圓錐曲線-高考剖析及2022年高考數(shù)學(xué)備考指南原卷版

2021年高考“圓錐曲線”分析及2022年備考建議目錄TOC\o"13"\h\z\u一、考查內(nèi)容分析 21、考查特點(diǎn)分析 22、試題的三大變化 3二、命題思路分析 31.“低起點(diǎn)”考查基礎(chǔ)性，突出圓錐曲線的幾何本質(zhì) 32.“多層次”考查綜合性，突出圓錐曲線的多元聯(lián)系 53.“多模型”考查應(yīng)用性，突出圓錐曲線的育人價值 74.“高落差”考查創(chuàng)新性，突出圓錐曲線的豐富內(nèi)涵 10復(fù)習(xí)備考建議 121、深化特征，注重回歸教材內(nèi)容的教學(xué) 122、類化解法，注重建構(gòu)知識體系的引導(dǎo). 12

2021年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題分析及備考建議2021年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分以標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)為載體,貫徹“低起點(diǎn)、寬入口、多層次、高落差”的命題原則,突出對學(xué)生必備知識、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的全面考查,對今后的課堂教學(xué)和復(fù)習(xí)備考都起到了積極的引導(dǎo)作用.本文通過對2021年圓錐曲線真題分析,總結(jié)考查特點(diǎn),為今后的高考復(fù)習(xí)備考提出建議。一、考查內(nèi)容分析2021年各份高考數(shù)學(xué)試卷均重視數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出了對必備知識、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查.各份試卷中涉及圓錐曲線的試題，題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，命題立意鮮明，主要考查基礎(chǔ)題和中檔題，綜合考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及位置關(guān)系下對有關(guān)幾何性質(zhì)的研究，涉及距離問題、范圍問題、面積問題、最值問題、定點(diǎn)定值問題等，通常是與平面向量、數(shù)列、函數(shù)與方程等知識的綜合應(yīng)用.1、考查特點(diǎn)分析2021年各份高考數(shù)學(xué)試卷中涉及圓錐曲線內(nèi)容的試題，與往年相比，在題型、題量和分值比例上差距不大，體現(xiàn)了對主干內(nèi)容考查的穩(wěn)定性、統(tǒng)一性和連貫性。高考試卷考查結(jié)構(gòu)命題方式試卷名稱題號題量分值比例統(tǒng)一命題全國甲卷（文）5,16,2132214.7%全國甲卷（理）5,15,2032214.7%全國乙卷（文）11,14,2032214.7%全國乙卷（理）11,13,2132214.7%全國新高考I卷5,14,2132214.7%全國新高考n卷3,13,2032214.7%自主命題浙江卷9,16,2132516.7%北京卷5,12,2032416.0%上海卷11,2022013.3%天津卷8,1822013.3%從表中可以看出：2021年高考數(shù)學(xué)對圓錐曲線的考查呈現(xiàn)如下三個特點(diǎn).①題型結(jié)構(gòu)相對穩(wěn)定.從題型、題量和分值比例方面來看，各份試卷均采用兼顧客觀題和主觀題的做法，分值在20~25分之間.其中，題量與分值最少的上海卷和天津卷，都是一道客觀題和一道主觀題，分值為20分，占全卷總分值的13.3%；分值最高的是浙江卷，為25分，占全卷總分值的16.7%，其次是北京卷，為24分，占全卷總分值的16.0%；6份全國卷均為兩道客觀題加一道主觀題的組合形式，分值均為22分，占全卷總分值的14.7%.②幾何直觀相對突出.2021年各份高考數(shù)學(xué)試卷的考查仍以數(shù)形結(jié)合的思想方法、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)為主，以函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論和從特殊到一般的思想方法，以及邏輯推理素養(yǎng)等為輔.而數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在如何把圓錐曲線的幾何特征簡化為代數(shù)運(yùn)算上。③試題難度相對提升.2021年高考數(shù)學(xué)試題在整體難度穩(wěn)中有降的前提下，適當(dāng)提升了對圓錐曲線內(nèi)容的考查難度.與往年相比，2021年高考數(shù)學(xué)試卷中，將涉及圓錐曲線與方程的試題作為壓軸題的有兩份，其余8份試卷中，圓錐曲線與方程試題均出現(xiàn)在解答題倒數(shù)第2題或第3題的位置上.試題位置的后移，體現(xiàn)了圓錐曲線與方程試題難度的相對提升.2、試題的三大變化1°考點(diǎn)、題型常規(guī)變化.一般是兩道客觀題和一道主觀題，題型相對穩(wěn)定、分值相對固定，變化的主要是命題素材、核心考點(diǎn)，以及對思想方法和學(xué)科素養(yǎng)的考查方式，主要以曲線方程、幾何性質(zhì)和位置關(guān)系為載體，基本上是在距離問題、范圍問題、面積問題、最值問題、定點(diǎn)定值問題等典型問題情境上做文章.2°曲線類型交替變化.通常是橢圓、雙曲線、拋物線三類曲線輪轉(zhuǎn)變化、交替出現(xiàn).3°問題情境動態(tài)變化.往往是利用一般問題特殊化、動態(tài)問題靜態(tài)化等方式，通過定點(diǎn)、定值等問題展現(xiàn)解析幾何動靜相宜的本質(zhì)特征.二、命題思路分析2021年高考圓錐曲線試題，緊扣《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求，全面考查圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，充分體現(xiàn)對基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，有效發(fā)揮了圓錐曲線與方程試題的甄別功能.具體命題思路和命題意圖主要表現(xiàn)在如下“四個突出”上.1.“低起點(diǎn)”考查基礎(chǔ)性，突出圓錐曲線的幾何本質(zhì)根據(jù)前面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析，2021年的大多數(shù)高考數(shù)學(xué)試卷都在選擇題1~5題和填空題11~15題的位置上設(shè)計(jì)圓錐曲線與方程的相關(guān)試題，并且都采用“起點(diǎn)低、寬入口”的命題策略，著重考查解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本方法，面向全體學(xué)生，讓不同層次的學(xué)生都有獲得感.例1、(全國新高考卷)已知是橢圓:的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)在上,則的最大值為().(A)13 (B)12 (C)9 (D)6 改編題：已知橢圓的上、下兩個焦點(diǎn)為，．是橢圓上任意一點(diǎn)，已知橢圓的上頂點(diǎn)為,下頂點(diǎn)為．左頂點(diǎn)為．右頂點(diǎn)為．若點(diǎn)為的中點(diǎn)．則的最大值A(chǔ)． B． C． D．例2、(全國新高考II卷13)已知雙曲線的離心率,則雙曲線的漸近線方程為。改編題：已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．例3、(全國甲卷文理15)已知為橢圓的兩個焦點(diǎn),為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),且,則四邊形的面積為。改編題：過橢圓左焦點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是A． B． C． D．2.“多層次”考查綜合性，突出圓錐曲線的多元聯(lián)系從圓錐曲線內(nèi)容選擇的角度來看，綜合性要求以定義、方程和性質(zhì)相互關(guān)聯(lián)的活動組成的復(fù)雜情境為載體，能夠反映圓錐曲線核心知識和關(guān)鍵能力的整合及其綜合運(yùn)用.“多層次”體現(xiàn)為既在試題的難度設(shè)計(jì)上有層次性，又在思維的靈活性和深刻性上發(fā)揮區(qū)分功能.特別是由于圓錐曲線數(shù)與形結(jié)合的獨(dú)特性和廣泛的應(yīng)用性，使其與其他數(shù)學(xué)知識和跨學(xué)科知識形成了多元聯(lián)系.例4、（2021?浙江）已知橢圓，焦點(diǎn)，，．若過的直線和圓相切，與橢圓的第一象限交于點(diǎn)，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是．改編題：已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為．例5、(全國新高考II卷)已知橢圓,右焦點(diǎn)為,且離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn),直線與曲線相切.證明:三點(diǎn)共線的充要條件是.

