專題1-1集合（講練）

專題11集合一、知識梳理與二級結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】相等集合【題型二】判斷集合元素個數(shù)【題型三】元素個數(shù)與參數(shù)【題型四】子集與真子集【題型五】集合的子集求參數(shù)【題型六】集合的交集運算【題型七】交集運算求參數(shù)【題型八】集合的并集運算【題型九】并集運算求參數(shù)【題型十】補(bǔ)集與全集【題型十一】全集補(bǔ)集運算求參【題型十二】新定義三、高考真題對點練四、最新?？碱}組練知識梳理與二級結(jié)論一、集合的相關(guān)概念（1）集合元素的三個特性：互異、無序、確定性．（2）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為；不屬于，記為．（3）集合的四種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖法、符號法．二、并集的概念一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：（讀作“A并B”），即．用Venn圖表示如圖所示：由上述圖形可知，無論集合A，B是何種關(guān)系，恒有意義，圖中陰影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需滿足其中一個條件即可，這與生活中的“或”字含義不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．三、交集的概念一般地，由屬于且屬于的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作：（讀作“A交B”），即．用Venn圖表示如圖所示：（1）A與B相交（有公共元素）；（2），則；（3）A與B相離（）.注意：（1）交集概念中的“且”即“同時”的意思，兩個集合的交集中的元素必須同時是兩個集合的元素．（2）定義中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．四、補(bǔ)集的概念對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作，即．用Venn圖表示如圖所示：說明：（1）補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運算．求集合A的補(bǔ)集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念．（2）若，則或，二者必居其一．五、Venn圖的概念我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．說明：（1）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線．（2）Venn圖表示集合時，能夠直觀地表示集合間的關(guān)系，但集合元素的公共特征不明顯．六、子集、真子集及其性質(zhì)對任意的x∈A，都有x∈B，則AB(或BA)；若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，則AB(或BA)；A；AA；AB，BCAC.若集合A含有n個元素，則A的子集有個，A的非空子集有個，A的非空真子集有個．八、補(bǔ)集的性質(zhì)熱點考題歸納【題型一】相等集合【典例分析】1．（2023·高三模擬）已知集合，，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的表示，確定集合中的元素，能化簡的集合要化簡后對比【詳解】解：∵是單元素集，集合中的元素是，，，，集合中的元素是點，.∴.故選：D.2．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)集合的定義，依次分析選項即得.【詳解】對于A，兩個集合都為點集，與是不同點，故M、N為不同集合，故A錯誤；對于B，M是點集，N是數(shù)集，故M、N為不同集合，故B錯誤；對于C，M是數(shù)集，N是點集，故M、N為不同集合，故C錯誤；對于D，，，故M、N為同一集合，故D正確.故選：D.【提分秘籍】1.研究集合問題，要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性。2.研究兩（多個）集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。3.集合相等，是所屬元素相同，與順序無關(guān)（互異性），與形式無關(guān)（數(shù)集中與表示數(shù)的范圍的字母無關(guān)）【變式演練】1．（2023·高三模擬）設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】將分別代入（1）、（2）、（3）中，化簡并判斷與是否一一對應(yīng)，再舉反例判斷（4）.【詳解】對于（1），由，得，一一對應(yīng)，則對于（2），由，得，一一對應(yīng)，則對于（3），由，得，一一對應(yīng)，則對于（4），，但方程無解，則與不相同故選：B2．（2023·高三模擬）下列各組集合中，M與P表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】根據(jù)相同集合的判定方法，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項，與所含元素不同，故不是同一集合，A錯；B選項，與所含元素不同，故不是同一集合，B錯；C選項，集合表示點集，集合表示數(shù)集，故不是同一集合，C錯；D選項，兩集合均表示大于等于的全體實數(shù)，是同一集合，故D正確；故選：D【點睛】本題主要考查同一集合的判定，屬于基礎(chǔ)題型.3．（2023·高三模擬）與集合表示同一集合的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，即可得出結(jié)果.【詳解】由解得，所以.故選：D.【題型二】判斷集合元素個數(shù)【典例分析】1．（2022秋·山東·高三階段練習(xí)）已知集合有個真子集，集合有個真子集，那么的元素個數(shù)為（

