六年級數(shù)學上冊 1.圓 （含詳解）（北師大版）

北師大版小學六年級數(shù)學上冊期末復習專題講義圓【知識點歸納】一．圓的認識與圓周率1．圓的認識：圓是一種幾何圖形．當一條線段繞著它的一個端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓．2．圓周率：圓周率符號一般以π來表示，是一個在數(shù)學及物理學普遍存在的數(shù)學常數(shù)．它定義為圓形之周長與直徑之比．它也等于圓形之面積與半徑平方之比．【典例分析】例1：圓周率π是一個（）A、有限小數(shù)

B、循環(huán)小數(shù)

C、無限不循環(huán)小數(shù)分析：根據(jù)圓周率的含義：圓的周長和它直徑的比值，叫做圓周率，用字母“π”表示，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)；進而解答即可．解：根據(jù)圓周率的含義可知：圓周率π是一個無限不循環(huán)小數(shù)；故選：C．點評：此題考查了圓周率的含義．例2：把一個圓分成若干等份，然后把它剪拼成一個近似的長方形，已知長方形的長是6.28cm，這個長方形的寬是2cm，這個圓的面積是12.56cm2．分析：長方形的兩個長的和即為圓的周長，利用圓的周長公式即可求出圓的半徑，也就是長方形的寬；從而可求出圓的面積．解：C=2πr，r=C÷2π，=6.28×2÷6.28，=2cm；長方形的寬=2cm；圓的面積：3.14×22，=12.56cm2．故答案為：2，12.56．點評：此題主要考查圓的周長及面積公式，關(guān)鍵是明白圓的半徑等于長方形的寬．二．圓、圓環(huán)的周長圓的周長=πd=2πr，半圓的周長等于圓周長一半加上直徑，即；半圓周長=πr+2r．圓環(huán)的周長等于兩個圓的周長，即：圓環(huán)的周長=πd1+πd2=2πr1+2πr2．【典例分析】例1：車輪滾動一周，所行的路程是求車輪的（）A、直徑

B、周長

C、面積分析：車輪滾動一周，所行的路程就是這個車輪的周長，可采用化曲為直的方法進行計算．解：車輪滾動一周所行的路程就是車輪一周的長度，即周長．答：車輪滾動一周，所行的路程是求車輪的周長．故選：B．點評：此題主要考查的是利用圓的周長求車輪的所行路程．例2：如圖，一個半圓形的半徑是r，它的周長是（）A、2πr×

B、πr+r

C、（π+2）r

D、πr2．分析：根據(jù)半圓的周長公式：C=πr+2r，可求半圓的周長．解：πr+2r=（π+2）r．答：半圓的周長是（π+2）r．故選：C．點評：考查了半圓的周長．解題的關(guān)鍵是理解和掌握它們的計算公式，同時不要錯誤的以為半圓的周長是圓的周長的一半．三．圓、圓環(huán)的面積圓的面積公式：S=πr2圓環(huán)的面積等于大圓的面積減去小圓的面積即可得，公式：S=πr22-πr12=π（r22-r12）【典例分析】例1：因為大圓的半徑和小圓的直徑相等，所以大圓面積是小圓面積的（）A、2倍

B、4倍

C、

D、分析：大圓的半徑和小圓的直徑相等，說明大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，利用圓的面積公式和積的變化規(guī)律即可推理得出正確答案進行選擇．解：大圓的半徑和小圓的直徑相等，說明大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，圓的面積=πr2，根據(jù)積的變化規(guī)律可得，r擴大2倍，則r2就會擴大2×2=4倍，所以大圓的面積是小圓的面積的4倍．故選：B．點評：此題考查了積的變化規(guī)律在圓的面積公式中的靈活應用，這里可以得出結(jié)論：半徑擴大幾倍，圓的面積就擴大幾倍的平方．例2：在圖中，正方形的面積是100平方厘米，那么這個圓的面積是多少平方厘米？周長呢？分析：看圖可知：正方形的邊長等于圓的半徑，先利用正方形的面積公式求出正方形的邊長，即得出圓的半徑，由此根據(jù)圓的周長和面積公式即可列式解答．解：因為10×10=100，所以正方形的邊長是10厘米，所以圓的面積是：3.14×10×10=314（平方厘米）；周長是：3.14×10×2=62.8（厘米），答：這個圓的面積是314平方厘米，周長是62.8厘米．點評：此題考查圓的周長與面積公式的計算應用，關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用正方形的面積公式求出正方形的邊長，即這個圓的半徑．四．畫圓圓規(guī)畫圓步驟：1、把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間距離；2、把有針尖的一只腳固定在一點上；3、帶有鉛筆的那只腳繞點旋轉(zhuǎn)一周．【典例分析】例1：畫一個周長是18.84厘米的圓，圓規(guī)的兩腳之間的距離應該是（）厘米．A、3

