創(chuàng)新型問題解題策略

【考情分析】新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生對(duì)“新穎的信息、情景和設(shè)問選擇有效的方法和手段收集與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和探究，提出力立意，推出了一批新穎而又別致，具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的新題。從最近幾探索性問題和創(chuàng)新題型比重逐年攀升，對(duì)探索性問題和創(chuàng)新型問題的預(yù)測(cè)研究應(yīng)考的重點(diǎn)。預(yù)測(cè)12年高考探索性問題重點(diǎn)出在函數(shù)、客觀題設(shè)置較為靈活。今年高考多會(huì)結(jié)合合情推理知識(shí)點(diǎn)出探索性問題（特別是解答題），應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這些內(nèi)容的研究；創(chuàng)新題型多出現(xiàn)與經(jīng)濟(jì)、生活密切相關(guān)（像概的數(shù)學(xué)問題相關(guān)的問題有關(guān)，題目新穎，數(shù)學(xué)知識(shí)并不復(fù)雜。關(guān)注以下兩種類型：類比歸納型創(chuàng)新題給出了一個(gè)數(shù)學(xué)情景或一個(gè)數(shù)學(xué)命題，要求用發(fā)散思維去聯(lián)想、類比、推廣、轉(zhuǎn)化，找出類似的命題，或者根據(jù)一些特殊的數(shù)據(jù)、特殊的情況的能力，從不變中找規(guī)律，從不變中找變化。創(chuàng)新題是指以學(xué)生已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，并給出一定容量的新信息，通有關(guān)信息，捕捉解題資料，發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，找出解決問題的方法，并應(yīng)用于【知識(shí)交匯】常見的探索性問題，就其命題特點(diǎn)考慮，可分為歸納型、題設(shè)開放型、結(jié)論開放型、題設(shè)和結(jié)論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題；（1）結(jié)論開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件下，探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論；（2）題設(shè)開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給的前提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對(duì)整個(gè)問題而言只要是充分的、相容的、獨(dú)立的，就視為正確的；（3）全開放型，題設(shè)、結(jié)論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時(shí)題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進(jìn)行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來。解探索性問題應(yīng)注意三個(gè)基本問題:認(rèn)真審題,確定目標(biāo)；深刻理解題意;開闊思路,發(fā)散思維，運(yùn)用觀察、比較、類比、聯(lián)想、猜想等帶有非邏輯思維成分的合理推理,以便為邏輯思維分的交織融合,便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略。解決探索性問題，對(duì)觀察、聯(lián)想、類比、猜測(cè)、抽象、概括諸方面有較高要求，高考題（1）直接法：直接從給出的結(jié)論入手，尋求成立的充分條件；直接從給出的條件入手，（2）觀察——猜測(cè)——證明（3）特殊—一般—特殊其解法是先根據(jù)若干個(gè)特殊值，得到一般的結(jié)論，然后再用特殊值解決問題；（5）賦值推斷幾何意義法就是利用探索性問題的題設(shè)所給的數(shù)或式的幾何意義去探索結(jié)論，由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象性，有些探索性問題的題設(shè)表述不易理解，在解題時(shí)若能積極地考慮題設(shè)中數(shù)或式的幾何意義所體現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，巧妙地轉(zhuǎn)換思維角度，將有利于問題的解決；根據(jù)現(xiàn)行的教學(xué)大綱和國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容及我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展的要求，在實(shí)際問題中側(cè)重如下幾種模型：表的運(yùn)用；數(shù)據(jù)的利用、分析與預(yù)測(cè)（線形回歸、曲線擬合）等問題；（3）優(yōu)化模型科學(xué)規(guī)劃，勞動(dòng)力利用，工期效益，合理施肥，最值問題，資調(diào)用等問題；（4）概率統(tǒng)計(jì)模型彩票與模型，市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，評(píng)估預(yù)測(cè)，風(fēng)險(xiǎn)決策，抽樣估計(jì)等問題；（5）幾何應(yīng)用模型工廠選址，展開、折疊，視圖，容器設(shè)計(jì)用等；（6）邊緣學(xué)科模型與理、化、生、地、醫(yī)等相關(guān)方面的問題?！