2024-2025學年重慶市江北區(qū)高二上學期10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學年重慶市江北區(qū)高二上學期10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題注意事項1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.答非選擇題時?必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一?單選題（本大題共8個小題，每題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.已知點，動點滿足，則動點軌跡是（）A.射線 B.線段C.雙曲線的一支 D.雙曲線2.已知兩直線和，若，則（）A. B. C. D.3.橢圓的一條弦經(jīng)過左焦點，右焦點記為.若的周長為8，且弦長的最小值為3，則橢圓的焦距（）A.2 B.1 C. D.4.的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，若，則（）A. B.C.或 D.無解5.阿基米德在其著作《關(guān)于圓錐體和球體》中給出了一個計算橢圓面積的方法：橢圓半長軸的長度?半短軸的長度和圓周率三者的乘積為該橢圓的面積.已知橢圓的面積為，兩焦點為和，直線與橢圓交于兩點.若，則橢圓的半短軸的長度（）A.5 B.4 C.6 D.26.過定點的直線與拋物線交于兩點，的值為（）A. B.5 C. D.47.焦點在軸上的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，過點的直線與雙曲線交于兩點，若線段的中點是，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.8.已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段的中垂線經(jīng)過.記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二?多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知是空間內(nèi)兩條不同的直線，是空間內(nèi)兩個不同的平面，則下列命題為假命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則10.設(shè)雙曲線的左焦點為，右焦點為，點在的右支上，且不與的頂點重合，則下列命題中正確的是（）A.若且，則雙曲線的兩條漸近線的方程是B.若，則的面積等于C.若點的坐標為，則雙曲線的離心率大于3D.以為直徑的圓與以的實軸為直徑的圓外切11.兩個圓錐的母線長度均為，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，分別用和表示兩個圓錐的底面圓半徑?表面積?體積，則正確的有（）A.B.最小值為C.為定值D.若，則三?填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)為正實數(shù)，若直線被圓所截得的弦長為，則__________.13.已知橢圓的焦點分別為，，且是拋物線焦點，若P是與的交點，且，則的值為___________.14.已知點在圓上，動圓與圓內(nèi)切并與直線相切，圓心為，則PC最小值為______.四?解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，正明過程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求內(nèi)角；（2）若為邊上的中點，求線段的長.16.如圖，在直三棱柱中，，上一點，為中點，為中點，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，準線為.過拋物線上一點作，垂足為點.已知是邊長為4的等邊三角形.（1）求拋物線的方程；（2）如圖，拋物線上有兩點位于軸同側(cè)，且直線和直線的傾斜角互補.求證：直線恒過定點，并求出點的坐標.18已知雙曲線，點，坐標原點.（1）直線經(jīng)過點A，與的兩條漸近線分別交于點.若面積為，求直線的方程；（2）如圖，直線交雙曲線的右支于不同兩點.若，求實數(shù)的取值范圍.19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為和，焦距為2.動點在橢圓（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，過原點作的兩條切線，分別與橢圓交于點和點，直線的斜率分別記為.當點在橢圓上運動時，①證明：恒為定值，并求出這個值；②求四邊形面積的最大值.2024-2025學年重慶市江北區(qū)高二上學期10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題注意事項1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.答非選擇題時?必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一?