B、6

C、9

D、12分析：圓規(guī)兩腳之間的距離即這個圓的半徑，由圓的周長公式即可解決問題．解：18.84÷3.14÷2=3（厘米）；答：圓規(guī)的兩腳之間的距離應該是3厘米．故選：A．點評：抓住圓規(guī)畫圓的方法，利用C=2πr，即可解決此類問題．例2：畫一個直徑是4cm的圓．分析：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，由此以點O為圓心，以4÷2=2厘米為半徑，即可畫出這個圓．解：4÷2=2（厘米），以點O為圓心，以2厘米為半徑，畫圓如下：點評：此題考查了圓的畫法，抓住圓的兩大要素：圓心和半徑即可畫圓．同步測試一．選擇題（共10小題）1．圓周率π是一個（）A．有限小數(shù) B．無限不循環(huán)小數(shù) C．無限循環(huán)小數(shù) D．3.142．在一個邊長是5cm的正方形內(nèi)，畫一個最大的圓．它的半徑是（）A．5cm B．10cm C．任意長 D．2.5cm3．小圓半徑是3厘米，大圓半徑是5厘米，小圓面積是大圓面積的（）A． B． C． D．4．鐘面上時針的長度1分米，一晝夜時針掃過的面積（）平方分米．A．2π B．12π C．24π D．48π5．用圓規(guī)畫一個直徑是3厘米的圓，它的兩腳叉開的距離是（）A．3厘米 B．6厘米 C．1.5厘米6．把一個周長是18.84dm的圓平均分成兩個半圓，每個半圓的周長是（）dm．A．15.42 B．9.42 C．12.24 D．不能計算7．在一個長10cm，寬8cm的長方形中切一個最大的圓，圓的面積的正確列式是（）A．3.12×102 B．3.14×82 C．3.14×（8÷2）2 D．3.14×（10÷2）28．小圓的直徑等于大圓的半徑，大圓的周長是小圓周長的（）A．8倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍9．一個半圓，半徑是r，它的周長是（）A．π÷4 B．πr C．πr+2r10．一個圓的半徑擴大4倍，面積擴大（）倍．A．4 B．8 C．16 D．2二．填空題（共8小題）11．在一個長3厘米，寬2厘米的長方形內(nèi)，剪一個最大的圓，這個圓的半徑是厘米．12．在一個長10厘米，寬6厘米的長方形內(nèi)畫一個最大的圓，這個圓的半徑是厘米．13．一個圓形糧倉的半徑是3米，它的直徑是厘米，周長是厘米．14．一塊圓環(huán)形鐵片的內(nèi)圓半徑是4cm，外圓半徑是8cm，這塊圓環(huán)形鐵片的面積是cm2．15．長方形的面積S＝正方形的面積S＝圓的周長C＝圓的面積S＝16．兩條同樣長的鐵絲分別圍成一個正方形和一個圓形，已知正方形的邊長是6.28厘米，圓的半徑是厘米．17．把一個圓沿半徑剪開平均分成若干個小扇形，再拼成近似的長方形，長方形的長是12.56分米，這個圓的周長是分米，面積是平方分米．18．在同圓內(nèi)，半徑是直徑的，直徑是半徑的．三．判斷題（共5小題）19．直徑相等的半圓周長是整圓的．（判斷對錯）20．通過圓心的線段是半徑．（判斷對錯）21．推導圓的面積公式的方法中蘊含著轉(zhuǎn)化的思想．（判斷對錯）22．在一個正方形內(nèi)畫一個最大的圓，正方形的面積是這個圓的．（判斷對錯）23．用圓規(guī)畫圓，圓的大小是由圓規(guī)的兩腳之間的距離來決定．（判斷對錯）．四．計算題（共2小題）24．求下列圖形的周長．25．求出下面圖形的周長和面積．（單位：厘米）（π＝3.14）五．應用題（共5小題）26．如圖，在長方形中有兩個大小相等的圓，已知這個長方形的寬是10cm，圓半徑是多少厘米？長方形的周長是多少厘米？27．學校有一個圓形的荷花池，周長是94.2米．荷花池的占地面積是多少平方米？28．下面的每個小方格都表示邊長1厘米的正方形．（1）在圖中畫一個直徑4厘米的圓，再畫一個半徑3厘米的圓．（2）如果在圖中畫一個盡可能大的圓，這個圓的半徑是厘米，直徑是厘米．29．已知圓的周長和長方形的周長相等，長方形的寬是多少厘米？30．一個圓形的噴水池的直徑是2.4m，繞這個噴水池走一圈大約是多少米？

