專題06任意角弧度制任意角三角函數(shù)同角關(guān)系誘導(dǎo)公式兩角和與差（原卷版）

專題06任意角、弧度制、任意角三角函數(shù)、同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差一、思維方法二、查缺補(bǔ)漏考點(diǎn)一：角的概念及其表示考點(diǎn)二：弧度制及其應(yīng)用考點(diǎn)三：求三角函數(shù)值考點(diǎn)四：由三角函數(shù)值求參數(shù)考點(diǎn)五：三角函數(shù)值的符號考點(diǎn)六：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用考點(diǎn)七：切弦互化考點(diǎn)八：sinα±cosα與sinαcosα的轉(zhuǎn)化考點(diǎn)九：同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)十：和差角公式的基本應(yīng)用考點(diǎn)十一：和差角公式的逆用及變形考點(diǎn)十二：和差角的變換三、真題訓(xùn)練2021年真題2022年真題四、熱點(diǎn)預(yù)測單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題【思維方法】1.確定nα，eq\f(α,n)(n∈N*)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出nα或eq\f(α,n)的范圍，然后根據(jù)n的可能取值討論確定nα或eq\f(α,n)的終邊所在位置(也可采用等分象限角的方法).2.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.3.應(yīng)用弧度制解決問題時(shí)應(yīng)注意：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.4.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.5.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.6.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.7.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.8.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.(2)形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切.9.注意公式的逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.10.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.11.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.12.用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f(π,6)－θ與eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等.14.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.15.使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.16.運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.17.求角的三角函數(shù)值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.18.常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等.【查缺補(bǔ)漏】【考點(diǎn)一】角的概念及其表示【典例1】(多選題)已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)的終邊所在的象限可能是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【典例2】下列與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【典例3】終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為________________.【考點(diǎn)二】弧度制及其應(yīng)用【典例1】已知扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長為l.①若α＝100°，r＝2，求扇形的面積；②若扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)．【典例2】將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)【典例3】若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C．3 D.eq\r(3)【考點(diǎn)三】求三角函數(shù)值【典例1】若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，則cosθ的值為________．【典例2】已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα等于()A.－eq\f(\r(3),3) B.±eq\f(\r(3),3) C.－eq\f(3,2) D.±eq\f(3,2)【典例3】已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，則cosα＝________，tanα＝________.【考點(diǎn)四】由三角函數(shù)值求參數(shù)【典例1】已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)【考點(diǎn)五】三角函數(shù)值的符號【典例1】(多選題)(2021·重慶調(diào)研)已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，則角eq\f(θ,2)的終邊可能在()A.第二、四象限 B.第一、三象限C.y軸上 D.x軸上【典例2】若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【典例3】已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若A(－1，y)是角θ終邊上的一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)，則y＝________.【考點(diǎn)六】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【典例1】化簡eq\f(cos（π＋α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α)),cos（π－α）sin（－π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的結(jié)果是()A.－1 B.1 C.tanα D.－tanα【典例2】已知α為銳角，且eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))，則角α＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)【典例3】sin613°＋cos1063°＋tan(－30°)的值為________.【考點(diǎn)七】切弦互化【典例1】已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，則sinα等于()A.eq\f(15,17) B.－eq\f(15,17) C.eq\f(8,17) D.－eq\f(8,17)【典例2】已知曲線f(x)＝eq\f(2,3)x3在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為α，則eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝()A.eq\f(1,2) B.2 C.eq\f(3,5) D.－eq\f(3,8)【考點(diǎn)八】sinα±cosα與sinαcosα的轉(zhuǎn)化【典例1】若sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，則sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A.－eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(2),3) C.－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)【典例2】已知α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，則tan(π＋α)等于()A.－eq\f(5,13) B.eq\f(5,13) C.－eq\f(12,5) D.eq\f(12,5)【典例3】(多選題)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，則下列結(jié)論正確的是()A.θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B.cosθ＝－eq\f(3,5)C.tanθ＝－eq\f(3,4) D.sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)【考點(diǎn)九】同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【典例1】已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，則sinα＝()A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(5),9)【典例2】已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.【典例3】已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________.【考點(diǎn)十】和差角公式的基本應(yīng)用【典例1】已知cosα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.－eq\f(\r(2),10) B.eq\f(\r(2),10) C.－eq\f(7\r(2),10) D.eq\f(7\r(2),10)【典例2】已知角α，β的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若角α，β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(2,3)))，其中x1<0<x2，則cos(2α－β)＝________.【典例3】已知2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7，則tan2θ＝________.【考點(diǎn)十一】和差角公式的逆用及變形【典例1】eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)的值為________.【典例2】若α＋β＝－eq\f(3π,4)，則(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.【典例3】已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________.【考點(diǎn)十二】和差角的變換【典例1】已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則β等于()A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【典例2】已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.【典例3】若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))＝eq\f(1,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝________.【真題訓(xùn)練】1.（2021?新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，則＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．2.（2021?甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，則tanα＝（）A． B． C． D．3.（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，則（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣14.（2022?浙江）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，則sinα＝，cos2β＝．5.（2022?上海）若tanα＝3，則tan（α+）＝．【熱點(diǎn)預(yù)測】【單選題】1.(多選題)下列四個(gè)命題正確的是()A.－eq\f(3π,4)是第二象限角 B.eq\f(4π,3)是第三象限角C.－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角2.已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈(0，π)，則tanα的值等于()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)3.已知α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，則sin2α＝()A.－eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10) C.－eq\f(3,5) D.eq\f(3,5)4.在平面直角坐標(biāo)系中，若角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則sinα＝()A.－eq\f(\r(3),2) B.－eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,2)5.已知tan(α－π)＝eq\f(3,4)，且α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，則sin(α＋eq\f(π,2))等于()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)6.已知taneq\f(α,2)＝3，則eq\f(sinα,1－cosα)＝()A.3 B.eq\f(1,3) C.－3 D.－eq\f(1,3)7.已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2017)的值為()A．－1 B．1C．3 D．－38.若角α的終邊落在第三象限，則eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值為()A．3 B．－3C．1 D．－19.設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角10.若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)11.已知sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(2),2)12.(多選題)下列說法正確的是()A.時(shí)鐘經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是60°B.鈍角大于銳角C.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第一或第三象限角13.(多選題)已知扇形的周長是6，面積是2，下列選項(xiàng)可能正確