不等式專題一元二次不等式恒成立和有解問題-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講與練(人教A版2019)

一元二次不等式恒成立和有解問題一、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立1、不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立?或2、不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立?或【注意】對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．二、一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)；方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)的值域?yàn)?，則恒成立?，即；恒成立?，即.三、給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解。四、常見不等式恒成立及有解問題的函數(shù)處理方法不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，具體如下：1、對任意的，恒成立?；若存在，有解?；若對任意，無解?.2、對任意的，恒成立?；若存在，有解?；若對任意，無解?.題型一一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立問題【例1】若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時，不等式成立；當(dāng)時，不等式恒成立，等價于．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．【變式11】“不等式在R上恒成立”的充要條件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，則不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要條件，故選：A.【變式12】已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，由題意有，解得，綜上，.故選：B.【變式13】已知關(guān)于的不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時，不等式為，對恒成立，所以滿足條件當(dāng)時，不等式為，解集為，不滿足題意當(dāng)時，對應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，的解集一定不是R，不滿足題意當(dāng)，時，若不等式的解集為R，則，解得：，綜上，故選：B【變式14】關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時，不等式為恒成立，；當(dāng)時，不等式可化為：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.題型二一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【例2】若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】對于任意的，不等式，即，因此，對于任意的，恒成立，當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，即當(dāng)時，取得最小值4，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式21】已知對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍________.【答案】【解析】因?yàn)閷愠闪?，即在時恒成立，令，則代換為，令，由對勾函數(shù)可知，在上單增，所以，所以.故答案為：【變式22】已知二次函數(shù).若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】不等式即為：，當(dāng)時，可變形為：，即.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，，即.故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.【變式23】若不等式對一切都成立，則a的最小值為（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】記，要使不等式對一切都成立，則：或或解得或或，即.故選：D【變式24】不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，對一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，或，故選：A.題型三給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題【例3】當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】【解析】由題意不等式對恒成立，可設(shè)，，則是關(guān)于的一次函數(shù)，要使題意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集為，所以的取值范圍是．【變式31】若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故選：C【變式32】已知，不等式恒成立，則的取值范圍為A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．∴的取值范圍為．故選：C．【變式33】已知當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】恒成立，即，對任意得恒成立，令，，當(dāng)時，，不符題意，故，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，則，解得或（舍去），當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，則，解得或（舍去），綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式33】不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，對一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，或.故選：A.題型四一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的有解問題【例4】已知不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，符合題意當(dāng)時，令，由不等式有解，即，得當(dāng)時，開口向下，滿足有解，符合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為【變式41】若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】當(dāng)時，不等式為有實(shí)數(shù)解，所以符合題意；當(dāng)時，不等式對應(yīng)的二次函數(shù)開口向下，所以不等式有實(shí)數(shù)解，符合題意；當(dāng)時，要使不等式有實(shí)數(shù)解，則需滿足，可得，所以，綜上所述：的取值范圍是.【變式42】，使得不等式成立，則m的取值范圍是___________.【答案】【解析】令，則，因?yàn)?，使得不等式成立，所以，則m的取值范圍是，【變式43】若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】【解析】當(dāng)時，不等式為有解，故，滿足題意；當(dāng)時，若不等式有解，則滿足，解得或；當(dāng)時，此時對應(yīng)的函數(shù)的圖象開口向下，此時不等式總是有解，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.題型五一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【例5】已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，，，即，故問題轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)，則，，對于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，故，故選：A【變式51】已知命題p：“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，當(dāng)時，不等式有解，等價于“，恒成立”為真時對應(yīng)a取值集合的補(bǔ)集若，恒成立為真命題，需滿足且，解得．因此p命題成立時a的范圍時，故選：A．【變式52】若關(guān)于的不等式在有解，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，其對稱軸為，關(guān)于的不等式在有解，當(dāng)時，有，，即，可得或．故選：B．【變式53】已知當(dāng)時，存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．