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．【分析】圓周率π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，π＝3.141592653…，但在實際應用中一般只取它的近似值，即π≈3.14．【解答】解：圓周率π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，π＝3.141592653…．故選：B．【點評】通過本題我們要知道圓周率π≈3.14只是一個近似值．2．【分析】正方形內(nèi)最大圓的直徑是這個正方形的邊長即是5cm，半徑是5÷2＝2.5cm．【解答】解：在一個邊長是5cm的正方形內(nèi)，畫一個最大的圓．它的半徑是2.5cm；故選：D．【點評】此題抓住正方形內(nèi)最大圓的特點，是解決本題的關(guān)鍵．3．【分析】可分別求得兩個圓的面積是多少，再相除即得小圓的面積是大圓面積的幾分之幾．【解答】解：小圓面積：3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）；大圓面積：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）；小圓的面積是大圓面積的：28.26÷78.5＝．答：小圓的面積是大圓面積的．故選：B．【點評】此題也可根據(jù)大小圓的面積比等于它們半徑的平方比來解答．4．【分析】根據(jù)題意，求一晝夜時針掃過的面積，就是求這個以1分米為半徑的圓的面積的2倍，利用圓的面積公式計算即可．【解答】解：π×12×2＝2π（平方分米），答：一晝夜時針掃過的面積是2π平方分米．故選：A．【點評】時針掃過的面積就是以時針的長度為半徑的圓的面積，這里要注意一晝夜時針旋轉(zhuǎn)了2周．5．【分析】圓規(guī)兩腳間的距離即半徑，根據(jù)“r＝d÷2”進行解答即可．【解答】解：3÷2＝1.5（厘米）；答：它的兩腳叉開的距離是1.5厘米．故選：C．【點評】本題主要考查圓的認識，根據(jù)同圓或等圓中半徑和直徑之間的關(guān)系進行解答即可．6．【分析】先根據(jù)圓的周長公式求出這個圓的直徑是18.84÷3.14＝6，再利用半圓的周長＝整圓的周長÷2+直徑即可解答．【解答】解：18.84÷2+18.84÷3.14＝9.42+6＝15.42（分米）答：每個半圓的周長是15.42分米．故選：A．【點評】此題主要考查圓的周長和半圓的周長公式的靈活應用．7．【分析】根據(jù)題意可知，在這個長方形中剪一個最大的圓，這個圓的直徑等于長方形的寬，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答．【解答】解：3.14×（8÷2）2＝3.14×16＝50.24（平方厘米）答：這個圓的面積是50.24平方厘米．故選：C．【點評】此題主要考查圓面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式．8．【分析】可以設(shè)小圓的半徑為r，則小圓的直徑為2r，又根據(jù)小圓的直徑等于大圓的半徑，所以大圓的半徑就為2r，然后代入圓周長公式分別求出大圓和小圓的周長來進行比較即可．【解答】解：設(shè)小圓半徑為r，則大圓的半徑就為2r；C?。?πr；C大＝2π（2r）＝4πr；C大÷C?。?πr÷2πr＝2；答：大圓的周長是小圓周長的2倍．故選：D．【點評】此題考查了對圓的周長公式C＝2πr的理解和靈活運用情況．9．【分析】半圓的周長＝圓周長的一半+直徑，據(jù)此列式即可得解．【解答】解：2πr÷2+2r＝πr+2r答：它的周長是πr+2r．故選：C．【點評】此題考查半圓周長的計算方法，要記住半圓的周長等于圓周長的一半加上一條直徑的長度，推出公式為C＝πr+2r．10．