數(shù)據(jù)、模型與決策（原書第16版）課件 第8章、非線性最優(yōu)化模型

AnIntroductiontoManagementScience,16e第八章、非線性最優(yōu)化模型章節(jié)內(nèi)容8-1 一個(gè)生產(chǎn)應(yīng)用:對Par公司的再思考8-2 構(gòu)建一個(gè)指數(shù)型基金8-3 馬科維茨投資組合模型8-4 另一個(gè)混合問題8-5 預(yù)測一個(gè)新產(chǎn)品的使用

本章小結(jié)章節(jié)目標(biāo)完成本章后，你將能夠:LO8.1 對非線性最優(yōu)化問題進(jìn)行建模，并準(zhǔn)確寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件LO8.2 利用ExcelSolver求解非線性最優(yōu)化模型LO8.3 利用ExcelSolver中的設(shè)置來增加找到非線性最優(yōu)化模型全局最優(yōu)解的機(jī)會(huì)LO8.4 掌握非線性最優(yōu)化模型中財(cái)務(wù)收益和風(fēng)險(xiǎn)的度量，如方差、半方差和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值

LO8.5 使用非線性最優(yōu)化模型創(chuàng)建有效邊界LO8.6 對非線性問題進(jìn)行靈敏度分析介紹許多商業(yè)過程都以非線性方式運(yùn)行。例如，債券的價(jià)格是利率的非線性函數(shù)，股票期權(quán)的價(jià)格是標(biāo)的股票價(jià)格的非線性函數(shù)。生產(chǎn)的邊際成本常常隨著生產(chǎn)數(shù)量的增多而減少，產(chǎn)品的需求數(shù)量常常是價(jià)格的非線性函數(shù)。非線性最優(yōu)化問題是指在目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一項(xiàng)是非線性的最優(yōu)化問題。我們考慮一個(gè)目標(biāo)函數(shù)是決策變量的非線性函數(shù)的生產(chǎn)問題，以此來開始非線性應(yīng)用的研究。8.2節(jié)建立了一個(gè)關(guān)于設(shè)計(jì)有價(jià)證券的投資組合來跟蹤股票市場指數(shù)的非線性應(yīng)用。8.3節(jié)引入了曾獲得諾貝爾獎(jiǎng)的馬科維茨模型用于管理風(fēng)險(xiǎn)和收益間的權(quán)衡，并由此擴(kuò)展對投資組合模型的處理。8.4節(jié)提供了在第4章中介紹的線性規(guī)劃混合問題的一個(gè)非線性模型。8.5節(jié)介紹了一個(gè)成功用于新產(chǎn)品銷售(引入)預(yù)測的非線性規(guī)劃模型。8-1一個(gè)生產(chǎn)應(yīng)用：對Par公司的再思考一個(gè)無約束問題

總利潤

8-1對Par公司的再思考:一個(gè)有約束問題

8-1對Par公司的再思考:計(jì)算機(jī)的解決方案及解釋目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值是49920.55美元。變量部分顯示最優(yōu)解是生產(chǎn)459.7個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球袋和308.2個(gè)高級球袋。第2～4行的非零值表明其他部門存在可用的松弛時(shí)間Par公司非線性模型的目標(biāo)函數(shù)等高線是一簇橢圓。8-1局部和全局最優(yōu)對于某可行解，若其鄰域上所有點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值都不優(yōu)于該可行解的目標(biāo)函數(shù)值，則稱該可行解為局部最優(yōu)解。對于一個(gè)最大化問題，如果某點(diǎn)的鄰域內(nèi)所有的可行解都小于等于該點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，則這個(gè)點(diǎn)就是局部最大值點(diǎn)。對于一個(gè)最小化問題，如果某點(diǎn)的鄰域內(nèi)所有的可行解都大于等于該點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，則這個(gè)點(diǎn)就是局部最小值點(diǎn)。如果對于一個(gè)可行解，在可行域中找不到其他可行解能夠比該可行解有更好的目標(biāo)函數(shù)值，就稱這個(gè)可行解是全局最優(yōu)解。對于最大化問題，如果可行域內(nèi)沒有其他的點(diǎn)能有更大的目標(biāo)函數(shù)值，則這個(gè)點(diǎn)就是全局最大值點(diǎn)。對于最小化問題，如果可行域內(nèi)沒有其他的點(diǎn)能有更小的目標(biāo)函數(shù)值，則這個(gè)點(diǎn)就是全局最小值點(diǎn)。有多個(gè)局部最優(yōu)解的非線性問題很難求解。但在許多非線性應(yīng)用中，局部最優(yōu)解也是全局最優(yōu)解。對這類問題，我們只需要找到局部最優(yōu)解。接下來，我們將展示這種非線性問題的一些更普遍的類型。8-1“局部和全局最優(yōu)解的常見類型”

