM，ON．求∠MON的值．【分析】（1）根據(jù)已知易得∠AOB=38∠AOC＝60°，∠BOC=58∠AOC＝100°，再根據(jù)∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，然后求出∠AOD＝20°，∠（2）利用角平分線的定義和（1）的結(jié)論可得∠DOM=12∠BOD＝20°，∠CON=1【解答】解：（1）∵∠AOC＝160°，∠AOB=35∠∴∠AOB=38∠AOC＝60°，∠BOC=5∵∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，∴∠AOD=13∠AOB＝20°，∠BOD=2∴∠COE＝3∠AOD＝60°，∴∠DOE＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠COE＝160°﹣20°﹣60°＝80°，∴∠DOE的度數(shù)為80°；（2）∵OM平分∠BOD，∴∠DOM=12∠∵ON平分∠COE，∴∠CON=12∠∴∠MON＝∠AOC﹣∠CON﹣∠AOD﹣∠DOM＝160°﹣30°﹣20°﹣20°＝90°，∴∠MON的度數(shù)為90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋?渝北區(qū)期末）OC，OD，OE在∠AOB內(nèi)，∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∠DOE＝66°．（1）如圖1，當(dāng)OE為∠BOC的角平分線時(shí)，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)∠AOD=53∠COE【分析】（1）根據(jù)題意，求得∠BOC、∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，求得∠COE的度數(shù)，從而得到∠DOC的度數(shù)，即可求解；（2）設(shè)∠BOE＝x，分別表示出∠AOD和∠COE，根據(jù)已知等式列出方程，解之即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∴∠AOC=23∠AOB=72°∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝48°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝24°；（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，設(shè)∠BOE＝x，則∠COE＝36°﹣x，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝30°+x，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝42°﹣x，由∠AOD=53∠COE解得x＝27，即∠BOE＝27°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角的和差關(guān)系，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到角的和差關(guān)系，學(xué)會(huì)利用分類(lèi)討論的思想求解問(wèn)題．20．（2023秋?漢中期末）如圖，已知∠AOB＝120°，從∠AOB的頂點(diǎn)O引出一條射線OC，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，將射線OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OD，且∠COD＝60°．（1）如圖①，若∠AOD＝90°，試判斷∠AOC與∠BOD之間的大小關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖②，作射線OE，射線OE為∠AOD的平分線，設(shè)∠AOC＝α，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，若射線OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可確定兩個(gè)角的大??；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根據(jù)∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根據(jù)∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD計(jì)算即可．【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，又∵∠AOB＝120°∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，∴∠BOD＝∠AOC；（2）∵OC恰好平分∠AOE，∴∠AOC＝∠EOC＝α，∴∠AOE＝2∠AOC＝2α，∵OE為∠AOC的平分線，∴∠DOE＝∠AOE＝2α，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，∵∠COD＝60°，∴3α＝60°，∴α＝20°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋?宿豫區(qū)期末）已知，將一副三角板的直角頂點(diǎn)O按如圖所式疊放在一起．（1）若∠BOD＝55°，則∠BOC＝，∠BOC∠AOD（填＞、＜、＝）；（2）①若∠BOD＝50°，則∠AOC＝；若∠AOC＝120°，則∠BOD＝；②猜想∠BOD與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)三角尺直角的度數(shù)計(jì)算出結(jié)果．（2）①根據(jù)直角的度數(shù)求出∠AOD，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果；②先表示出∠BOD和∠AOC與∠AOD的數(shù)量關(guān)系，再將式子相加即可得到答案．【解答】解：（1）∠BOC＝90°﹣55°＝35°；∵∠AOD＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOC＝∠AOD，故答案為：35°；＝．（2）①∵∠BOD＝50°，∴∠AOD＝90°﹣50°＝40°，∴∠AOC＝90°+40°＝130°；∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，故答案為：130°，60°．②∵∠BOD＝90°﹣∠AOD，∠AOC＝90°+∠AOD，∴∠BOD+∠AOC＝90°﹣∠AOD+90°+∠AOD＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)解答．22．（2023秋?莊河市期末）如圖，點(diǎn)O為直線上AB一點(diǎn)，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC的平分線，（1）求∠BOE的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接射線OF，且∠AOF=13∠AOC【分析】（1）先利用角的和差關(guān)系可得∠BOC＝108°，然后利用角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）分兩種情況：當(dāng)射線OF在OA的上方時(shí)；當(dāng)射線OF在OA的下方時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠BOD＝18°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝108°，∵OE是∠BOC的平分線，∴∠BOE=12∠∴∠BOE的度數(shù)為54°；（2）分兩種情況：當(dāng)射線OF在OA的上方時(shí)，如圖：∵∠BOC＝108°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，∵∠AOF=1∴∠AOF=1∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝72°﹣24°＝48°；當(dāng)射線OF在OA的下方時(shí)，如圖：∵∠BOC＝108°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，∵∠AOF=1∴∠AOF=1∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝72°+24°＝96°；綜上所述：∠COF的度數(shù)為48°或96°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．