單選題（本大題共8個小題，每題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.已知點，動點滿足，則動點的軌跡是（）A.射線 B.線段C.雙曲線的一支 D.雙曲線【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，計算A，B之間的距離，比較可得，由雙曲線的定義分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，點，則，若動點P滿足，且，則P的軌跡是以A，B為焦點雙曲線的右支，故選：C.2.已知兩直線和，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用兩直線平行的充要條件，列出關(guān)于的方程，即可得到答案.【詳解】因為，所以，且，解得.故選：A.3.橢圓的一條弦經(jīng)過左焦點，右焦點記為.若的周長為8，且弦長的最小值為3，則橢圓的焦距（）A.2 B.1 C. D.【正確答案】A【分析】借助橢圓的定義及通徑概念列出等式即可求解.【詳解】由的周長為8，可得，即，由弦長AB的最小值為3，通徑長為3，即，所以，所以，即，所以橢圓的焦距為2.故選：A.4.的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，若，則（）A. B.C.或 D.無解【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理列出方程求解即得.【詳解】在中，因，于是由余弦定理得：，即，解得或.故選：C5.阿基米德在其著作《關(guān)于圓錐體和球體》中給出了一個計算橢圓面積的方法：橢圓半長軸的長度?半短軸的長度和圓周率三者的乘積為該橢圓的面積.已知橢圓的面積為，兩焦點為和，直線與橢圓交于兩點.若，則橢圓的半短軸的長度（）A.5 B.4 C.6 D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，可得，由橢圓對稱性結(jié)合已知可得，求解可得橢圓的短半軸長.【詳解】因為橢圓C:x2a2+y2b因為過原點，結(jié)合橢圓對稱性，可得線段，被原點互相平分，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以由橢圓的定義得，解得，所以，解得，所以橢圓的短半軸長為.故選：D.6.過定點的直線與拋物線交于兩點，的值為（）A B.5 C. D.4【正確答案】B【分析】設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)，從而求得的值.【詳解】依題意可知直線與軸不重合、與軸不平行，設(shè)直線的方程為，由，消去并化簡得，，解得，設(shè)Ax1則，，所以.故選：B7.焦點在軸上的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，過點的直線與雙曲線交于兩點，若線段的中點是，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y【詳解】設(shè)Ax1,y1因為，兩式相減可得，整理可得，即，可得，即雙曲線的漸近線方程為，設(shè)雙曲線的方程為，則，所以雙曲線的離心率為.故選：D.8.已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段的中垂線經(jīng)過.記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可得，結(jié)合橢圓和雙曲線的定義得到的關(guān)系式，根據(jù)取值范圍分析函數(shù)單調(diào)性得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，它們的公共焦距為，不妨設(shè)點在第一象限.∵在的中垂線上，∴，由橢圓、雙曲線的定義得：，∴，整理得，∴，即，∴，∴，令，由定義法可證在為增函數(shù)，且，∵，∴.故選：B.二?多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知是空間內(nèi)兩條不同直線，是空間內(nèi)兩個不同的平面，則下列命題為假命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【正確答案】BD【分析】根據(jù)空間線線，線面，面面的位置關(guān)系判斷.【詳解】對于A，因為是兩個不同的平面，是兩個不同的直線，，則，故A為真命題；對于B，若，則與可能平行，相交，異面，故B為假命題；對于C，若，則，故C為真命題；對于D，若，則與可能平行，相交，故D為假命題.故選：BD.10.設(shè)雙曲線的左焦點為，右焦點為，點在的右支上，且不與的頂點重合，則下列命題中正確的是（）A.若且，則雙曲線的兩條漸近線的方程是B.若，則的面積等于C.若點的坐標為，則雙曲線的離心率大于3D.以為直徑的圓與以的實軸為直徑的圓外切【正確答案】BCD【分析】將且，帶入方程求解漸近線方程即可判斷A；，結(jié)合雙曲線的定義求解即可判斷B；把點坐標代入的方程，然后計算離心率的取值范圍即可判斷C；畫圖，兩圓的圓心距是的中位線，兩圓的半徑之和，故兩圓外切，即可判斷D.【詳解】當且時，的漸近線斜率為，選項A錯誤；，故選項B正確；把點坐標代入的方程得：，選項C正確；如圖，兩圓的圓心距是的中位線，兩圓的半徑之和，故兩圓外切，選項D正確.