一個(gè)朝下碗形的函數(shù)被稱作凹函數(shù)。這個(gè)特殊函數(shù)的最大值是0，點(diǎn)（0，0）給出最優(yōu)值0。這種凹函數(shù)有一個(gè)唯一的局部最大值點(diǎn)，該點(diǎn)也是一個(gè)全局最大值點(diǎn)。這類非線性問題是相對容易最大化的。一個(gè)呈朝上碗形的函數(shù)被稱作凸函數(shù)。這個(gè)特殊函數(shù)的最小值是0，點(diǎn)（0，0）可得出最小值0。這樣的凸函數(shù)有唯一的局部最小值，相對容易最小化8-1“多個(gè)局部和全局最優(yōu)解”

該函數(shù)共有兩個(gè)局部最小值和三個(gè)局部最大值。局部最小值中有一個(gè)也是全局最小值，局部最大值中有一個(gè)也是全局最大值。8-1非線性優(yōu)化的靈敏度分析非線性模型中的簡約梯度類似于線性模型中的遞減成本。簡約梯度本質(zhì)上是非負(fù)約束的對偶值，或者更籠統(tǒng)地說，它是決策變量上下限約束條件對應(yīng)的對偶值。回想一下，對于線性模型，對偶價(jià)格是約束條件右側(cè)每單位增量引起的最優(yōu)值的變化。對于非線性模型，與對偶價(jià)格類似的是約束條件的拉格朗日乘數(shù)。拉格朗日乘數(shù)是目標(biāo)函數(shù)相對于約束條件右側(cè)的變化率。然而，對于非線性問題，允許的增量和減量基本上為零。因此，即使約束條件右側(cè)很小的變化，也可能會(huì)引起拉格朗日乘數(shù)的變化。8-2構(gòu)建指數(shù)型基金指數(shù)型基金指數(shù)型基金是共同基金行業(yè)中一個(gè)相當(dāng)流行的投資手段。實(shí)際上，先鋒500指數(shù)基金是美國一個(gè)最大的共同基金，2005年，其凈資產(chǎn)超過700億美元。指數(shù)型基金是被動(dòng)資產(chǎn)管理的一個(gè)例子。指數(shù)型基金的核心思想是構(gòu)建一個(gè)股票、共同基金或其他有價(jià)證券的投資組合，盡可能接近像標(biāo)準(zhǔn)普爾500這樣的泛市場指數(shù)的績效。指數(shù)基金流行的背后是因?yàn)榻鹑陬I(lǐng)域的大量研究表明“你無法打敗市場”。Hauck公司的金融服務(wù)讓我們重新看一下第5章中Hauck公司的例子。假定Hauck公司有大量客戶想要擁有共同基金投資組合，這些投資組合在整體績效上能很接近于標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)。為了使投資組合的整體績效更接近于標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)，投資組合中每個(gè)共同基金應(yīng)被投資的比例是多少？8-2指數(shù)型基金：問題表達(dá)式?jīng)Q策變量

目標(biāo)函數(shù)和約束條件

8-2指數(shù)型基金：完整的模型和解

8-3馬科維茨投資組合模型

8-3馬科維茨投資組合模型：完整的模型和解

8-3馬科維茨投資組合模型：有效邊界馬科維茨投資組合模型為投資者提供了一個(gè)方便的方法來權(quán)衡風(fēng)險(xiǎn)和收益。在實(shí)踐中，這個(gè)模型對不同收益值進(jìn)行多次求解。右圖表示隨著要求的期望收益以1%的步長從8%增加到12%，對應(yīng)每個(gè)收益的投資組合方差的最小值。在金融領(lǐng)域，這個(gè)圖被稱作有效邊界。有效邊界上的每個(gè)點(diǎn)是對每個(gè)給定收益的最小可能風(fēng)險(xiǎn)（由投資組合方差測量的）。通過查看有效邊界的圖形，投資者能得到他最滿意的均方差平衡的投資方案。8-4石油公司的混合問題GrandStrand精煉廠為了最大化利潤，想要精煉三種石油成分得到一般規(guī)格和特殊規(guī)格的汽油。成分1和成分2混合在一個(gè)單獨(dú)的存儲罐，成分3有自己的存儲罐。在當(dāng)前的生產(chǎn)計(jì)劃期，三種成分可用的最大加侖數(shù)分別是5000、10000和10000。