）A．有個元素 B．至多有個元素C．至少有個元素 D．至多有10個元素【答案】B【分析】利用真子集的公式分別求出兩集合的元素的個數(shù)，然后分兩集合中的元素有個相等，個相等，互不相等三種情況討論兩集合并集元素的個數(shù)，得到正確答案即可．【詳解】解：根據(jù)真子集的公式解得；解得，所以集合中有個元素，集合中有個元素，當(dāng)集合與的元素互不相等時，的元素個數(shù)為個；當(dāng)集合與的元素有且只有一個相等時，的元素個數(shù)為個；當(dāng)集合與的元素有且只有兩個相等時，的元素個數(shù)為個；所以的元素個數(shù)可能為個，個，個，所以的元素個數(shù)至多有個元素．故選：B．2．（2022秋·北京海淀·高三海淀實驗中學(xué)階段練習(xí)）已知、、為實數(shù)，，，記集合，，則下列命題為真命題的是（

）A．若集合的元素個數(shù)為2，則集合的元素個數(shù)也一定為2B．若集合的元素個數(shù)為2，則集合的元素個數(shù)也一定為2C．若集合的元素個數(shù)為3，則集合的元素個數(shù)也一定為3D．若集合的元素個數(shù)為3，則集合的元素個數(shù)也一定為3【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判別式,結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式,先考慮當(dāng)集合的元素個數(shù)分別為2、3時,集合的元素個數(shù)情況；再考慮當(dāng)集合的元素個數(shù)分別為2、3時,集合的元素個數(shù)情況,最后選出正確答案.【詳解】選項A：當(dāng)時，集合的元素個數(shù)為2，此時,集合的元素個數(shù)為1,故本選項說法錯誤；選項B：當(dāng)時,集合的元素個數(shù)為2,此時，集合的元素個數(shù)為3，故本選項說法錯誤；選項C：當(dāng)時，集合的元素個數(shù)為3，此時,集合的元素個數(shù)為2,故本選項說法錯誤；選項D：若集合的元素個數(shù)為3，方程有三個不等實根,則有,在該條件下方程一定有這一個根，且不是的根，又，所以有兩個不等于的根，即集合的元素個數(shù)也一定為3.故選D【點睛】本題考查了通過方程根的情況求參數(shù)問題,考查了分類討論思想.【提分秘籍】集合中元素個數(shù)：1.點集多是圖像交點。2.數(shù)集，多涉及到一元二次方程的根?！咀兪窖菥殹?（2023·高三模擬）已知非空集合A，B滿足以下兩個條件：（1），；（2）A的元素個數(shù)不是A中的元素，的元素個數(shù)不是中的元素．則有序集合對的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，按集合中得元素個數(shù)進(jìn)行分類討論.【詳解】若集合A中只有1個元素，則集合中有3個元素，且，，所以，，此時有序集合對有1對；同理，若集合中只有1個元素，則集合A中有3個元素，此時有序集合對有1對；若集合A中有2個元素，則集合中有2個元素，且，，不滿足題意．所以滿足題意的有序集合對的個數(shù)為．故A，C，D錯誤.故選：B．2．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）若集合U有71個元素，且各有14，28個元素，則的元素個數(shù)最少是（

）A．14 B．30 C．32 D．42【答案】A【分析】根據(jù)集合中的元素以及交并補(bǔ)運算的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)中有個元素，則,所以中的元素個數(shù)為，因此中的元素個數(shù)為中的元素減去中的元素個數(shù)，即為，由于，所以，故當(dāng)時，有最小值14故選：A3．（2023·重慶九龍坡·高三重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于非空數(shù)集，定義表示該集合中所有元素的和．給定集合，定義集合，則集合中元素的個數(shù)是（

