《2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質》導學案

《2.3.2雙曲線的簡單幾何性質》導學案課題：2.3.2雙曲線的簡單幾何性質班級：姓名：【學習目標】1、能說出雙曲線的簡單幾何性質，像范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等，就像你能說出自己好朋友的特點一樣清楚。2、會根據(jù)雙曲線的標準方程求出它的幾何性質，這就好比根據(jù)一個人的外貌特征能判斷出他的一些習慣一樣。3、能夠運用雙曲線的幾何性質解決一些簡單的問題，就像用鑰匙開鎖一樣自然?！局攸c和難點】重點：1、雙曲線的幾何性質，這是我們這節(jié)課要掌握的核心內容，就像一場比賽的關鍵得分點。2、雙曲線的漸近線概念的理解和求法，這可是有點難度的地方哦，就像爬山時比較陡峭的那一段路。難點：1、漸近線概念的理解，這就像理解一種很抽象的藝術概念一樣，需要多花點心思。2、運用雙曲線的幾何性質解決問題，就像把不同的拼圖塊組合成一幅完整的圖，需要一些技巧。【創(chuàng)設情境】我給你們講個真實的事兒啊。有一次我去一個建筑工地上參觀，看到了那種高高的塔吊。你們看啊，塔吊的起重臂和平衡臂就有點像雙曲線的形狀。從遠處看，它們好像無限延伸，但又不會相交，這就有點像雙曲線的漸近線的感覺。那大家想一想，在數(shù)學里，雙曲線是不是也有類似這種很神奇的性質呢？1、先回憶一下橢圓的幾何性質有哪些，比如說范圍、對稱性、頂點之類的。這就像是復習一下之前走過的路，為探索雙曲線的性質做準備。2、我們來看雙曲線的標準方程＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1（a>0，b>0），大家猜猜看，這個方程能告訴我們雙曲線的哪些幾何信息呢？【合作探究】活動一：探究雙曲線的范圍1、對于雙曲線方程＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1，我們來討論一下x和y的取值范圍。大家可以這樣想，假如你要在一個坐標平面上找到這個雙曲線的所有點，x和y能取哪些值呢？提示：從方程本身出發(fā)，比如對于x，當y＝0的時候，x是多少呢？當y取很大的值或者很小的值的時候，x又會怎樣呢？2、總結一下雙曲線的范圍性質，就像把找到的寶藏整理到一個盒子里一樣。活動二：探究雙曲線的對稱性1、大家看看雙曲線的方程，想象一下把這個雙曲線在坐標平面上進行一些變換。如果把x換成x，方程會怎樣？把y換成y呢？同時把x換成x，y換成y呢？這就像給雙曲線照鏡子一樣，看看它有沒有什么特殊的對稱關系。啟發(fā)性問題：在我們的生活中，有哪些東西是具有對稱性的呢？這種對稱性和雙曲線的對稱性有什么相似之處或者不同之處呢？2、得出雙曲線的對稱性結論，并且和橢圓的對稱性做個對比，看看有什么相同和不同的地方。活動三：探究雙曲線的頂點1、在雙曲線方程＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1中，當y＝0的時候，x的值是多少呢？這就是雙曲線的頂點的橫坐標哦。那頂點有幾個呢？它們在雙曲線的什么位置呢？提示：可以畫個簡單的草圖，在草圖上標記出可能的頂點位置。2、確定雙曲線的頂點坐標，并且思考頂點對于描述雙曲線形狀有什么重要的意義?；顒铀模禾骄侩p曲線的漸近線1、這可是個有點難的部分哦。我們先從直觀上感受一下漸近線。還是回到我們前面說的塔吊的例子，塔吊的起重臂和平衡臂雖然不會相交，但是好像有一個趨勢朝著某個方向延伸。對于雙曲線＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1，我們來試著找出這樣的“趨勢線”。方法：我們可以先令雙曲線方程中的右邊等于0，得到＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝0，然后解這個方程，看看得到的是什么？啟發(fā)性問題：這個解出來的結果和雙曲線的形狀有什么內在的聯(lián)系呢？為什么它會被叫做漸近線呢？2、總結漸近線的方程，并且理解漸近線對于描述雙曲線的重要性。比如說，漸近線可以幫助我們更好地畫出雙曲線的大致形狀，就像給畫家的一個草圖框架一樣?；顒游澹禾骄侩p曲線的離心率1、我們知道橢圓有離心率，雙曲線也有離心率哦。那雙曲線的離心率e怎么定義呢？e＝＼frac{c}｛a}（c是雙曲線的半焦距），那這個離心率能反映雙曲線的什么特性呢？提示：可以從a、c的大小關系以及雙曲線的形狀變化來思考。2、討論離心率的取值范圍，并且思考當離心率變化的時候，雙曲線的形狀會發(fā)生怎樣的變化。就像調整一個機器的參數(shù)，看看機器的運行狀態(tài)會有什么不同?！镜湫屠}】例1：求雙曲線＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率。1、對于范圍：按照我們之前探究的方法，從方程中分析x和y的取值范圍。解答：對于x，因為＼frac{x^｛2}｝｛16}＝1＋＼frac{y^｛2}｝｛9}＼geq1，所以x≥4或者x≤4；對于y，可以取任意實數(shù)。2、對稱性：根據(jù)雙曲線方程的特點，判斷關于x軸、y軸和原點的對稱情況。解答：因為把x換成x，方程不變，把y換成y，方程也不變，同時把x換成x，y換成y方程還是不變，所以雙曲線關于x軸、y軸和原點對稱。3、頂點：當y＝0時，求出x的值，確定頂點坐標。