2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期10月六校聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期10月六校聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.3 D.52.設(shè)為實數(shù)，已知直線，若，則（）A.6 B. C.6或 D.或33.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為6，則實數(shù)等于（）A. B. C.12 D.4.已知，則（）A. B. C. D.35.設(shè)直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（）A. B. C.1 D.6.已知為直線上的動點，點滿足，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.7.如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有純凈水，，圖1中水面高度恰好為棱臺高度的，圖2中水面高度為棱臺高度的，若圖1和圖2中純凈水的體積分別為，則（）A. B. C. D.8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，過且垂直于軸的直線與的一個交點為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.國慶期間，某校開展“弘揚中華傳統(tǒng)文化，傳承中華文明”主題活動知識競賽.賽前為了解學(xué)生的備賽情況，組織對高一年級和高二年級學(xué)生的抽樣測試，測試成績數(shù)據(jù)處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（）A.B.高一年級抽測成績的眾數(shù)為75C.高二年級抽測成績的70百分位數(shù)為87D.估計高一年級學(xué)生成績的平均分低于高二年級學(xué)生成績的平均分10.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C若，，，則 D.若，，，則11.已知圓C：，以下四個命題表述正確的是（）A.若圓與圓C恰有3條公切線，則B.圓與圓C的公共弦所在直線為C.直線與圓C恒有兩個公共點D.點為軸上一個動點，過點作圓C的兩條切線，切點分別為，且的中點為，若定點，則的最大值為6三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.從分別寫有的五張卡片中任取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為______.13.已知為橢圓上的點，，則線段長度的最小值為__________.14.已知，點是直線上的動點，若恒成立，則正整數(shù)的最小值是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長.16.如圖，圓柱中，是一條母線，是底面一條直徑，是的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角余弦值.17.某校為了厚植文化自信?增強學(xué)生愛國情懷，特舉辦“中國詩詞精髓”知識競賽活動，比賽中只有兩道題目，比賽按先題后題的答題順序各答1次，答對題得2分，答對題得3分，答錯得0分.已知學(xué)生甲答對題的概率為，答對題的概率為，其中，學(xué)生乙答對題的概率為，答對題的概率為，且甲乙各自在答兩題的結(jié)果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為，得3分的概率為.（1）求的值；（2）求比賽后，甲乙總得分不低于8分的概率.18.已知圓過點，圓心直線上，且直線與圓相切.（1）求圓的方程；（2）過點的直線交圓于兩點.若為線段的中點，求直線的方程.19.已知橢圓離心率為分別為橢圓的左?右頂點，?分別為橢圓的左?右焦點，.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)與軸不垂直的直線交橢圓于兩點（在軸的兩側(cè)），記直線，的斜率分別為.（i）求的值；（ii）若，問直線是否過定點，若過定點，求出定點；若不過定點，說明理由.2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期10月六校聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.3 D.5【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可求解.【詳解】由題意知，，所以.故選：B2.設(shè)為實數(shù)，已知直線，若，則（）A.6 B. C.6或 D.或3【正確答案】A【分析】由兩條直線的一般式方程平行的條件求解即可.【詳解】因為，所以，解得：或.當(dāng)時，，平行；當(dāng)時，，可判斷此時重合，舍去.故選：A3.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為6，則實數(shù)等于（）A. B. C.12 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以，即實數(shù)的值為12.故選：C4.已知，則（）A B. C. D.3【正確答案】B【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式和同角的商關(guān)系可得，結(jié)合兩角和的正切公式計算即可求解.【詳解】由，得，即，所以.故選：B5.設(shè)直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】利用三角形的面積公式可得，由圓心到直線的距離，再利用點線距公式建立方程，解之即可.【詳解】由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式得，解得.故選：C6.已知為直線上的動點，點滿足，則點的軌跡方程為（）A. B.C D.【正確答案】C【分析】由點坐標(biāo)，得到坐標(biāo)，代入直線方程即可.【詳解】設(shè)點，因為，所以，代入直線方程可得：，化簡可得.所以的軌跡方程為.故選：C7.如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有純凈水，，圖1中水面高度恰好為棱臺高度的，圖2中水面高度為棱臺高度的，若圖1和圖2中純凈水的體積分別為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)棱臺的體積公式，求出，即可解出.【詳解】設(shè)四棱臺的高度為h，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為5，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為6，則，所以.故選：D.8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，過且垂直于軸的直線與的一個交點為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓C的離心率為（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出點的坐標(biāo)，再求出切線與直線的斜率，列式求解即可.