改編題：已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，且離心率為．（1）求橢圓的方程：（2）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，證明：，，三點(diǎn)共線．例6、(上海卷20)如圖1,已知橢圓是其左、右焦點(diǎn),直線過點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn),且在軸上方,點(diǎn)在線段上.(1)若是上頂點(diǎn),,求的值;(2)若,且原點(diǎn)到直線的距離為,求直線的方程;(3)求證：對于任意,使得的直線有且僅有一條.

改編題：已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（3）設(shè)，是直線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，問：直線與的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請說明你的理由．3.“多模型”考查應(yīng)用性，突出圓錐曲線的育人價值圓錐曲線的圖形美、對稱美和簡潔美無處不在，其內(nèi)容中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化素材，因此教學(xué)時要充分挖掘這些數(shù)學(xué)文化元素，引導(dǎo)學(xué)生弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，真正做到以史育人、以美化人.2021年高考涉及圓錐曲線與方程的試題，多處體現(xiàn)圖形之美，以及試題背后深刻的文化背景.例如，全國新高考Ⅰ卷第21題考查的實(shí)質(zhì)為四點(diǎn)共圓的結(jié)論，全國乙卷理科第21題的圖形來源于“阿基米德三角形”，全國甲卷理科第20題則以“彭賽列閉合定理”為背景展開研究，這些都充分體現(xiàn)了圓錐曲線的育人價值.例7、(全國乙卷理21)已知拋物線的焦點(diǎn)為,且與圓均與圓相切.(1)求;2）若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.改編題：設(shè)斜率不為零的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）求的面積的最大值．例8、(全國甲卷文理20）拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,直線交于兩點(diǎn),且.已知點(diǎn),且圓與相切.(1)求,圓的方程;(2)設(shè)是上的三個點(diǎn),直線判斷直線與圓的位置關(guān)系,并上點(diǎn)的距離的最小值為.說明理由.