）A．集合中有1個元素 B．集合中有個元素C．集合中有11個元素 D．集合中有15個元素【答案】B【分析】對的情況分別列出來，計算的取值情況，最后得出集合的元素個數(shù).【詳解】1.當(dāng)為單元集合時，集合A可取，可取;2.當(dāng)中的元素個數(shù)為2時，集合可取，可取；3.當(dāng)中的元素個數(shù)為3時，集合可取，可??；4.當(dāng)時,.綜上所述，集合中有個元素.故選:B.【題型三】元素個數(shù)與參數(shù)【典例分析】1．（2023·高三模擬）由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數(shù)不是2，則實數(shù)a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由題意判斷集合的元素個數(shù)，根據(jù)集合元素的互異性，可求得a的不可能取值，即得答案.【詳解】由題意由，，3組成的一個集合A，A中元素個數(shù)不是2，因為無解，故由，，3組成的集合A的元素個數(shù)為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯誤，D正確，故選：D2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，存在正整數(shù)，使得，.若集合中只含有4個元素，則的可能取值有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】考慮不符合題意，時，列舉出滿足條件的集合，再考慮時不成立，得到答案.【詳解】當(dāng)時，，根據(jù)周期性知集合最多有3個元素，不符合；當(dāng)時，，取，此時，滿足條件；當(dāng)時，，即，，在單位圓的五等分點上不可能取到4個不同的正弦值，故不滿足；當(dāng)時，，取，此時，滿足條件；當(dāng)時，，取，此時，滿足條件；當(dāng)時，，取，此時，滿足條件；故選：C【提分秘籍】集合元素個數(shù)求參，多涉及到數(shù)列，三角、解析幾何與函數(shù)等知識交匯處出題，難度較大，注意相關(guān)基礎(chǔ)知識的積累和應(yīng)用?！咀兪窖菥殹?．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，集合中恰有3個元素，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角變換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為.集合只含有3個元素，表示時在上只有三解，求出的根，從而得出的范圍.【詳解】因為函數(shù)，所以，因為集合含有個元素，所以時在上只有三解，即，解得：或，故或，要使其落在上，故只有、、，其他值均不在內(nèi)，故，解得，故，故選：D.2．（2023·湖北武漢·高三校聯(lián)考）設(shè)集合，，若中有且只有一個元素，則所有取值組成的集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合描述的幾何意義，判斷集合N表示的圓與集合M表示的半圓只有一個交點時的取值范圍即可.【詳解】如下圖示，當(dāng)集合N表示的圓與集合M表示的半圓相切，或集合N表示圓半徑變大過程中與集合M表示的半圓只有一個交點時，中有且只有一個元素，所以當(dāng)它們相切，；當(dāng)集合N表示的圓過時恰好有兩個交點，過時恰好有一個交點；綜上，時，中有且只有一個元素.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合至多有1個真子集，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)真子集的個數(shù)可得或者為單元素集，進(jìn)而根據(jù)方程的根可求解.【詳解】由于集合至多有1個真子集，則集合中的元素個數(shù)至多一個，故或者為單元素集，當(dāng)時，則且，解得，當(dāng)為單元素集，則中只有一個元素，當(dāng)時，符合題意，當(dāng)時，則，解得，綜上，或，故選：D【題型四】子集與真子集【典例分析】1．（2023·上海寶山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8個子集，則的可能值有幾個（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)子集個數(shù)可得集合元素個數(shù)，再由正弦函數(shù)性質(zhì)即可確定n的取值.【詳解】由題意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8個子集，故集合只有三個元素，有，則結(jié)合誘導(dǎo)公式易知，可取的值是4或5.故選：B2．（2023黑龍江·高三?？茧A段練習(xí)）給定全集，非空集合滿足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，則稱為的一個有序子集對，若，則的有序子集對的個數(shù)為A．48 B．49 C．50 D．51【答案】B【詳解】時，的個數(shù)是時，的個數(shù)是時，的個數(shù)是，時，的個數(shù)是1時，的個數(shù)是，時，的個數(shù)是時，的個數(shù)是1，時，的個數(shù)是時，的個數(shù)是1時，的個數(shù)是1時，的個數(shù)是時，的個數(shù)是1、時，的個數(shù)是1時，的個數(shù)是1時，的個數(shù)是1的有序子集對的個數(shù)為49個，【提分秘籍】元素與集合以及集合與集合子集關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義及熟練運用分類討論的思想進(jìn)行列舉公式法求有限集合的子集個數(shù)(1)含n個元素的集合有2n個子集．(2)含n個元素的集合有(2n－1)個真子集．(3)含n個元素的集合有(2n－1)個非空子集．(4)含n個元素的集合有(2n－2)個非空真子集．【變式演練】1．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）已知集合，集合滿足，且中恰有三個元素，其中一個元素是另外兩個元素的算術(shù)平均數(shù)，則滿足條件的共有（