【詳解】依題意，，由代入橢圓方程得，不妨設(shè)，則切線，即，切線的斜率，直線的斜率，則，所以.故選：C二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.國慶期間，某校開展“弘揚中華傳統(tǒng)文化，傳承中華文明”主題活動知識競賽.賽前為了解學(xué)生的備賽情況，組織對高一年級和高二年級學(xué)生的抽樣測試，測試成績數(shù)據(jù)處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（）A.B.高一年級抽測成績的眾數(shù)為75C.高二年級抽測成績的70百分位數(shù)為87D.估計高一年級學(xué)生成績的平均分低于高二年級學(xué)生成績的平均分【正確答案】ABD【分析】根據(jù)頻率分步直方圖?樣本的數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識判斷即可．【詳解】對于A：由，解得，正確；對于B：由頻率分布直方圖可知高一年級抽測成績的眾數(shù)為75，正確；對于C：因為，由，，所以70百分位數(shù)是，故錯誤；對于D：高一年學(xué)生成績的平均數(shù)約為分；高二年學(xué)生成績的平均數(shù)約為分，因為，故正確；故選：ABD10.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【正確答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用空間線線、線面、面面垂直或平行關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】對于A，由，得存在過直線的平面與平交，令交線為，則，而，，則，，因此，A正確；對于B，由，，，得是平行直線或異面直線，B錯誤；對于C，由，得存在過直線的平面與平交，令交線為，則，由，得，又，則，因此，C正確；對于D，，，，當(dāng)都平行于的交線時，，D錯誤.故選：AC11.已知圓C：，以下四個命題表述正確的是（）A.若圓與圓C恰有3條公切線，則B.圓與圓C的公共弦所在直線為C.直線與圓C恒有兩個公共點D.點為軸上一個動點，過點作圓C的兩條切線，切點分別為，且的中點為，若定點，則的最大值為6【正確答案】BCD【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可判斷A；由兩圓方程相減即為兩圓公共弦所在直線方程，即可判斷B；求出直線所過定點坐標(biāo)，得到定點在圓內(nèi)，故直線與圓M恒有兩個公共點，即可判斷C；易知直線AB恒過定點，由得出點M的軌跡，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系計算即可判斷D.【詳解】A：由題意得：的圓心為，半徑為，該圓與圓有3條公切線，則兩圓外切，所以，解得，故A錯誤；B：兩圓的圓心分別為，半徑分別為和2，則，所以兩圓相交，與相減得：，故圓與圓C的公共弦所在直線為，故B正確；C：變形為，令，解得，即直線恒過點，由于，點在圓M內(nèi)，所以與圓M恒有兩個公共點，故C正確；D：如圖，圓，半徑為2，則圓C與y軸相切，切點為原點，即為，易知直線恒過點，又為的中點，則，所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓心為，半徑為1，又，所以的最大值為，故D正確.故選：BCD關(guān)鍵點點睛：本題D選項的關(guān)鍵點在于直線AB恒過定點，由得出點M的軌跡為圓.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.從分別寫有的五張卡片中任取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為______.【正確答案】##【分析】由古典概型概率計算公式直接求解.【詳解】從五張卡片中任取兩張共有，兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)有，共4種，所以概率.故13.已知為橢圓上的點，，則線段長度的最小值為__________.【正確答案】##【分析】記線段的長度為，表達的函數(shù)，利用,；，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值．【詳解】設(shè)，記線段的長度為，是橢圓上任意一點，設(shè),,,所以：．由于，故時，有最小值，且的最小值，故14.已知，點是直線上的動點，若恒成立，則正整數(shù)的最小值是__________.【正確答案】4【分析】求出直線AC的方程，設(shè).由，列不等式，利用判別式法求出t的范圍，即可求解.【詳解】由題意知直線AC的方程為.因為點D是直線上的動點，所以可設(shè).因為，所以，化簡得：對任意x恒成立,所以，化簡得,解得或，結(jié)合t為正整數(shù)得：t的最小值為4.故4四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）根據(jù)二倍角公式，結(jié)合正弦定理邊角互化，即可求解，（2）根據(jù)面積公式可得的值，結(jié)合余弦定理即可求解.【小問1詳解】因為，所以.根據(jù)正弦定理，得，因為，所以.又，所以.【小問2詳解】在中，由已知，因為由余弦定理可得，即7，即，又,所以.所以的周長周長為.16.如圖，圓柱中，是一條母線，是底面一條直徑，是的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）.【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得又，結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理即可證明；（2）如圖，確定是二面角的平面角，利用定義法求解即可.【小問1詳解】因為是一條母線，所以平面，而平面則因為是底面一條直徑，C是的中點，所以，即，又平面且，所以平面，而平面，則平面平面.【小問2詳解】設(shè)，則，因為C是的中點，為底面圓心，所以平面，作，交于點連接，由可知，是二面角的平面角.則，即，在直角中，.所以.故二面角的余弦值為.17.某校為了厚植文化自信?增強學(xué)生的愛國情懷，特舉辦“中國詩詞精髓”知識競賽活動，比賽中只有兩道題目，比賽按先題后題的答題順序各答1次，答對題得2分，答對題得3分，答錯得0分.已知學(xué)生甲答對題的概率為，答對題的概率為，其中，學(xué)生乙答對題的概率為，答對題的概率為，且甲乙各自在答兩題的結(jié)果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為，得3分的概率為.（1）求的值；（2）求比賽后，甲乙總得分不低于8分的概率.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，從而得到不低于8分的事件為，再結(jié)合概率加法、乘法公式即可求解.【小問1詳解】由題意得，解得.【小問2詳解】比賽結(jié)束后，甲?乙個人得分可能為.記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，相互獨立，記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E，則，且彼此互斥.易得.，所以所以兩輪投籃后，甲總得分不低于8分的概率為.18.已知圓過點，圓心在直線上，且直線與圓相切.（1）求圓的方程；（2）過點的直線交圓于兩點.若為線段的中點，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）