改編題：已知橢圓的兩焦點(diǎn)，分別為，橢圓上的動點(diǎn)滿足，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）若直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，求證：，，，四點(diǎn)共圓．例9、（浙江卷·21）如圖3，已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且|MF|=2.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若斜率為2的直線l與直線MA，MB，AB，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且滿足|RN|2=|PN||QN|，求直線l在x軸上截距的范圍

改編題：已知圓，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．（1）若點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)且斜率分別為，的兩條直線與（1）中的軌跡分別交于點(diǎn)、，、，并滿足，求的值．4.“高落差”考查創(chuàng)新性，突出圓錐曲線的豐富內(nèi)涵本專題試題在解答題的設(shè)計(jì)上重視了難度和思維的層次性，體現(xiàn)了解題方法的多樣性，給學(xué)生提供了多種分析問題和解決問題的途徑.同時，命題注重挖掘圓錐曲線的深刻背景和豐富內(nèi)涵，在設(shè)問方式上堅(jiān)持開放創(chuàng)新，考查學(xué)生即學(xué)、知學(xué)和善學(xué)的創(chuàng)新能力.例10、（全國新高考I卷）在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),點(diǎn)滿足.記點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程;(2)設(shè)點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)的兩條直線分別交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn),且.,求直線的斜率與直線的斜率之和.

改編題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足．記的軌跡為．（1）求的方程；（2）點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求證：為定值．改編題：在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過點(diǎn)作垂直于的直線，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）若直線的傾斜角為，過作兩條直線分別交于，和，兩點(diǎn)，且平分，求證：為定值．

復(fù)習(xí)備考建議根據(jù)以上對2021年圓錐曲線和方程相關(guān)試題的命題分析，針對解析幾何實(shí)際教學(xué)和高考數(shù)學(xué)評卷過程中普遍存在的問題，現(xiàn)對本專題教學(xué)，給出如下“四化、四重”的復(fù)習(xí)備考建議.1、深化特征，注重回歸教材內(nèi)容的教學(xué)在教學(xué)中，尊重學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律，擺脫概念的死記硬背、題型的機(jī)械訓(xùn)練，讓學(xué)生在嘗試和體驗(yàn)中加深領(lǐng)會.不能舍本逐末，需要端正態(tài)度，回歸教材內(nèi)容，認(rèn)真研究教材中涉及的概念、定理、基本思想和基本方法，注意深入挖掘題目隱含的幾何特征，遵循從教材中來到高考中去的原則，打通教材與高考的通道.正如前面對全國新高考Ⅰ卷第21題的分析，如果學(xué)生把教材上的例題學(xué)懂、弄通，對問題的本質(zhì)進(jìn)行探究，高考面對此類問題時就會水到渠成.2、類化解法，注重建構(gòu)知識體系的引導(dǎo).在高三第一輪復(fù)習(xí)中，一般都是先進(jìn)行基礎(chǔ)知識和基本方法的梳理，然后回顧幾道典型的例題，接著就是題型套路的訓(xùn)練.這樣單調(diào)乏味的知識羅列和例題講解容易導(dǎo)致學(xué)生興趣不濃、激情不高.因此，在注重幾何本質(zhì)的基礎(chǔ)上，要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思維訓(xùn)練，促使學(xué)生養(yǎng)成一題多解、多法歸一和類化解法的習(xí)慣；尤其要注意增強(qiáng)解一題、會一類、通一片的類化意識.要以問題情境為載體，將學(xué)生探究活動線、知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)線、思想方法蘊(yùn)含線有機(jī)融為一體，在精心設(shè)計(jì)的問題串的有效驅(qū)動下，讓學(xué)生在問題探究與解決的過程中實(shí)現(xiàn)知識的歸納與概括、思想方法的總結(jié)與提煉、知識脈絡(luò)的連接與梳理，進(jìn)而形成較為完備的知識網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)真正意義上知識體系的有效建構(gòu)，使學(xué)生達(dá)到“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的境界.強(qiáng)化運(yùn)算，注重運(yùn)算求解能力的提升運(yùn)算是解析幾何的基本功.圓錐曲線的教學(xué)，首先，要掌握好解決各種典型問題（如線段長、面積法、弦中點(diǎn)、三點(diǎn)共線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等）的通性、通法，特別是要善于挖掘坐標(biāo)法解題的幾何特征與代數(shù)特征.其次，要逐步提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力，要在明晰圓錐曲線運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，依據(jù)合理設(shè)點(diǎn)、恰當(dāng)設(shè)線