【分析】這道題中圓的半徑不是一個具體的數(shù)字，像這種情況下，我們可以采用假設(shè)法，把它的半徑假設(shè)成一個具體的數(shù)，根據(jù)面積公式算出它們原來和擴大后的面積，再用除法算一算它的面積擴大多少倍．【解答】解：假設(shè)這個圓原來的半徑是1厘米，則擴大4倍后半徑是4厘米，原來圓的面積S＝πr2＝π×12＝π（平方厘米），擴大后圓的面積S＝πr2＝π×42＝16π（平方厘米），16π÷π＝16，答：面積擴大16倍．故選：C．【點評】此題主要考查一個因數(shù)不變，積隨著另一個因數(shù)變化的規(guī)律，關(guān)鍵要理解圓的半徑擴大4倍，那么面積就擴大4的平方倍．二．填空題（共8小題）11．【分析】要使所剪的圓最大，實際就是以長方形的寬為直徑剪出的圓，由此根據(jù)d＝2r列式解答即可．【解答】解：圓的半徑：2÷2＝1（厘米）答：這個圓的半徑是1厘米．故答案為：1．【點評】解答此題的關(guān)鍵是明白：在這個長方形內(nèi)剪一個最大的圓，圓的直徑應等于長方形的寬，據(jù)此即可逐步求解．12．【分析】由題意可知，在這個長方形內(nèi)畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬，據(jù)此解答．【解答】解：如圖：6÷2＝3（厘米）答：這個圓的半徑是3厘米．故答案為：3．【點評】此題主要考查圓的面積計算，解答關(guān)鍵是理解在這個長方形內(nèi)畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬．13．【分析】根據(jù)直徑公式d＝2r，周長公式C＝2πr，即可求出圓的直徑、周長．注意單位換算．【解答】解：直徑：3×2＝6（米）6米＝600厘米；周長：2×3.14×3＝18.84（米）18.84米＝1884厘米答：它的直徑是600厘米，周長是1884厘米．故答案為：600；1884．【點評】本題主要利用圓的直徑公式d＝2r、周長公式C＝2πr解決問題．14．【分析】已知內(nèi)、外圓的半徑，要求圓環(huán)的面積，可直接利用公式S圓環(huán)＝π（R2﹣r2）列式解答即可．【解答】解：3.14×（82﹣42）＝3.14×（64﹣16）＝3.14×48＝150.72（平方厘米）答：這個環(huán)形鐵片的面積是150.72平方厘米．故答案為：150.72．【點評】解答此類型的題目要先知道各自的半徑，再利用公式進行計算．15．【分析】長方形的面積＝長×寬，即S＝ab；正方形的面積＝邊長×邊長，即S＝a2；圓的周長C＝2πr＝πd，圓的面積S＝πr2據(jù)此解答即可．【解答】解：長方形的面積S＝ab；正方形的面積S＝a2；圓的周長C＝2πr＝πd圓的面積S＝πr2．故答案為：ab，a2，2πr＝πd，πr2．【點評】此題主要考查的是正方形和長方形面積公式，圓的面積公式和周長公式的掌握情況．16．【分析】一個正方形的周長和一個圓的周長相等，正方形的邊長6.28厘米，則可求正方形的周長，也就是圓的周長，進而根據(jù)C＝2πr可求圓的半徑是多少．【解答】解：圓的周長（正方形的周長）：6.28×4＝25.12（厘米）圓的半徑：25.12÷3.14÷2＝8÷2＝4（厘米）答：圓的半徑是4厘米．故答案為：4．【點評】此題綜合考查圓的周長，分析題干中的數(shù)量關(guān)系，據(jù)已知運用公式求解即可．17．【分析】由題意可得：長方形的長等于圓的周長的一半，寬等于圓的半徑，長方形的長已知，即可得出圓周長和半徑，進一步根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2得出圓的面積．【解答】解：12.56×2＝25.12（分米）25.12÷3.14÷2＝4（分米）3.14×42＝50.24（平方分米）答：這個圓的周長是25.12分米，面積是50.24平方分米．故答案為：25.12，50.24．【點評】此題主要考查圓的面積公式的推導過程，明白：長方形的長等于圓的周長的一半，寬等于圓的半徑．