）A．380個 B．180個 C．90個 D．45個【答案】C【分析】設(shè)，，，則由題意可得，然后分，同為奇數(shù)或同為偶數(shù)兩種情況討論求解即可.【詳解】設(shè)，，，且是與的算術(shù)平均數(shù)，則，所以，同為奇數(shù)或同為偶數(shù).當(dāng)，同為奇數(shù)時，則必存在唯一確定的數(shù)，此時滿足條件的共有個.當(dāng)，同為偶數(shù)時，則也必存在唯一確定的數(shù)，此時滿足條件的共有個.故滿足條件的共有90個.故選：C2．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）若為全體實數(shù)，集合．集合．則的子集個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．16 D．32【答案】D【分析】先分別求出集合再根據(jù)補(bǔ)集及交集求解，最后應(yīng)用子集公式計算即可.【詳解】由集合得且，由集合可得或，故子集個數(shù)為．故選:．3．（2023春·江蘇徐州·高三徐州高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合，則的所有子集的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】解不等式得，再根據(jù)公式求解即可.【詳解】解：解不等式得，解不等式得，由于,所以，，所以，的所有子集的個數(shù)為個.故選：C【題型五】集合的子集求參數(shù)【典例分析】1．（2023安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）已知非空集合，，，則集合可以是A． B． C． D．【答案】B【詳解】取，則，所以，又，所以，故排除ACD.故選：B.2．（2023秋·河南·高三統(tǒng)考）集合或，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，分和兩種情況討論，建立不等關(guān)系即可求實數(shù)的取值范圍．【詳解】，①當(dāng)時，即無解，此時，滿足題意．②當(dāng)時，即有解，當(dāng)時，可得，要使，則需要，解得．當(dāng)時，可得，要使，則需要，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：A．【提分秘籍】集合子集求參題型，往往存在著思維和計算的一個“坑”，即若有，則要討論集合B是否是空集。所以思考子集，要有“從空集開始到自身結(jié)束”這個“順序感”。授課時講透徹這個“順序感”：子集是從“從空集開始，到自身結(jié)束”【變式演練】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)并集關(guān)系得到，分和討論即可.【詳解】，當(dāng)，符合題意；當(dāng)，，解得，綜上.故選：A．2．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非空集合，其中，若滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件可得滿足的條件，再根據(jù)根分布可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】，因為非空，故可設(shè)，則為方程的兩個實數(shù)根.設(shè)，又，因為，故，所以，解得.故選：A.3．（2023春·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合.若，且對任意的，，均有，則集合B中元素個數(shù)的最大值為A．25 B．49 C．75 D．99【答案】D【分析】先分析集合元素的特點，通過列舉可得.【詳解】當(dāng)或的值較小時，集合B中元素個數(shù)最多，即共有99個元素.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特點是求解的關(guān)鍵.【題型六】集合的交集運算【典例分析】1．（2023·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和為56，求（

）A．8 B．6 C．7 D．4【答案】A【分析】根據(jù)可得，可得，再根據(jù)可得，分和兩種情況來討論即可得解.【詳解】由得，所以，，所以，（1）若，由，所以，所以，，所以，即，從而，所以，所以，即或，與矛盾；（2）若，則，從而，所以，即，從而，所以，，所以或，又，所以，，又，所以，由代入可得：，所以或（舍），所以，故選：A2．（2023秋·上海黃浦·高三上海市向明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，則集合中元素的個數(shù)是（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】根據(jù)對稱性畫出圖像，計算圓心到直線的距離得到答案.【詳解】根據(jù)對稱性畫出圖像，如圖所示：考慮第一象限，圓心到直線的距離為，相離根據(jù)對稱性得到集合中元素的個數(shù)是故選【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，集合的交集，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.【提分秘籍】交集：【變式演練】1．（2023春·浙江寧波·高三校聯(lián)考期末）設(shè)集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】在同一坐標(biāo)系下畫出兩集合對應(yīng)函數(shù)圖象，交點個數(shù)即為交集元素個數(shù)【詳解】對于函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，.對于函數(shù)，，則且端點處取最大值.兩函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下大致如下，則兩函數(shù)圖象有3個交點，即中元素的個數(shù)為3個.故選：B