舅枷敕椒ā坷?2011年山東理11）設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若A，A4在同一條直線上,因?yàn)镃,D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,所以A,B,C,D四點(diǎn)在同一直線上,且(A)（0,6+2）(C)(6-2,6+2） (D)（0,22）【答案】A【命題立意】本題考查了學(xué)生的空間想象能力以及靈活運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力?！窘馕觥扛鶕?jù)條件，四根長(zhǎng)為2的直鐵條與兩根長(zhǎng)為a的直鐵條要組成三棱鏡形2a2a2-1 <2+3，即再利用射影的概念，得到正確的結(jié)論。f(x)有最大值，且f(1)>.（1）求函數(shù)f(x)的解析式2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，并且分析：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問解析1）Ⅰf(x)是奇函數(shù)，Ⅰf(–x)=－f(x)，即，Ⅰ-bx+c=－bx–c，Ⅰc=0，Ⅰ.由a＞0，b是自然數(shù)得當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)≤0，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0，Ⅰf(x)的最大值在x＞0時(shí)取得.把Ⅰ代入Ⅰ得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又bⅠN,Ⅰb=1,a=1,Ⅰf解之，得x0=1±點(diǎn)坐標(biāo)為(1+,)或(1-,-)，點(diǎn)評(píng)：充分利用題設(shè)條件是解題關(guān)鍵.本題是存在型探索題目，注意在假設(shè)存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定的結(jié)論，并加以論證。bn**（1）求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，又是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)；2kS4n4n22。列。（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加以證明.nSn+1C，解析1）3C1q2（2）歸納概括的結(jié)論為：則：1CS2C3CS4CnSn+1C【分析】歸納總結(jié)時(shí)，看等號(hào)左邊是子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，然后歸納出一般數(shù)的個(gè)數(shù)是2n-1；等式右邊都是完全平方數(shù)，所以n+(n+1)+L+[n+(2n-1)-1]=(2n-1)2，即n+(n+1)+L+(3n-2)=(2n-1)2【答案】n+(n+1)+L+(3n-2)=(2n-1)2例7．設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cⅠR,a≠0)滿足條件：Ⅰ當(dāng)xⅠR時(shí)，f(x－4)=f(2－x)，且f(x)≥x；Ⅰ當(dāng)xⅠ(0,2)時(shí)，f(x)≤()2；Ⅰf(x)在R上的最小值為0。求最大值m(m>1)，使得存在tⅠR，只要xⅠ[1令x=m求出m的取值范圍，進(jìn)而根解法一：Ⅰf(x-4)=f(2-x)，Ⅰ函數(shù)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱Ⅰ-=-1即b=2a由Ⅰ得f(1)≥1，由Ⅰ得f(1)≤1。Ⅰf(1)=1，即a+b+c=1，假設(shè)存在tⅠR，只要xⅠ[1,m]，就有f(x+t)≤x，→1-t-≤m≤1-t+Ⅰm≤1-tⅠm的最大值為9。解法二：Ⅰf(x-4)=f(2-x)，Ⅰ函數(shù)的圖象關(guān)于x=－1對(duì)稱，Ⅰ-=-1，b=2a。由Ⅰ得f(1)≥1，由Ⅰ得f(1)≤1。由2≤x在xⅠ上恒成立Ⅰ4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0當(dāng)xⅠ[1,m]時(shí)，恒成立；2+2(m+1)t+(m-1)2≤0當(dāng)tⅠ[-4,0]時(shí)，恒有解；即當(dāng)4時(shí)，任取xⅠ恒有fⅠmmin=9。例82011年湖北理，15）給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相連的著色方案如下圖所示：由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相連的著色方案共有種，至少有兩個(gè)黑色正解析：當(dāng)n=6時(shí)，如果沒有黑色正方形有1種方案，當(dāng)有1個(gè)黑色正方形時(shí)，案，當(dāng)有兩個(gè)黑色正方形時(shí)，采用插空法，即兩個(gè)黑色正方形插入四個(gè)白色正方形形成的534個(gè)空內(nèi)，有C=10種方案，當(dāng)有三個(gè)黑色正方形時(shí)，同上方法有34=4種方案，由圖可知不種方案，本問所求事件為第一問事件的對(duì)立事件，故至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列組合、計(jì)數(shù)原理等內(nèi)容例92010陜西文，11）觀察下列等式：13＋231＋2）2，13＋23＋331＋2＋3）23＋23＋33＋431＋2＋3＋4）2，?,根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等 f(-5)+f(-4)+f(-3)+L+f(0)+L+f(5)+f(6)的值是。