2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計案例3.2獨立性檢驗學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE2獨立性檢驗授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第56頁[自主梳理]一、2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A1)；變量B：B1，B2＝eq\x\to(B1).BAB1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中a表示__________________時的數(shù)據(jù)；b表示________________時的數(shù)據(jù)；c表示______________時的數(shù)據(jù)；d表示________________時的數(shù)據(jù)．二、統(tǒng)計量χ2的計算公式依據(jù)上表給定的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計量χ2的表達式為：χ2＝______________________.三、事務(wù)A、B相關(guān)性的判定方法大小比較結(jié)論χ2≤2.706沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的χ2>2.706有______的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)χ2>3.841有______的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)χ2>6.635有______的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)[雙基自測]1．對兩變量X與Y的χ2的值說法正確的是()A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X與Y無關(guān)系”的把握性越小D．χ2越大，“X與Y無關(guān)系”的把握性越大2．下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x282533總計b46則表中a，b處的值分別為()A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,523．考察棉花種子是否經(jīng)過處理跟得病之間的關(guān)系，得如下表所示的數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理總計得病32101133不得病61213274總計93314407依據(jù)以上數(shù)據(jù)得χ2的值是________．[自主梳理]一、變量A取A1，且變量B取B1變量A取A1，且變量B取B2變量A取A2，且變量B取B1變量A取A2，且變量B取B2二、eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)三、90%95%99%[雙基自測]1．Bχ2越大，X與Y越不獨立，所以關(guān)聯(lián)越大；相反，χ2越小，關(guān)聯(lián)越?。?．Ca＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝60.3．0.164χ2＝eq\f(407×32×213－61×1012,93×314×133×274)≈0.164.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第56頁探究一兩個變量的獨立性檢驗(兩個事務(wù)不獨立)[例1]某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20到40歲401858大于40歲152742總計5545100(1)由表中數(shù)據(jù)分析，是否有99.9%的把握認為收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)？(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)當抽取幾名？(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)隨機變量χ2的概率分布：P(χ2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解析](1)χ2＝eq\f(100×40×27－18×152,58×42×55×45)＝eq\f(24300,2233)≈10.88>10.828，所以有99.9%的把握認為收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)．(2)抽取的比例為eq\f(5,45)＝eq\f(1,9)，所以大于40歲的觀眾應(yīng)當抽取eq\f(1,9)×27＝3(名)．(3)在年齡20至40歲的2名觀眾和年齡大于40的3名觀眾中任取2名，恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率為eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).本題是利用公式求出χ2的值，再利用其與臨界值的大小關(guān)系來推斷獨立性，解題時應(yīng)留意精確代入數(shù)據(jù)與計算，不行錯用公式，要精確地進行比較與推斷．1．從發(fā)生汽車碰撞事故的司機中抽取2000名．依據(jù)他們的血液中是否含有酒精以及他們是否對事故負有責(zé)任．將數(shù)據(jù)整理如下：有無責(zé)任有無酒精有無總計有650150800無7005001200總么，司機對事故負有責(zé)任與血液中含有酒精是否有關(guān)系？若有關(guān)系，你認為在多大程度上有關(guān)系？解析：在假設(shè)“對事故負有責(zé)任與血液中含酒精沒有關(guān)系”的前提下，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)≈114.9，且P(χ2≥10.828)≈0.001，而χ2的觀測值χ2≈114.9，超過10.828，這就意味著“對事故負有責(zé)任與血液中含酒精沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性為0.001，即有99.9%的把握認為“對事故負有責(zé)任與血液中含有酒精之間有關(guān)系”．