故選：BCD11.兩個圓錐的母線長度均為，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，分別用和表示兩個圓錐的底面圓半徑?表面積?體積，則正確的有（）A.B.的最小值為C.為定值D.若，則【正確答案】ABD【分析】由“它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓”為解題關(guān)鍵點，A選項利用側(cè)面展開圖的圓心角和為得到結(jié)論；B選項由面積公式以及A選項結(jié)論得到結(jié)論；C選項由體積公式得出代數(shù)式，由特殊值結(jié)論不同得到不為定值；D選項將條件代入C選項中體積公式即可得到比值.【詳解】A：由得，故A對.B：，故B對.C：，如，與時值不同，故不為定值，C錯D：，故D對.故選：ABD.三?填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)為正實數(shù)，若直線被圓所截得的弦長為，則__________.【正確答案】【分析】借助圓心到直線距離、半徑及弦長的關(guān)系計算即可得.【詳解】的圓心為，半徑為，圓心到的距離為，所以，因為，解得.故13.已知橢圓的焦點分別為，，且是拋物線焦點，若P是與的交點，且，則的值為___________.【正確答案】【分析】利用橢圓定義求出，再借助拋物線的定義結(jié)合幾何圖形計算作答.【詳解】依題意，由橢圓定義得，而，則，因點是拋物線的焦點，則該拋物線的準線l過點，如圖，過點P作于點Q，由拋物線定義知，而，則，所以.故14.已知點在圓上，動圓與圓內(nèi)切并與直線相切，圓心為，則PC的最小值為______.【正確答案】##【分析】根據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合拋物線的定義確定C的軌跡，計算即可.【詳解】如圖，設(shè)圓的半徑為，則；又到的距離為，則到的距離為.所以C的軌跡是以O(shè)為焦點，以為準線的拋物線，頂點為，則四?解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，正明過程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求內(nèi)角；（2）若為邊上的中點，求線段的長.【正確答案】（1）2π（2）【分析】（1）結(jié)合已知利用余弦定理求解即可；（2）結(jié)合三角形面積公式求得，然后由平方，利用數(shù)量積的運算求解．【小問1詳解】由已知條件，即，由余弦定理可得，因為，從而.【小問2詳解】因為，由，解得，因為為邊上的中點，所以，平方得：，所以.16.如圖，在直三棱柱中，，為上一點，為中點，為中點，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）結(jié)合題目條件建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，根據(jù)直線的方向向量與平面法向量垂直證明線面平行.（2）求直線的方向向量和平面的法向量，利用公式求線面所成角的正弦值.【小問1詳解】以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，設(shè)，得，∴.由，得，故∵面的一個法向量，且，平面，∴面.【小問2詳解】由（1）知設(shè)面的法向量為n=x,y,z由，令得，設(shè)直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.17.在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，準線為.過拋物線上一點作，垂足為點.已知是邊長為4的等邊三角形.（1）求拋物線的方程；（2）如圖，拋物線上有兩點位于軸同側(cè)，且直線和直線的傾斜角互補.求證：直線恒過定點，并求出點的坐標.【正確答案】（1）（2）證明見解析，【分析】（1）記準線與軸交于點，在中，求出焦準距，即可求解拋物線方程.（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，韋達定理，根據(jù)傾斜角互補即斜率之和為0，化簡求得，即可得解.【小問1詳解】如圖，記準線與軸交于點，在中，，所以.故拋物線.【小問2詳解】因為垂直于軸的直線與拋物線僅有一個公共點，所以必有斜率，設(shè)，由且，因為位于軸同側(cè)，所以，則，由得，所以，又點F0,1，直線和的傾斜角互補，所以，所以，所以，即，解得，所以直線恒過定點.18.已知雙曲線，點，坐標原點.（1）直線經(jīng)過點A，與的兩條漸近線分別交于點.若面積為，求直線的方程；（2）如圖，直線交雙曲線的右支于不同兩點.若，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求漸近線方程，進而求點的坐標，可得，結(jié)合面積公式運算求解；（2）分析可知線段的中垂線經(jīng)過A點，設(shè)設(shè)的中點為，利用點差法可得，結(jié)合點與雙曲線的位置關(guān)系運算求解即可.【小問1詳解】對于雙曲線，可知，且焦點在x軸上，則雙曲線的漸近線為，且直線的斜率為，傾斜角為，設(shè)，聯(lián)立方程，解得，即，可得，同理可得，則解得，所以直線的方程為.【小問2詳解