2．（2023春·湖北省直轄縣級單位·高三湖北省仙桃中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合，集合，則的元素個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．無數(shù)個【答案】A【分析】計算，，再計算交集得到答案.【詳解】，則，即，故，，故.故選：A3．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求集合，再結(jié)合交集運算求解.【詳解】由題意可知：，對于可知：，則，故，且，故.故選：C.【題型七】交集運算求參數(shù)【典例分析】1．（2023·浙江·高三?？迹┮阎?，，若，且中恰好有兩個整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出中不等式的解集確定出,求出集合對應(yīng)的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范圍判斷出兩整數(shù)解為和,從而得到關(guān)于的不等式.【詳解】，令，由題意，，又，所以，設(shè)，又.所以要使中恰好有兩個整數(shù)解，則只能是和，所以應(yīng)滿足,解得.故選A【點睛】本題考查利用集合間的交運算求參數(shù)的范圍;判斷出中的兩個整數(shù)解為4和5和結(jié)合一元二次函數(shù)圖象得出關(guān)于a的不等式是求解本題的關(guān)鍵;屬于難度大型試題.2．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，，若中含有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：表示以為圓心、半徑為2的上半圓，直線表示恒過點的直線；由題意，滿足要求的直線介于之間，；因為與圓相切，則，解得；所以．【提分秘籍】交集運算時，要注意交集運算的一些基本性質(zhì)：①A∩B_A；②A∩BB；③A∩A＝A；

④A∩＝；⑤A∩B=B∩A.【變式演練】1．（2023·黑龍江綏化·高三統(tǒng)考）設(shè)集合，，若，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】C【分析】先算出集合，再根據(jù)，根據(jù)區(qū)間端點列出不等式即可獲解.【詳解】或,或，解得或，的取值范圍是或故選：C2（2023·福建寧德·高三統(tǒng)考）設(shè)集合，集合，若中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出或，然后對分，，三類討論，利用數(shù)軸得到相關(guān)不等式，解出即可.【詳解】由中不等式變形得:,解得:或,即或，，即，令，則或，若，則，即，此時，此時，不合題意舍去，若，則不等式解集為，根據(jù)數(shù)軸分析得若恰有一個整數(shù)，則，解得，若，則不等式解集為，根據(jù)數(shù)軸分析得若恰有一個整數(shù)，則，解得，綜上，故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，（）.當(dāng)有且只有一個元素時，則正數(shù)的所有取值為（

）A．或 B．C．或 D．或【答案】C【分析】依題畫出滿足題意的圖形，因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，然后分析計算即可得解.【詳解】，，即圓M：的上半部分，如圖：圓M的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓N的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，①外切：，d為圓心距，，此時，②介于圓（2）、圓（3）之間：圓（2）處的半徑，圓（3）處的半徑，所以，綜上，正數(shù)的所有取值為或.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的解題關(guān)鍵是由因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，進(jìn)而分析計算.【題型八】集合的并集運算【典例分析】1．（2023·高三模擬）設(shè)全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先弄清的含義，再求，最后再求補(bǔ)集即可得答案.【詳解】由，可得，所以集合表示的是直線去掉點后的所有點的集合，集合表示的是坐標(biāo)系內(nèi)不在直線上的點的集合，所以.故選：B.2．（2023·四川成都·高三校聯(lián)考）已知正整數(shù)集合，，其中．若，且，則中所有元素之和為（