探究二兩個變量的獨立性檢驗(兩個事務(wù)獨立)[例2]探討人員選取170名青年男女高校生的樣本，對他們進行一種心理測驗，發(fā)覺有60名女生對該心理測驗中的最終一個題目的反應(yīng)是：作確定的有18名，否定的有42名；110名男生在相同的題目上作確定的有22名，否定的有88名．問：性別與看法之間是否存在某種關(guān)系？用獨立性檢驗的方法進行推斷．[解析]依據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列出下列表格：看法性別確定否定總計男生2288110女生184260總計40130170提出假設(shè)H0：性別與看法不存在某種關(guān)系，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(170×22×42－18×882,110×60×40×130)≈2.158.因為當H0成立時，2.158<2.706，所以沒有充分的理由說明性別與看法有關(guān)．要得到兩個變量之間有關(guān)或無關(guān)的精確的可信程度，需作獨立性檢驗的有關(guān)計算，χ2越小變量間的關(guān)系越弱，當χ2≤2.706時，我們認為兩個變量無關(guān)．2．為了探究學(xué)生選報文、理科是否與對外語的愛好有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有愛好的有138人，無愛好的有98人，文科對外語有愛好的有73人，無愛好的有52人．試分析學(xué)生選報文、理科與對外語的愛好是否有關(guān)？解析：列出2×2列聯(lián)表：理文合計有愛好13873211無愛好9852150合計236125361代入公式得χ2的觀測值χ2＝eq\f(361×138×52－73×982,236×125×211×150)≈1.871×10－4.∵1.871×10－4<2.706，∴可以認為學(xué)生選報文、理科與對外語的愛好無關(guān)．探究三獨立性檢驗的實際應(yīng)用[例3]某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣揚：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”．經(jīng)調(diào)查發(fā)覺，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾?。堄盟鶎W(xué)學(xué)問分析該藥品對預(yù)防A疾病是否有效？[解析]將問題中的數(shù)據(jù)寫成2×2列聯(lián)表：患A疾病不患A疾病合計服用該藥品5100105不服用該藥品18400418合計23500523將上述數(shù)據(jù)代入公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d)中，計算可得χ2≈0.0414，因為0.0414<2.706，故沒有充分的理由認為該保鍵藥品對預(yù)防A疾病有效．利用獨立性檢驗可以幫助我們定量地分析兩個分類變量之間是否有關(guān)系，因此利用它可以幫助我們理性地看待廣告中的某些數(shù)字，從而不被某些虛假廣告所蒙騙．3．對某校小學(xué)生進行心理障礙測試，得到如下列聯(lián)表：焦慮說謊懶散總計女生5101530男生20105080總計252065110試說明在三種心理障礙中哪一種與性別關(guān)系最大？解析：對于上述三種心理障礙分別構(gòu)造三個隨機變量χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中數(shù)據(jù)可得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×5×60－25×202,30×80×25×85)≈0.863，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6.366，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×15×30－15×502,30×80×65×45)≈1.410.由于6.366>3.841,0.863<2.706,1.410<2.706，故有95%的把握認為說謊與性別有關(guān)，沒有充分的證據(jù)顯示懶散、焦慮與性別有關(guān)．因不理解獨立性檢驗的含義致誤[典例]對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進行了3年的跟蹤探討，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病總計心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196總計68324392試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別．[解析]由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,39＋15729＋16739＋29157＋167)≈1.780.因為χ2＝1.780<2.706，所以我們沒有充分證據(jù)顯示“心臟搭橋手術(shù)”、“血管清障手術(shù)”與“又發(fā)作過心臟病”有關(guān)系，所以沒有充分證據(jù)表明這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病影響有差別．[錯因與防范]1.在解答時，在得到χ2≤2.706后，會得出錯誤結(jié)論：“我們判定又發(fā)作過心臟病和他是否做過這兩種手術(shù)無關(guān)”，出錯的緣由是沒有弄清晰獨立性檢驗中χ2≤2.706的含義．2．防范措施：(1)強化對概念或原理的理解數(shù)學(xué)概念或原理是一切學(xué)問生成和拓展的基礎(chǔ)，正確理解數(shù)學(xué)概念或原理是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵．如本例的求解主要涉及獨立性檢驗的思想，即對“χ2≤2.706”(2)嚴格執(zhí)行解題步驟此類題目的解答規(guī)律性強，近乎格式化，填表、計算、分析比較即可．假如χ2≤2.706，并不是表示兩個變量沒有關(guān)系，只有沒有充分證據(jù)表明它們有關(guān)系而已，所以在解題中不要濫用．巴西醫(yī)生馬廷思收集的犯有各種貪污、受賄罪的官員與廉潔官員的壽命的調(diào)查資料如下：500名貪官中有348人的壽命小于平均壽命，152人的壽命大于或等于平均壽命；590名廉潔官員中有93人的壽命小于平均壽命，497人的壽命大于或等于平均壽命．這里，平均壽命