微積分 第3版 課件 第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù)

8.1

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)8.1.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念給定一個(gè)常數(shù)列稱為(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù).記為即其中第

n項(xiàng)稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),或通項(xiàng).則表達(dá)式定義8.1級(jí)數(shù)的前n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.記為即則稱級(jí)數(shù)收斂,極限s稱為級(jí)數(shù)的和,則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.注:如果級(jí)數(shù)發(fā)散,只是形式上的和,無(wú)數(shù)值意義.如果部分和數(shù)列的極限不存在,稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然有當(dāng)n充分大時(shí),當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其部分和是級(jí)數(shù)和s的近似值.誤差為解例1討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))的收斂性,其中q叫做級(jí)數(shù)的公比.收斂;

發(fā)散;發(fā)散;

發(fā)散.級(jí)數(shù)變?yōu)?/p>

綜上所述重要結(jié)論:例公比為q的幾何級(jí)數(shù)的和解例2判定級(jí)數(shù)的斂散性.所以,該級(jí)數(shù)收斂,且其和為1.的部分和分別為

則于是證性質(zhì)1k是一常數(shù),所以,8.1.2收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)如果級(jí)數(shù)收斂于s,

并且其和為ks.則級(jí)數(shù)也收斂,

性質(zhì)2發(fā)散.收斂,發(fā)散,均發(fā)散,斂散性不確定.證極限的性質(zhì)即證.級(jí)數(shù)的部分和如果級(jí)數(shù)都收斂,

性質(zhì)3添加或去掉有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證則注意:收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.收斂發(fā)散推論

如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.證性質(zhì)5

(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)若級(jí)數(shù)

收斂,則例如,所以(1)級(jí)數(shù)收斂的必要條件,常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)必要條件不是充分條件.如調(diào)和級(jí)數(shù)(2)也可用于驗(yàn)證級(jí)列極限的為“0”;但級(jí)數(shù)是否收斂?

發(fā)散注意:例如,發(fā)散重要結(jié)論:所以,級(jí)數(shù)發(fā)散.這是不可能的,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂,其和為s.于是因有練習(xí)判別級(jí)數(shù)的斂散性.若

則級(jí)數(shù)發(fā)散.解題思路:解由于所以,該級(jí)數(shù)發(fā)散.則稱該級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).8.2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法由單調(diào)有界數(shù)列必有極限,

可得下面重要定理.顯然,正項(xiàng)級(jí)數(shù)部分和數(shù)列單調(diào)增加.定理8.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)它的部分和數(shù)列有界.8.2

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法定理8.2(比較審斂法)證即部分和數(shù)列有界,則收斂;(1)若收斂,(2)若發(fā)散,所以

收斂.且則發(fā)散.(2)

用反證法

若收斂,則由(1)可知也收斂,矛盾.故發(fā)散.解p-級(jí)數(shù)的部分和為由調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,例1討論p-級(jí)數(shù)的斂散性(常數(shù)p>0).證明部分和數(shù)列有上界,有

發(fā)散.從而收斂.

等比數(shù)列

而重要參考級(jí)數(shù):

幾何級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù),

調(diào)和級(jí)數(shù).通常取是斂散性已知的級(jí)數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn),用于判斷的收斂性.重要結(jié)果:例2

討論下列級(jí)數(shù)的斂散性:解

(1)因由比較審斂法,級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.(2)因

由比較審斂法,級(jí)數(shù)(2)收斂.定理8.3(p—級(jí)數(shù)審斂法)解(1)因故級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.例3討論下列級(jí)數(shù)的斂散性:(2)因故,級(jí)數(shù)(2)收斂.故,級(jí)數(shù)(4)收斂.(3)因(4)因故,級(jí)數(shù)(3)發(fā)散.定理8.4(達(dá)朗貝爾比值審斂法)

(1)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂;設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(2)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.證有即故原級(jí)數(shù)收斂.所以,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).注意:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.2.若用比值判別法判定級(jí)數(shù)發(fā)散注:級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un不趨于零.1.適用于或關(guān)于n的若干連乘積(或商)形式.例如,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂3.條件是充分的,而非必要的.例如,所以,級(jí)數(shù)所以,不存在.解因例4判別級(jí)數(shù)的斂散性.故,原級(jí)數(shù)收斂.例5判別級(jí)數(shù)的斂散性.解當(dāng)0<a<1時(shí),收斂;當(dāng)a>1時(shí),發(fā)散;當(dāng)

a=1時(shí),原級(jí)數(shù)為收斂.正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).8.2.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理8.5(萊布尼茲定理)則級(jí)數(shù)收斂,即形如如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:分析:證證畢例如,都是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù).也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù).余項(xiàng)注:比較un與un+1大小的方法有三種:(1)比值法,