成分1、2和3的成本分別是2.50美元、2.60美元和2.84美元。每加侖一般規(guī)格汽油的價(jià)格是2.90美元，每加侖特殊規(guī)格汽油的價(jià)格是3.00美元。最終，必須生產(chǎn)至少10000加侖一般規(guī)格汽油。一般規(guī)格和特殊規(guī)格汽油的產(chǎn)品規(guī)格如下：一般規(guī)格汽油最多30%成分1最少40%成分2最多20%成分3特殊規(guī)格汽油最少25%成分1最多40%成分2最少30%成分3GrandStrand必須做出兩個(gè)決策：1.混合物中成分1和成分2的比例是多少？2.需要混合罐中多少成分1和成分2的混合物與成分3混合來生產(chǎn)一般規(guī)格和特殊規(guī)格汽油？8-4混合問題：決策變量

8-4混合問題：目標(biāo)函數(shù)與約束條件

8-4混合問題：完整的模型與計(jì)算機(jī)求解

8-4混合問題：解決方案的解釋

8-5預(yù)測一個(gè)新產(chǎn)品的使用在引入新產(chǎn)品后，預(yù)測該產(chǎn)品的使用是一個(gè)非常重要的營銷問題。這一節(jié)介紹由FrankBass建立的一個(gè)預(yù)測模型—Bass預(yù)測模型，這個(gè)模型已被證明對預(yù)測創(chuàng)新和新技術(shù)在市場上的使用特別有效。非線性規(guī)劃用于估計(jì)Bass預(yù)測模型的參數(shù)。這個(gè)模型有三個(gè)參數(shù)必須進(jìn)行估計(jì)：m=最終使用新產(chǎn)品的估計(jì)總?cè)藬?shù)q=模仿系數(shù)，測量了潛在使用者受到已使用產(chǎn)品的人的影響時(shí)使用該產(chǎn)品的相對可能性p=創(chuàng)新系數(shù)，p測量了在假定沒有受到他人已購買（使用）產(chǎn)品的影響時(shí)使用該產(chǎn)品的相對可能性注意，這兩個(gè)參數(shù)p和q可正可負(fù)。如果參數(shù)為負(fù)值，則意味著隨著時(shí)間推移消費(fèi)者購買的可能性會(huì)降低。利用這些參數(shù)，我們可以建立預(yù)測模型。8-5FrankBass-Bass預(yù)測模型

8-5預(yù)測一個(gè)新產(chǎn)品的使用：問題表達(dá)式

8-5獨(dú)立制片公司電影票房收入：預(yù)測模型

8-5獨(dú)立制片公司電影票房收入：結(jié)果與解釋對于獨(dú)立電影，在第4周有最大收益，模仿參數(shù)q的值是0.49，這個(gè)值顯著大于創(chuàng)新參數(shù)p=0.074。由于良好的口碑，這部電影經(jīng)過一段時(shí)間后，票房開始快速增加。在第4周后，隨著越來越多的潛在觀影者已看過它，收益開始下降。將利用右表中的參數(shù)做出的預(yù)測值與觀察值繪制在一張圖上，我們得到了右圖。從圖中可以看出，Bass預(yù)測模型能很好地描述獨(dú)立電影的收益。新產(chǎn)品引入使用Bass預(yù)測模型的一種方法是，假定新產(chǎn)品的購買模式與之前的某產(chǎn)品相似，且這種產(chǎn)品的p和q已計(jì)算出來，我們只需再主觀估計(jì)出新產(chǎn)品的潛在市場規(guī)模m。本章小結(jié)在這章中我們介紹了非線性最優(yōu)化模型。非線性最優(yōu)化模型是在約束條件或目標(biāo)函數(shù)中至少有一個(gè)非線性項(xiàng)的模型。因?yàn)樵谏虡I(yè)和自然界中很多過程都以非線性的方式表