23．（2023秋?黃陂區(qū)校級(jí)期末）將三角板COD的直角頂點(diǎn)O放置在直線AB上．（1）如圖，且∠AOC＝40°射線OE平分∠BOC，則∠BOE的大小為；（2）在（1）的條件下，射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；（3）若將三角板COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠BOD．請(qǐng)寫(xiě)出∠COD與∠EOF度數(shù)的等量關(guān)系：．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及平角的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由平角的定義，角平分線的定義以及角的和差關(guān)系即可得出答案；（3）根據(jù)角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE=12∠故答案為：70°；（2）∵∠AOC＝40°，∠COD＝90°，∴∠BOD＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE=12∠∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝∠DOF=12∠∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝70°﹣25°＝45°，答：∠EOF＝45°；（3）∵射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠BOD．∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC＝70°，∠BOF＝∠DOF=1∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF=12∠BOC?=12（∠COD+∠BOD）?=12∠故答案為：∠EOF=12∠【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義以及角的計(jì)算，掌握角平分線的定義以及平角的定義是正確解答的前提．題型二壓軸題24．（2023秋?斗門(mén)區(qū)期末）如圖①，OC是∠AOE內(nèi)部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝；（2）∠AOE與∠BOD的大小有什么關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．（3）如圖②，如果OC是∠AOE外部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE與∠BOD的大小關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由角平分線的定義得出∠COD+∠COB=12∠AOE（2）由角平分線的定義得出∠COD+∠COB=12∠AOE，即∠AOE（3）由角平分線的定義得出得出∠AOB=∠BOC=12∠AOC，∠COD=∠EOD=12∠COE，根據(jù)∠AOE＝∠【解答】解：（1）∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC，∴∠COD=1∵∠AOE＝140°，∴∠COD+∠COB=1∵∠COD＝30°，∴∠BOC＝40°；故答案為：40°．（2）∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．∴∠COD=1∴∠COD+∠COB=12∠AOE即∠AOE＝2∠BOD，（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．∴∠AOB=∠BOC=1∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD?∠BOC=1∴∠AOE＝2∠BOD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線，靈活利用角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．25．（2023秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．（1）如圖①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度數(shù)；（2）將∠COD繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至如圖②的位置，∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將∠COD繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至如圖③的位置，（2）中的關(guān)系是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用角的平分線的定義和角的和差求解；（2）設(shè)∠AOD＝x°，再利用角的平分線的定義和角的和差求解；（3）設(shè)∠AOD＝x°，再利用角的平分線的定義和角的和差求解；【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠COD＝140°，∴∠COD=12∠∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝80°，∵OE平分∠AOD，∠AOE＝∠EOD＝80°，∠AOC＝∠AOE+∠COE＝90°；（2）2∠COE＝∠BOD；理由如下：設(shè)∠AOD＝x°，則∠AOC＝70°﹣x°，∠BOD＝140°﹣x°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EOD=12∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝70°﹣x°+12x°＝70°?∴2∠COE＝140°﹣x°＝∠BOD；（3）不成立，理由如下：設(shè)∠AOD＝x°，則∠AOC＝70°+x°，∠BOD＝360°﹣（140°+x°）＝220°﹣x°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EOD=12∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝70°+x°?12x°＝70°+∴2∠COE+∠BOD＝140°+x°+220°﹣x°＝360°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的平分線的定義及角的和差，理解角的和差是解題的關(guān)鍵．26．