??(3)由un找出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)考察?(2)差值法,

用萊布尼茨定理判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)是否收斂時(shí),要考察un與un+1大小.使得解所以,交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.例6

判別級(jí)數(shù)

的斂散性.及交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件例如,均條件收斂;定義

若

收斂,則稱

為絕對(duì)收斂;而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).8.2.3絕對(duì)收斂與條件收斂任意項(xiàng)級(jí)數(shù)思想:正項(xiàng)級(jí)數(shù)若

收斂,而

發(fā)散,則稱

為條件收斂.證又因注:

一個(gè)條件收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)的所有奇數(shù)項(xiàng)所成的級(jí)數(shù)是發(fā)散的,所有偶數(shù)項(xiàng)所成的級(jí)數(shù)也是發(fā)散的.定理8.6

若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù)一定收斂.通常先考查它若使用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂(這時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)將級(jí)數(shù)拆開(kāi)為如不是絕對(duì)收斂的,再看它是否條件收斂.便可斷言級(jí)數(shù)發(fā)散.萊布尼茨定理.然后討論斂散性也是常用手段.兩個(gè)級(jí)數(shù),討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性時(shí),是否絕對(duì)收斂(用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法),于零),

可用例7若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂?解原級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用萊布尼茲定理?xiàng)l件收斂.解由定理知,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例8

討論級(jí)數(shù)

的斂散性.練習(xí)解形如8.3.1冪級(jí)數(shù)及其收斂性稱為x的冪級(jí)數(shù).稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).簡(jiǎn)稱冪級(jí)數(shù).的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),稱為的冪級(jí)數(shù),8.3冪級(jí)數(shù)所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體，稱為收斂域,發(fā)散點(diǎn).定義

如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則稱為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),否則,稱為設(shè)冪級(jí)數(shù)的部分和為余項(xiàng)(x在收斂域上)(x∈D)定義

在收斂域D上,冪級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).則是公比為x的幾何級(jí)數(shù),在收斂域內(nèi),其和函數(shù)是發(fā)散域?yàn)槠涫諗坑驗(yàn)橥砝?級(jí)數(shù)設(shè)則考察冪級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)在絕對(duì)收斂；則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；則對(duì)于任意，級(jí)數(shù)都發(fā)散.即在的條件下，冪級(jí)數(shù)的收斂性只有三種情況：

(1)在都收斂；

(2)在某個(gè)區(qū)間收斂,而在發(fā)散;

(3)只在一點(diǎn)收斂.一般地，如果冪級(jí)數(shù)

在收斂,在上發(fā)散,則稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，稱為收斂區(qū)間.特別地，如果，則例1求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.解故發(fā)散;故收斂域?yàn)槭諗?解例2求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.收斂域?yàn)榻鈨H在x=0收斂.例3求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.所以,收斂半徑為解練習(xí)求冪級(jí)數(shù)

的收斂半徑與收斂域.原級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散.8.3.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的收斂半徑分別為R1和R2,取其中性質(zhì)2和函數(shù)且逐項(xiàng)求導(dǎo)后收斂半徑不變.并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式

性質(zhì)1和函數(shù)在收斂域上連續(xù).設(shè)性質(zhì)3和函數(shù)有逐項(xiàng)積分公式逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變.若注:冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變,

但是收斂域可能不同.解例4

求冪級(jí)數(shù)

的和函數(shù).解例5

求冪級(jí)數(shù)

的和函數(shù).解例6

求的收斂域及和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?則故練習(xí)求的收斂域與和函數(shù).解令收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí),收斂,當(dāng)時(shí),收斂,和函數(shù)為可得設(shè)上節(jié)的問(wèn)題是冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以

f(x)為和函數(shù).現(xiàn)在的問(wèn)題是反過(guò)來(lái),如果f(x)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.那么函數(shù)

f(x)應(yīng)當(dāng)具有什么性質(zhì)?8.4冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用8.4.1泰勒級(jí)數(shù)2.冪級(jí)數(shù)的系數(shù)怎樣計(jì)算?我們有