解答：當y＝0時，＼frac{x^｛2}｝｛16}＝1，解得x＝±4，所以頂點坐標為(4,0)和(4,0)。4、漸近線：按照漸近線的求法，先令方程右邊為0，然后求解。解答：令＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝0，即＼frac{y}｛x}＝＼pm＼frac{3}｛4}，所以漸近線方程為y＝±＼frac{3}｛4}x。5、離心率：先求出c的值（根據(jù)c^｛2}＝a^｛2}＋b^｛2}），然后計算離心率e。解答：因為a＝4，b＝3，所以c＝＼sqrt{16＋9}＝5，離心率e＝＼frac{c}｛a}＝＼frac{5}｛4}。例2：已知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，且經過點(1,3)，求雙曲線的標準方程。1、分析：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，所以我們可以設雙曲線的方程為x^｛2}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝＼lambda（＼lambda＼neq0)。啟發(fā)性問題：為什么可以這樣設方程呢？這和漸近線方程有什么聯(lián)系呢？2、求解：把點(1,3)代入所設方程，求出λ的值。解答：把(1,3)代入方程x^｛2}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝＼lambda，得到1＼frac{9}｛4}＝＼lambda，解得＼lambda＝＼frac{5}｛4}，所以雙曲線的標準方程為＼frac{y^｛2}｝｛5}＼frac{4x^｛2}｝｛5}＝1。練習：課本上相關的練習題，大家認真做哦，就像運動員在賽場上認真比賽一樣。【當堂反饋】1、雙曲線＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1的漸近線方程是（）A.y＝±＼frac{3}｛4}xB.y＝±＼frac{4}｛3}xC.y＝±＼frac{9}｛16}xD.y＝±＼frac{16}｛9}x2、雙曲線的離心率e＝2，實軸長為4，則雙曲線的標準方程為（）A.＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛12}＝1B.＼frac{x^｛2}｝｛12}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝1C.以上都有可能D.無法確定3、已知雙曲線＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1（a>0，b>0）的一條漸近線方程為y＝＼frac{1}｛2}x，則該雙曲線的離心率為（）A.＼frac{＼sqrt{5}｝｛2}B.＼sqrt{5}C.＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}D.＼sqrt{3}4、雙曲線的頂點坐標為(±3,0)，漸近線方程為y＝±＼frac{2}｛3}x，則雙曲線的標準方程為（）A.＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝1B.＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1C.＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝1D.＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝15、求雙曲線＼frac{x^｛2}｝｛25}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1的離心率、頂點坐標、漸近線方程。6、已知雙曲線的離心率為＼sqrt{3}，虛軸長為8，求雙曲線的標準方程?！菊n堂小結】1、我們今天學習了雙曲線的哪些幾何性質呢？就像回顧一次旅行的景點一樣，把范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等性質都回憶一下。2、在探究這些性質的過程中，我們用到了哪些方法呢？是從方程出發(fā)進行分析，還是通過一些特殊的變換來得出結論的呢？3、對于雙曲線的漸近線概念，大家現(xiàn)在是不是理解得更深刻了呢？它對我們研究雙曲線的形狀和方程有什么重要的意義呢？【課后作業(yè)】基礎題：1、求雙曲線＼frac{x^｛2}｝｛12}＼frac{y^｛2}｝｛3}＝1的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率。2、已知雙曲線的漸近線方程為y＝±＼frac{1}｛3}x，且經過點(3,1)，求雙曲線的標準方程。提高題：1、雙曲線＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1（a>0，b>0）的離心率e＝＼frac{＼sqrt{5}｝｛2}，實軸長為4，求雙曲線的焦點坐標。2、設雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，實軸長為2，離心率為＼sqrt{5}，求雙曲線的方程以及漸近線方程。拓展提升：1、已知雙曲線＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}