（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)M，O，N在同一條直線上，將一直角三角板的60°銳角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OA在射線OM上，另一邊OB在直線MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）把三角板繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)OB轉(zhuǎn)到射線OM上時(shí)停止，若在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同時(shí)在∠BOC內(nèi)部有一條射線OE，使得∠BOE=(34x?90)°【分析】（1）先計(jì)算出∠BON＝120°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CON的度數(shù)，接著計(jì)算出∠DON的度數(shù)，然后計(jì)算∠BON﹣∠DON即可；（2）先計(jì)算出∠MOB＝（180﹣x）°，則利用平角的定義得到∠BON＝x°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠BOC=12x°，接著計(jì)算出∠COE＝（90?14x）°，然后利用∠MOB+∠BOE計(jì)算出∠MOE＝（90?14x）°，從而得到∠MOE＝∠【解答】解：（1）根據(jù)題意得∠AOB＝60°，∴∠BON＝120°，∵OC平分∠BON，∴∠BOC＝∠NOC=12∠∵OD平分∠CON，∴∠DON=12∠∴∠BOD＝∠BON﹣∠DON＝120°﹣30°＝90°；（2）如圖，∵∠AOM＝（x﹣120）°，∠AOB＝60°，∴∠MOB＝60°﹣（x﹣120）°＝（180﹣x）°，∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝x°，∵OC平分∠BON，∴∠BOC=12∠BON=∵∠BOE＝（34x∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE=12x°﹣（34x﹣90）°＝（90∵∠MOE＝∠MOB+∠BOE＝（180﹣x）°+（34x﹣90）°＝（90?1∴∠MOE＝∠COE，∴OE平分∠MOC，即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線OE始終是∠MOC的平分線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義和角的計(jì)算，靈活運(yùn)用代數(shù)的方法進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．（2023秋?寶安區(qū)期末）將一副三角板如圖1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）內(nèi)作射線OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，將三角板OCD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在一條直線上時(shí)，∠MON＝；（2）如圖2，若旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），∠MON的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)三角板OCD旋轉(zhuǎn)到∠AOB內(nèi)部時(shí)，求∠MON的值．【分析】（1）先根據(jù)周角可得：∠BOD+∠AOC＝240°，由∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC可得：∠DOM+∠CON＝80°，最后由角的和可得結(jié)論；（2）同理可得結(jié)論；（3）根據(jù)角的和差，∠COD＝30°可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣90°﹣30°＝240°，∵∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，∴∠DOM+∠CON=1∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；故答案為：110°；（2）如圖2，∠MON的度數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，由（1）可知：∠DOM+∠CON＝80°，∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；（3）∵∠MON＝∠AOB﹣∠BOM﹣∠AON＝90°﹣2∠DOM﹣2∠CON＝90°﹣2（∠DOM+∠CON）＝90°﹣2（30°+∠MON），∴3∠MON＝30°，∴∠MON＝10°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角的計(jì)算，角的和與差的運(yùn)用，正確的讀圖確定各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這是一道難度較大的題目．28．（2024?兩江新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）將一副三角板的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線．（1）如圖①所示，當(dāng)OB與OC重合時(shí)，則∠MON的大小為；（2）當(dāng)∠COD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示，當(dāng)∠BOC＝14°，則∠MON的大小為多少？（3）當(dāng)∠COD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖③所示，當(dāng)∠BOC＝α?xí)r，求∠MON的大?。痉治觥浚?）根據(jù)角平分線的定義直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)∠BOC＝14°算出∠AOC＝31°，∠BOD＝16°，然后根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（3）用n表示出∠AOC＝45°+α，∠BOD＝30°+α，然后根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠BOM=12∠AOB=22.5°∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝37.5°．故答案為：37.5°；（2）當(dāng)∠BOC＝14°時(shí)，∠AOC＝45°﹣14°＝31°，∠BOD＝30°﹣14°＝16°，∵OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠BON=12∠BOD=8°∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝15.5°+8°+14°＝37.5°；（3）當(dāng)∠BOC＝α?xí)r，∠AOC＝45°+α，∠BOD＝30°+α，∵OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠BON=1∠MOB=1∴∠MON=∠MOB+∠BON=15°+1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，掌握角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．29．（2023秋?于洪區(qū)期末）【提出問(wèn)題】已知點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠COD＝90°，射線OE是∠AOD的平分線．（1）如圖1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度數(shù)．