）A．52 B．56 C．63 D．64【答案】A【分析】由題意可得，從而可求的值，根據(jù)可求，由并集運算可得，從而可求元素之和.【詳解】解：因為，且，所以.所以.由，可得.故由可得.所以.故,.所以,所有元素之和為52.故選:A．【提分秘籍】并集：【變式演練】1．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)、、、、是均含有個元素的集合，且，，記，則中元素個數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對的取值由小到大進(jìn)行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.【詳解】解：設(shè)、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.①假設(shè)集合中含有個元素，可設(shè)，則，，這與矛盾；②假設(shè)集合中含有個元素，可設(shè)，，，，，滿足題意.綜上所述，集合中元素個數(shù)最少為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查集合元素個數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對集合元素的個數(shù)由小到大進(jìn)行分類，對集合中的元素進(jìn)行分析，驗證題中條件是否成立即可.2．（2022秋·河北衡水·高三統(tǒng)考期中）若，，定義，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意，，所以,所以考點：新定義及集合的基本運算．【名師點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性．研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實質(zhì)求，即是集合A或B的元素，但不是集合A,集合B共有的元素,一般要在數(shù)軸上表示出來，形象直觀，一定要注意端點值，看是否包括，是易錯點．3．（2023河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，.若，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得，，所以，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的兩根在和之內(nèi)，由二次函數(shù)圖象性質(zhì)及零點存在性定理求解即可.【詳解】解：由，得；因為，所以，令，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)及零點存在性定理，得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選:D.【題型九】并集運算求參數(shù)【典例分析】1．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高三景德鎮(zhèn)一中校考期末）已知集合，集合，若，則實數(shù)不可以?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得范圍為，根據(jù)題意可得，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對集合A解不等式，解得，由則，當(dāng)時，，則，此時，符合題意；當(dāng)時，，，符合題意，當(dāng)時，，此時，符合題意，當(dāng)時，此時，不符題意，故選：D2．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知表示不超過的最大整數(shù)，例如，，方程的解集為，集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，解絕對值不等式求出集合A，分類討論的取值范圍，求出集合B，由，列出滿足條件的不等式組，解不等式即可求解.【詳解】由題意可得，解得或，所以或，所以，當(dāng)時，，由，則，解得；當(dāng)時，，此時不成立，故不??；當(dāng)時，，則，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法、含參數(shù)的一元二次不等式的解法以及根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.【提分秘籍】集合并集運算的一些基本性質(zhì)：(1)在進(jìn)行集合運算時，若條件中出現(xiàn)A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問題，并注意A＝?的情況．(2)集合運算常用的性質(zhì)：A∪B＝B?A?B；【變式演練】1．（2023·高三?？寄M）設(shè)集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）.A． B．C． D．【答案】D【分析】集合分別表示圓及其內(nèi)部所有點組成的集合，由題意可知兩個圓內(nèi)含或內(nèi)切，列式求解即可.【詳解】集合表示以為圓心，半徑的圓及其內(nèi)部所有點組成的集合，集合表示以為圓心，半徑的圓及其內(nèi)部所有點組成的集合，因為，所以兩個圓內(nèi)含或內(nèi)切，從而，即，解得.故選：D．2．（2023·浙江·統(tǒng)考高考模擬）設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（

）A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素C．若S有3個元素，則S∪T有5個元素D．若S有3個元素，則S∪T有4個元素【答案】A【分析】分別給出具體的集合S和集合T，利用排除法排除錯誤選項，然后證明剩余選項的正確性即可.【詳解】首先利用排除法：若取，則，此時，包含4個元素，排除選項C；若取，則，此時，包含5個元素，排除選項D；若取，則，此時，包含7個元素，排除選項B；下面來說明選項A的正確性：設(shè)集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時.若，則，故，故，即，故，此時即中有7個元素.故A正確.故選：A.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式的解集為，關(guān)于x的不等式的解集為B，且，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因為，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，當(dāng)時，，故．故選：B【題型十】補(bǔ)集與全集【典例分析】1．（2023·福建福州·高三校聯(lián)考）已知不等式解集為，若不等式解集為B，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由不等式解集為可得，從而求出，再利用集合補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】因為不等式解集為，所以，所以可化為，則，所以，解得：，所以，故選：B.2．（2023·湖北襄陽·高三棗陽一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)全集，集合，則集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.【詳解】解不等式得：，即，則，解不等式得：，則，因此，，所以.故選：C【提分秘籍】全集(1)定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．(2)記法：全集通常記作U.補(bǔ)集自然語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，記作?UA符號語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言【變式演練】1．（2023春·安徽滁州·高三校考開學(xué)考試）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，，再由交集的運算可得答案.【詳解】設(shè)集合，，則，所以.故選：D.2．（2023·高三模擬）設(shè)全集且，，若，，則這樣的集合共有（