18．【分析】依據(jù)圓的認識，及在同一個圓中半徑與直徑的關(guān)系：在同圓或等圓里，有無數(shù)條半徑，無數(shù)條直徑，直徑是半徑的2倍，半徑相當于直徑的一半；由此解答即可．【解答】解：在同圓內(nèi)，半徑是直徑的一半，直徑是半徑的2倍．故答案為：一半，2倍．【點評】此題主要考查了圓的認識，靈活掌握圓的特征是解答本題的關(guān)鍵．三．判斷題（共5小題）19．【分析】半圓的周長為整圓周長的一半再加上一條直徑，據(jù)此解答即可．【解答】解：直徑相等的半圓周長是整圓周長的一半再加上一條直徑，所以原題說法錯誤．故答案為：×．【點評】此題主要考查的是半圓周長的意義及求法．20．【分析】根據(jù)直徑、半徑的定義，通過圓心并且兩個端點都在圓上的線段叫做直徑，連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑．據(jù)此判斷．【解答】解：半徑是連接圓心和圓上任意一點的線段．所以，通過圓心的線段是半徑．這種說法是錯誤的．故答案為：×．【點評】此題考查的目的是理解掌握直徑、半徑的定義及應用．21．【分析】把圓分成若干份拼擺成近似的長方形，長方形的寬相當于圓的半徑，長相當于圓的周長的一半．根據(jù)長方形的面積計算公式，推導出圓的面積計算公式．【解答】解：把圓分成若干份拼擺成近似的長方形，長方形的寬相當于圓的半徑，長相當于圓的周長的一半．根據(jù)長方形的面積計算公式，推導出圓的面積計算公式．所以推導圓的面積公式的方法中蘊含著轉(zhuǎn)化的思想．所以原題說法正確．故答案為：√．【點評】重點考查圓的面積計算公式的推導，用了轉(zhuǎn)化的思想方法．22．【分析】在一個正方形內(nèi)畫一個最大的圓，這個圓的直徑等于正方形的邊長，可設(shè)圓的半徑為r，則圓的直徑為2r，正方形的邊長為2r，由此利用圓的面積公式和正方形的面積公式即可解答．【解答】解：設(shè)圓的半徑為r，則圓的直徑為2r，正方形的邊長為2r，圓的面積：πr2正方形的面積：2r×2r＝4r24r2÷（πr2）＝4÷π＝答：正方形的面積是這個圓的．所以原題說法正確．故答案為：√．【點評】此題主要考查的是正方形面積公式和圓的面積公式的靈活應用．23．【分析】圓規(guī)在畫圓時，有針的一腳不動，即圓心，有筆頭的一腳旋轉(zhuǎn)一周，得到圓，兩腳之間的距離就是圓的半徑，所以圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小．【解答】解：由分析可知：用圓規(guī)畫圓，圓規(guī)兩腳間的距離是圓的半徑，半徑?jīng)Q定圓的大小．故答案為：√．【點評】此題主要考查了圓的畫法和各部分作用．四．計算題（共2小題）24．【分析】根據(jù)題意，半圓的周長等于半圓所在圓周長的一半再加上一條直徑的長即可，根據(jù)圓的周長公式C＝πd進行計算即可得到答案．【解答】解：3.14×24÷2+24＝3.14×12+24＝37.68+24＝61.68（米）．答：這個半圓的周長是61.68米．【點評】解答此題的關(guān)鍵是確定半圓的周長等于半圓所在圓周長的一半加一條直徑的長．25．【分析】環(huán)形的周長等于大小圓的周長和，根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，根據(jù)環(huán)形面積公式：S環(huán)形＝π（R2﹣r2），把數(shù)據(jù)分別代入公式解答．【解答】解：3.14×4×2+3.14×2×2＝25.12+12.56＝37.68（厘米）3.14×（42﹣22）＝3.14×（16﹣4）＝3.14×12＝37.68（平方厘米）；答：它的周長是37.68厘米，面積是37.68平方厘米．【點評】此題主要考查圓的周長公式、環(huán)形民間故事的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式．五