請(qǐng)補(bǔ)充完成下列解答過(guò)程：解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，∴∠AOD＝°．∵∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝°．∵OE是∠AOD的平分線，∴∠AOE＝∠AOD＝°．∴∠COE＝∠AOC+＝°．【類(lèi)比分析】（2）如圖2，設(shè)∠COE＝α，求∠BOD的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【變式探索】（3）如圖3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和角的和差即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和角的和差即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，∴∠AOD＝70°．∵∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝20°．∵OE是∠AOD的平分線，∴∠AOE=12∠∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝55°．故答案為：70，20，12，35，∠AOE（2）∵∠COD＝90°，∠COE＝α，∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣α，∵OEOE是∠AOD的平分線，∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，∵∠AOB＝180°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α，（3）設(shè)∠DOE＝x°，根據(jù)題意得：3（x+90）﹣2（180﹣2x）＝78，解得：x＝24，∴∠COE＝114°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義、平角的定義及角的和與差，能根據(jù)圖形確定所求角和已知各角的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．30．（2023秋?澠池縣期末）如圖．已知∠MON＝140°，∠AOC與∠BOC互余，OC平分∠MOB．（1）在圖①中．若∠AOC＝40°，則∠BOC＝°．∠NOB＝°；（2）在圖①中，設(shè)∠AOC＝α，∠NOB＝β，請(qǐng)?zhí)骄喀僚cβ之間的數(shù)量關(guān)系（必須寫(xiě)出推理的主要過(guò)程，但每一步后面不必寫(xiě)出理由）；（3）在圖①中，當(dāng)∠AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，（2）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)α與β之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）應(yīng)用余角的定義進(jìn)行計(jì)算及角度的計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)余角的定義可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根據(jù)角平分線的定義可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），代入計(jì)算即可得出答案；（3）根據(jù)余角的定義可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根據(jù)角平分線的定義可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB+∠MON＝∠BOM，代入計(jì)算即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×50°＝100°，∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣100°＝40°；故答案為：50，40；（2）∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），∴β＝140°﹣180°+2α，∴β＝2α﹣40°；（3）不成立．∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，∴∠NOB+∠MON＝∠BOM，∴β+140＝180°﹣2α，∴β+2α＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余角和補(bǔ)角及角平分線定義，熟練掌握余角和補(bǔ)角及角平分線定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．31．（2023秋?青島期末）如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB是直角，∠BOC＝60°時(shí)，求∠MON的度數(shù)是多少？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝60°時(shí)，嘗試發(fā)現(xiàn)∠MON與α的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時(shí)，猜想：∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？直接寫(xiě)出結(jié)論即可．【分析】（1）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC＝75°，∠NOC=1∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°．（2）如圖2，∠MON=12理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°，∠NOC∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12（3）如圖3，∠MON=12α，與理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝α+β．∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∠MOC=12∠AOC=12（∠NOC=12∠BOC=∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+β?12β＝α+∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12（α+β）?12即∠MON=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和角的有關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度數(shù)和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．32．（2024春?高青縣期末）【實(shí)踐活動(dòng)】如圖1，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合擺放．（1）∠ACE與∠BCD的大小關(guān)系是∠ACE∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）（2）∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系是．