）A．個 B．個C．個 D．個【答案】D【分析】先求出全集，再求出集合的子集即為，再進(jìn)行補(bǔ)集運算可得集合，進(jìn)而可得正確選項.【詳解】且，的子集有，，，，，，，，的子集有個，，所以有個，因為，所以存在一個即有一個相應(yīng)的，所以，，，，，，，有個，故選：D.3．（2023·高三模擬）已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】首先根據(jù)題意，求得或，由可以得到，根據(jù)子集的定義求得參數(shù)所滿足的條件，得到結(jié)果.【詳解】，∵．∴或，∵即，∴或．即或，?即實數(shù)的取值范圍是或．故選：C.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點有集合的補(bǔ)集，根據(jù)子集求參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題目.【題型十一】全集補(bǔ)集運算求參【典例分析】1．（2022·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，全集,若,則有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式得到，再求出，利用數(shù)軸法即可得到.【詳解】由，解得，故因為，，所以，又因為，由數(shù)軸法得.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知全集，集合，若的元素的個數(shù)為4，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的結(jié)果個數(shù)，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】若的元素的個數(shù)為4，則故選：A.【點睛】本題考查由集合的補(bǔ)集元素個數(shù)求參數(shù)范圍，屬基礎(chǔ)題.【提分秘籍】全集與補(bǔ)集運算的性質(zhì)：【變式演練】1．（2023·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可得出關(guān)于的等式（組），即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，由題意可得，解得.故選：B.2．（2023春·江西南昌·高三進(jìn)賢縣第一中學(xué)校考）已知集合，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡集合U、A，利用，借助于不等式的解集是用不等式對應(yīng)的方程的解表示求出a.【詳解】∵，又，∴，又，∴?是方程的兩個根，∴.故選：A.【點睛】（1）集合的交并運算：①離散型的數(shù)集用韋恩圖；②連續(xù)型的數(shù)集用數(shù)軸；（2）不等式的解集是用不等式對應(yīng)的方程的解表示的.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式2ax<1解集為Q，P＝{x|x≤0}，若Q∩?RP＝，則實數(shù)a等于()A． B．C．4 D．2【答案】D【詳解】試題分析：∵,∴當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴.考點：1.集合的交集、補(bǔ)集運算；2.含參一元二次不等式.【題型十二】新定義【典例分析】1．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）用表示非空集合中元素個數(shù)，定義，則，，且，則實數(shù)的值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】先由方程，根據(jù)判別式判定；再由題中條件，得到或4，再由時，方程一定有根，推出集合中的方程有4個不同的根，得出方程以及必須都有兩不同的根，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】集合中的方程，其，所以因為定義，且，所以或4，即集合中的方程，有0個根或者4個根，而當(dāng)時，方程一定有根，所以集合中的方程，有4個不同的根，則需方程以及必須都有兩不同的根，從而得到，所以或.故選：D.【點睛】本題主要考查集合的新定義問題，考查由集合中元素個數(shù)求參數(shù)的問題，屬于中檔題型.2．（2023·高三課前預(yù)習(xí)）用表示非空集合中的元素的個數(shù)，定義，已知集合有三個真子集，，若，設(shè)實數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件求得，可得出或，然后對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，確定方程的解的個數(shù)，由此可求得實數(shù)的所有可能取值，即可得出的值.【詳解】由題意可知，集合的真子集個數(shù)為，解得，由題中定義可得，或.由題意可知，為關(guān)于的方程的一根.當(dāng)時，則，則方程只有一個實根，可得，此時，方程無實根，則滿足條件；當(dāng)時，則關(guān)于的方程有三個根，必有，此時，關(guān)于的方程的兩根分別為，，分以下兩種情況討論：①若是方程的一根時，則，解得.當(dāng)時，則，合乎題意；當(dāng)時，則，合乎題意；②當(dāng)方程有兩個相等的實根，則，解得.當(dāng)時，，合乎題意；當(dāng)時，，合乎題意.因此，，即.故選：D.【點睛】以集合為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力．在解本題中，在求出實數(shù)的取值后，要代回原集合進(jìn)行檢驗，以免產(chǎn)生錯解.【提分秘籍】新定義題型，多涉及到“韋恩圖”來釋義。韋恩圖思考時，要從四種位置關(guān)系來保證思考的“完備性”【變式演練】1．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？迹┒x集合運算且稱為集合與集合的差集；定義集合運算稱為集合與集合的對稱差，有以下4個命題：①