分析：利用f可求f(-5)+f(-4)+f(-3)+L+f(0)+L+f(5)+f(6) 例112011年江西文，10）如圖，一個(gè)“凸輪”放置于直角坐標(biāo)系X軸上方，其“底端”三段等弧組成.下放置，應(yīng)大致為()答案：A根據(jù)中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低與最高中間的位置，而是稍微偏上，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)，M的位置會(huì)先變高，當(dāng)C到底時(shí)，M最高，排除CD選項(xiàng)，而對(duì)于最高點(diǎn)，當(dāng)M最高時(shí)，最高點(diǎn)的高度應(yīng)該與例12.（2004年高考江蘇卷）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(xⅠR)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x01234y6006則不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,-2)I(3,+∞)。C={(x,y)|y＝kx+b}，問是否存在自然數(shù)k,b使（AⅠB）∩C=φ?分析：此題等價(jià)于是否存在自然數(shù)k，b，使得直線y＝kx+b與拋物線y2―x―1=0和點(diǎn)評(píng)：與集合運(yùn)算有關(guān)的一類探索性問題，它的題設(shè)往往都具有鮮明的幾何意義。輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研(Ⅰ)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;(Ⅰ)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/每小時(shí)）f(x)=x.v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時(shí)）解：(□)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=60；當(dāng)20≤x≤200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b再由已知得解得(□)依題意并由可得f當(dāng)0≤x≤20時(shí),f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí)，其最大值為60×20=1200；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x，即x=100時(shí)，等號(hào)成立。綜上，當(dāng)x=100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0，200]上取得最大值≈3333。即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)。們制定一系列相關(guān)政策的基礎(chǔ).由人口統(tǒng)計(jì)年鑒，可查得我國(guó)料如下：年年(2)用回歸直線作為其擬合模型,為便于計(jì)算,可將數(shù)據(jù)適當(dāng)簡(jiǎn)化,再據(jù)之和.7125a＋225b=22186(3)預(yù)測(cè)：根據(jù)上述模型，當(dāng)x=50(即2005例16優(yōu)化問題2007年四川理9文11）某公司有60萬(wàn)元資利潤(rùn)，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤(rùn)為()（A）36萬(wàn)元（B）31.2萬(wàn)元（C）30.4萬(wàn)元（D）24萬(wàn)元最大利潤(rùn)31.2萬(wàn)元．因?yàn)閷?duì)乙項(xiàng)目投資獲利較大，故小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍）盡可能多地安排資金投資于乙項(xiàng)目，即對(duì)項(xiàng)目甲的投資等于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍時(shí)可獲最大利潤(rùn)．這是最優(yōu)解法。也劃在高考中以應(yīng)用題型的形式出現(xiàn)。例17概率模型2011年重慶文，17）某市公租房的房源位于A、B、C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，求該（I）沒有人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；（II）每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)的概率。解：這是等可能性事件的概率計(jì)算問題。（II）所有可能的申請(qǐng)方式有34種，而“每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)”的申請(qǐng)方式有CCC(或CC)種.P(B)===(或P(B)==).【思維總結(jié)】隨著以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育的深入發(fā)展和新課程