【拓展探究】（3）如圖2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）依題意得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，進(jìn)而得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，然后根據(jù)同角的余角相等可得出答案；（2）由∠ACD＝90°，∠ECB＝90°得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，則∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，然而∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；據(jù)此可得∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系；（3）先由∠ACD+∠BCE＝180°得∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，進(jìn)而得∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，據(jù)此可得∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）依題意得：∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD．故答案為：＝．（2）∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，∵∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝90°+90°，∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；（3）∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，又∵∠ACD+∠BCE＝180°，∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，即：∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角的計(jì)算，同角的余角相等，準(zhǔn)確識(shí)圖，理解同角的余角相等，熟練掌握角的計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．33．（2023秋?和平區(qū)校級(jí)期末）已知∠AOB＝120°，從∠AOB的頂點(diǎn)O引出一條射線OC，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，將射線OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°形成∠COD．（1）如圖1，若∠AOD＝90°，比較∠AOC和∠BOD的大小，并說(shuō)明理由；（2）作射線OE，射線OE為∠AOD的平分線，設(shè)∠AOC＝α．①如圖2，當(dāng)0°＜α＜60°，若射線OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度數(shù)；②當(dāng)α≠60°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螮OC與∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可確定兩個(gè)角的大??；（2）①根據(jù)角平分線的定義可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根據(jù)∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根據(jù)∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD計(jì)算即可；②分兩種情況：當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，分別根據(jù)角平分線的定義，角的和差計(jì)算即可．【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，又∵∠AOB＝120°∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，∴∠BOD＝∠AOC；（2）①∵OC恰好平分∠AOE，∴∠AOC＝∠EOC＝α，∴∠AOE＝2∠AOC＝2α，∵OE為∠AOC的平分線，∴∠DOE＝∠AOE＝2α，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，∵∠COD＝60°，∴3α＝60°，∴α＝20°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°；②分情況討論：當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，∵∠BOD＝∠AOB﹣∠COD﹣∠AOC＝60°﹣α，∵∠AOD＝α+60°，OE為∠AOD的平分線，∴∠AOE=1∴∠COE=∠AOE?∠AOC=1∴∠COE=1當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，∵∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB＝α﹣60°，∵∠AOD＝α+60°，OE為∠AOD的平分線，∴∠AOE=1∴∠COE=∠AOC?∠AOE=α?1∴∠COE=1綜上所述，∠COE=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．34．（2023秋?山西期末）綜合與探究特例感知：（1）如圖1．線段AB＝16cm，C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)．①若AC＝4cm，則線段DE的長(zhǎng)為cm．②設(shè)AC＝acm，則線段DE的長(zhǎng)為cm．知識(shí)遷移：（2）我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)．拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB內(nèi)的位置如圖3所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【分析】（1）①由AC＝4cm，AB＝16cm，即可推出BC＝12cm，然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，即可推出AD＝DC＝2cm，BE＝EC＝6cm，即可推出DE的長(zhǎng)度；②由AC＝acm，AB＝16cm，即可推出BC＝（16﹣a）cm，然后通過(guò)點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，即可推出DE=12（AC+BC）=12×（a+16﹣a（2）由射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOC，∠AOB＝120°，即可推出∠MON＝∠MOC+∠CON=12（∠AOC+∠COB）=1（3）由∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，可以得到∠MOD=23∠AOD，∠CON=23∠BOC，根據(jù)∠AOB＝α，∠COD＝30°，∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD=23∠AOD+23∠BOC+23∠COD+1【解答】解：（1）①∵AC＝4cm，AB＝16cm，∴BC＝AB﹣AC＝16﹣4＝12（cm），又∵點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CD＝2cm，CE＝6cm，∴DE＝CD+CE＝2+6＝8（cm）；故答案為