由于冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)無(wú)窮次可導(dǎo),即有任意階的導(dǎo)數(shù).因此,f(x)必然在此區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).將x

=

x0代入上面各式,即得定理8.7

如果函數(shù)

f(x)在

x0的某一鄰域定理的結(jié)論稱為冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性.于是,就證明了如下定理.內(nèi)可以展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù),則則稱冪級(jí)數(shù)如果函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處任意次可微,為

f(x)在點(diǎn)

x0處的泰勒級(jí)數(shù).為函數(shù)

f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).特別地,

當(dāng)x0=0時(shí),稱冪級(jí)數(shù)記為

在

x0的某一鄰域成立,如果點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式.

則稱上式函數(shù)是

f(x)在

x0定理8.17

如果函數(shù)

f(x)在

x0的某一鄰域內(nèi)有任意階的導(dǎo)數(shù).則其中

介于x與x0之間.的充分必要條件是

證(1)是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒中值定理;

(2)是收斂級(jí)數(shù)的定義.

1.直接展開(kāi)法求函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)的步驟:

(2)寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù)并求出收斂半徑R;8.4.2函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)(3)驗(yàn)證是否有

驗(yàn)證的方法有兩種:余項(xiàng)分析與和函數(shù)分析

(1)

求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)與它們?cè)谔幍闹?然后代入從而判斷是否有

和函數(shù)分析是求出和函數(shù)

余項(xiàng)分析是指,如果

則有

解其收斂半徑為例1將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).于是余項(xiàng)其中

介于0與x之間.余項(xiàng)分析對(duì)任一確定的是收斂級(jí)數(shù)

的一般項(xiàng).是確定的數(shù),而所以在

上恒有于是或于是則且解微分方程

得和函數(shù)分析解因例2將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).故其收斂半徑為故因所以其中

介于0與x之間.利用已知函數(shù)展開(kāi)式,2.間接展開(kāi)法根據(jù)展開(kāi)的唯一性,等方法,求展開(kāi)式.通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分的結(jié)果是一致的.它與直接展開(kāi)法得到例3將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).例4將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).解設(shè)利用有練習(xí)

將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).解而兩邊積分解例5將

展開(kāi)為

的冪級(jí)數(shù).f(x)=ln(1+x)在x

=1處連續(xù),且在x=1處收斂.練習(xí)

將解解由8.4.3冪級(jí)數(shù)在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用例6計(jì)算的近似值，要求誤差不超過(guò).令得取前項(xiàng)的和作為的近似值其誤差為故取解從而例7利用，求的近似值，并估計(jì)

誤差.在的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式中令得取它的前兩項(xiàng)之和作為近似值，其誤差為其誤差不超過(guò).

因此取解所以,原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.習(xí)題課例1

判別級(jí)數(shù)是否收斂,如果收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂.故,原級(jí)數(shù)條件收斂．由萊布尼茲定理:該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,有設(shè)因此,故,原級(jí)數(shù)發(fā)散.例2判斷級(jí)數(shù)的斂散性.解因收斂,發(fā)散,解而級(jí)數(shù)收斂,例3判斷級(jí)數(shù)的斂散性.例4討論級(jí)數(shù)的收斂性,其中常數(shù)具有相同的斂散性,時(shí),級(jí)數(shù)收斂，時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.解例5證明利用比值判別法證作正項(xiàng)級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù)收斂的必要條件,有所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂．例6試確定級(jí)數(shù)它收斂于且滿足

并問(wèn)它是絕對(duì)收斂還是條件收斂?解由

得所求級(jí)數(shù)是一個(gè)公比為的幾何級(jí)數(shù),再由得

故所求級(jí)數(shù)為該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例7設(shè)級(jí)數(shù)收斂,證明：收斂.

證因

而正項(xiàng)級(jí)數(shù)

與

均收斂.

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法：因此,絕對(duì)收斂,故收斂.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.解例8設(shè)級(jí)數(shù)C級(jí)數(shù)例9

證明級(jí)數(shù)

發(fā)散.證因故從而由級(jí)數(shù)收斂的必要條件,原級(jí)數(shù)發(fā)散.一、單項(xiàng)選擇題：1.若收斂,則下列級(jí)數(shù)收斂的是【