19-20版第1章8第2課時函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質

第2課時函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質學習目標核心素養(yǎng)1.掌握函數y＝Asin(ωx＋φ)的周期、單調性及最值的求法．(重點)2．理解函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱性．(難點)1.通過求函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質及最值，體會數學運算素養(yǎng)．2．通過理解函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱性，體會直觀想象素養(yǎng).函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質定義域R值域[－A，A]周期T＝eq\f(2π,ω)奇偶性φ＝kπ，k∈Z時，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函數，φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z時，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函數對稱軸方程由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求得對稱中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得單調性遞增區(qū)間由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求得；遞減區(qū)間由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)求得思考：求函數y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間應注意什么？[提示]對于y＝Asin(ωx＋φ)的單調性而言，A與ω的正負影響單調性，如果ω<0，可以利用誘導公式sin(－α)＝－sinα將負號轉化到函數符號外，再求相應單調區(qū)間．1．函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1的最大值是()A．1 B．2C．3 D．4C[當2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)時，即x＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)時最大值為3.]2．函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期是()A．eq\f(π,2) B．πC．2π D．4πB[由T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.故選B.]3．在下列區(qū)間中，使y＝sinx為增函數的是()A．[0，π] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．[π，2π]C[因為函數y＝sinx的單調遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，故當k＝0時，即為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故選C.]4．函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖像的對稱軸方程是_______________．x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z[由x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)解得x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.]函數y＝Asin(ωx＋φ)的最值問題【例1】求下列函數的最大值、最小值，以及取得最大值、最小值時相應x的集合．(1)y＝－3sin2x；(2)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))－3(ω＞0)，最小正周期是π.[解](1)函數y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.令z＝2x，使函數y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝－\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))))，則2x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，解得x＝－eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.因此使函數y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).同理，使函數y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).(2)由T＝eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－3，則函數f(x)的最大值為2－3＝－1，此時2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則x＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，即自變量x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))；函數f(x)的最小值為－2－3＝－5，此時2x＋eq\f(π,6)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，則x＝kπ－eq\f(π,3)，k∈Z，即自變量x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z)))).求函數y＝Asinωx＋φ，x∈[m，n]的值域的步驟：1換元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范圍；2作出y＝sinu注意u的取值范圍的圖像；3結合圖像求出值域.1．求函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,6)))的最大值和最小值．[解]∵－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6)，∴0≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，∴0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1.∴當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1時，ymax＝2；當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝0時，ymin＝0.函數y＝Asin(ωx＋φ)的單調性【例2】求函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的遞增區(qū)間．[解]∵y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，∴函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的遞增區(qū)間就是函數u＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的遞減區(qū)間．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．得2kπ＋eq\f(3π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)，∴函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的遞增區(qū)間為：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,4)，2kπ＋\f(7π,4)))(k∈Z)．1．由已知條件確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式時，應注意利用函數的性質確定它的參數．2．求函數y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，常視ωx＋φ為一個整體，通過y＝sinx的單調區(qū)間，求得函數的單調區(qū)間．當x的系數為負時，可用誘導公式將其化為正，再求單調區(qū)間．2．求函數y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的單調區(qū)間．[解]y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，由kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,2)＜x＜2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，∴函數y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的單調遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)，無單調遞增區(qū)間．函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的綜合應用[探究問題]1．函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱中心和對稱軸各有什么特點？[提示]對稱中心為圖像與x軸的交點；對稱軸為過其圖像最高點或最低點與x軸垂直的直線．2．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω是常數，且ω>0)，若f(x)是偶函數，則φ等于什么？若f(x)是奇函數，則φ等于什么？[提示]f(x)是偶函數?f(0)＝±1?φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，f(x)是奇函數?f(0)＝0?φ＝kπ，k∈Z.3．函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像關于點(x0,0)成中心對稱意味著什么？[提示]意味著圖像過點(x0,0)，即Asin(ωx0＋φ)＝0.【例3】已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數，其圖像關于點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))對稱，且在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是單調函數，求φ和ω的值．[思路探究]根據對稱軸，對稱中心的特征建立方程求解．[解]由f(x)是偶函數，得f(－x)＝f(x)，即函數f(x)的圖像關于y軸對稱，∴f(x)在x＝0時取得最值，即sinφ＝±1.依題知0≤φ≤π，解得φ＝eq\f(π,2).由f(x)的圖像關于點M對稱，可知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，即eq\f(3π,4)ω＋eq\f(π,2)＝kπ，k∈Z，解得ω＝eq\f(4k,3)－eq\f(2,3)，k∈Z.又f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是單調函數，∴T≥π，即eq\f(2π,ω)≥π，∴ω≤2.又ω>0，∴當k＝1時，ω＝eq\f(2,3)；當k＝2時，ω＝2，∴φ＝eq\f(π,2)，ω＝2或ω＝eq\f(2,3).1．若將例3中的條件變?yōu)椤昂瘮祔＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最大值為2，相鄰的最高點與最底點的橫坐標之差為3π，且過點(0，eq\r(2))”，試求函數的解析式及單調增區(qū)間．[解]∵函數y＝Asin(ωx＋φ)的最大值為2，其相鄰的最高點與最低點橫坐標之差為3π，∴A＝2，eq\f(T,2)＝3π，∴eq\f(2π,ω)＝6π，∴ω＝eq\f(1,3)，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋φ)).又∵函數圖像過點(0，eq\r(2))，0<φ<eq\f(π,2)，∴2sinφ＝eq\r(2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴函數解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,4))).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(1,3)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(9,4)π＋6kπ≤x≤eq\f(3,4)π＋6kπ(k∈Z)，∴單調增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)π＋6kπ，\f(3,4)π＋6kπ)).2．將例3中的條件變?yōu)椤昂瘮礷(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝f(x)”，試求φ的值并求出函數的單調增區(qū)間．[解](1)∵x＝eq\f(π,8)是函數f(x)＝sin(2x＋φ)的一條對稱軸，∴2×eq\f(π,8)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∵－π<φ<0，由此可得φ＝－eq\f(3π,4).(2)由題意，得2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)，k∈Z，∴函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))，k∈Z.函數y＝Asinωx＋φ＋b的性質的應用1應用范圍：函數的單調性、最值、奇偶性、圖像的對稱性等方面.2解決的方法：求函數y＝Asinωx＋φ＋b的周期、單調區(qū)間、最值、對稱軸或對稱中心問題，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sinu的相應性質順利解決.1．對于y＝Asin(ωx＋φ)，其奇偶性可由φ決定，φ取不同值可得不同的奇偶性．2．求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，要注意ω的正負．3．y＝Asin(ωx＋φ)的對稱中心實質上是其圖像與x軸的交點，對稱軸即過最高點或最低點且與x軸垂直的直線.1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈R的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).()(2)函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(1,12)))的周期為4π.()(3)函數y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，x∈R是偶函數．()(4)函數y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈R的一條對稱軸為x＝eq\f(π,6).()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的最小正周期是π，且f(0)＝eq\r(3)，則()A．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)B．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3)C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2，φ＝eq\f(π,3)D[因為函數f(x)的最小正周期是π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.因為f(0)＝2sinφ＝eq\r(3)，所以sinφ＝eq\f(\r(3),2).又因為|φ|＜