②③

④則個命題中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用題中定義可判斷①的正誤；利用韋恩圖法可判斷②④；利用題中定義與集合運算可判斷③的正誤.【詳解】對于①，，①對；對于②，且且，同理，則，所以，表示的集合如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：同理也表示如上圖陰影部分區(qū)域所示，故，②對；對于③，，③對；對于④，如下圖所示：所以，，④錯.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查集合中的新定義問題，解題的關(guān)鍵在于利用韋恩圖法來表示集合，利用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行判斷.2．（2023·北京·高三東直門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合的最大元素為，最小元素為，記的特征值為，若集合中只有一個元素，規(guī)定其特征值為0.已知，，，…，是集合的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)描述只需保證各集合中（）盡量小，結(jié)合已知及集合的性質(zhì)有最大時，進(jìn)而分析的取值.【詳解】由題設(shè)，，，…，中都至少有一個元素，且元素個數(shù)互不相同，要使最大，則各集合中（）盡量小，所以集合，，，…，的元素個數(shù)盡量少且數(shù)值盡可能連續(xù)，所以，不妨設(shè)，有，當(dāng)時，，當(dāng)時，，只需在時，在上述特征值取最小情況下，使其中一個集合的特征值增加5即可，故的最大值為11.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：注意最大則各集合中（）盡量小，并求出該情況下特征值之和關(guān)于n的公式，再分析其最大取值.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)A是任意一個n元實數(shù)集合，令集合，記集合B中的元素個數(shù)為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】利用排除選項D；利用排除選項AC；舉例驗證選項B正確.【詳解】當(dāng)集合A中的元素兩兩互質(zhì)時，．所以對于選項D，當(dāng)時，，故選項D錯誤．當(dāng)時，若，其中，有，故．對于選項A，，故．故選項A錯誤．對于選項C，，則.故選項C錯誤．對于選項B，，判斷正確（事實上，當(dāng)時，要使最小，，記，其中，當(dāng)時，有．）故選：B1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計算.【詳解】由題意，，，根據(jù)交集的運算可知，.故選：A2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用集合的交并補(bǔ)運算即可得解.【詳解】因為全集，集合，所以，又，所以，故選：A.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運算求結(jié)果；【詳解】由，而，所以.故選：A6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或，選項C錯誤；或，則或，選項D錯誤；故選：A.7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運算即可解出．【詳解】因為整數(shù)集，，所以，．故選：A．9．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出．【詳解】因為，，所以．故選：A.11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出．【詳解】因為，，所以．故選：A.12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D.最新模考真題一、單選題1．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎舷铝嘘P(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解.【詳解】因為，所以A、C錯誤，因為，所以，所以B錯誤，又，所以，所以D正確，故選:D．2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┮阎蠞M足，則可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得集合的包含關(guān)系，進(jìn)而判斷即可.【詳解】由則,進(jìn)而,由于，所以可能是，故選：B3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┮阎?，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡集合，再根據(jù)補(bǔ)集和交集運算法則進(jìn)行計算即可.【詳解】由題意得，，，則或，所以.故選：A4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）已知集合，，若，則實數(shù)b的值為（

）A．1 B．0或1 C．2 D．1或2【答案】D【分析】求出中不等式的整數(shù)解確定出，根據(jù)與的交集不為空集，求出b的值即可．【詳解】由中不等式解得：，因為，所以，，，，且，或2，故選：D．5．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，求出函數(shù)的值域化簡集合B，再利用交集、補(bǔ)集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，因此，當(dāng)時，，則，因此，所以，.故選：C6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若且，，則稱a為集合A的孤立元素．若集合，集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列舉出滿足條件的集合，然后根據(jù)題意結(jié)合古典概型公式求解.【詳解】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20個．滿足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能為，，，，一共4種．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．故選：C．7．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知集合，若A，B均為U的非空子集且，則滿足條