635平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示精講

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示題型2：向量的平行、垂直及應(yīng)用題型3：向量的模題型4：向量的夾角題型5：與向量夾角有關(guān)的參數(shù)問題題型6：向量數(shù)量積的最值題型7：向量的模的最值三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點1：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，分別是軸，軸上的單位向量．向量分別等價于，，根據(jù)向量數(shù)量積的運算，有：由于，為正交單位向量，故，，，，從而．即，其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．知識點2：兩個向量平行、垂直的坐標(biāo)表示已知非零向量，（1）．（2）知識點3：向量模的坐標(biāo)表示（1）向量模的坐標(biāo)表示若向量，由于，所以．其含義是：向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．（2）兩點間的距離公式已知原點，點，則，于是．其含義是：向量的模等于A，B兩點之間的距離．（3）向量的單位向量的坐標(biāo)表示設(shè)，表示方向上的單位向量知識點4：兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示已知非零向量，是與的夾角，則．二、重點題型分類研究題型1:平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，那么等于（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【詳解】，，.故選：A.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖在中，，為中點，，，，則（）A．15 B．13 C．13 D．14【答案】C【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，又，，，則，即，即，則，，則，；故選：C．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則______．【答案】【詳解】解：因為為的重心，所以，因為，所以，則，因為，所以，即，所以，在中，．方法一：因為，，所以，．方法二：以坐標(biāo)原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由方法一可知，，所以．同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖在中，，為中點，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，又，，，則，即，即，則，則，，則；故選：C．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為向量，，，所以，，所以.故選：C.3．（2023春·北京大興·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為4的正方形，若，且為的中點，則______.【答案】5【詳解】以A為坐標(biāo)原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，則，，所以.故答案為：5.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，H，D分別是邊BC，AC上一點，，，，則___________.【答案】12【詳解】如圖，以H為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸，HD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，，所以.故答案為：題型2：向量的平行、垂直及應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)校考期中）已知向量，且，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因為，且，所以，即，解得（舍）或所以，，因為，所以，解得.故選：D例題2．（2022春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，向量,且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】由題意向量,且，故得：，解得，故，故選：A例題3．（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┮阎蛄?，，若，則的值為___________.【答案】【詳解】因為向量，，所以，，又因為，所以，即，解得，所以的值為.故答案為：.例題4．（2022秋·云南曲靖·高一?？计谀┮阎蛄?，，且.(1)求，并求在上的投影；(2)若，求實數(shù)的值，并確定此時它們是同向還是反向？【答案】(1)；(2)k=1，反向.(1)向量，，則，而，則有，解得，于是得，所以，在上的投影是.(2)由（1）知，，，又，則，解得，所以實數(shù)的值是，向量與的方向是反向.同類題型演練1．（2023春·福建寧德·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，因為，所以，解得，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B.2．（2023春·廣西·高三期末）已知向量，若，則m=___________.【答案】【詳解】由題意可知，，因為，所以，得.故答案為：3．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，若向量滿足，則_________.【答案】【詳解】設(shè)，由題意得，，因為，所以，即，解得，所以.故答案為：4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，若，則___________．【答案】##2.5【詳解】由題意，又，所以，解得．故答案為：．題型3：向量的模典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B．48 C． D．【答案】C【詳解】由題意，得，又與反向共線，故，此時，故.故選：C.例題2．（2022春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)平面向量，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，即，解得，即，則，所以.故選：B.例題3．（2023春·貴州貴陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量，則___．【答案】【詳解】解：因為，所以，故故答案為：例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點.已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿逆時針后得到點，向量為向量在向量上的投影向量，則__________.【答案】##【詳解】因為，，所以，，所以P點坐標(biāo)為，所以，所以.故答案為：.同類題型演練1．（2022·高二課時練習(xí)）已知，是單位向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，因為，是單位向量，所以，所以，所以，所以，故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以，則，所以，即．故選：C．3．（2022秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）已知向量，且與的夾角，則（

）A． B．13 C． D．10【答案】A【詳解】解：由題得，所以．故選：A4．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若，則______【答案】【詳解】根據(jù)題意，，解得，此時，則.故答案為：題型4：向量的夾角典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）向量，，若、的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為、的夾角為鈍角，則且、不共線，所以，，解得且，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知非零向量、滿足，，則向量與向量夾角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以可設(shè)，，則，，因為，所以，即.則，故選：A.例題3．（2022秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）已知矩形的邊長滿足，點滿足，則的值為___________.【答案】【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則點A（0，0）、B（1，0），C（1，3）、D（0，3），，則點P（1，），∴，，因此，，，．．故答案為：.例題4．（2022秋·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，．(1)若，求．(2)若向量，，求與夾角的余弦值．【答案】(1)(2)(1)因為，，所以，．由，可得，即4(m＋2)－6＝0，解得，所以，故．(2)依題意得因為，所以3(2m－2)＋2×9＝0，解得m＝－2，則，，所以，故與夾角的余弦值為．同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖：以為原點，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，因為四邊形是矩形，，，，則，，，，則，，故，因為，所以，故選：B.2．（2022·高一課時練習(xí)）已知向量，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)與的夾角為，則．∵，，∴，∴．故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，與的夾角為．若為銳角，則的取值范圍是__．【答案】且【詳解】，且為銳角，所以，解得，又當(dāng)時，，夾角，不成立，所以且，故答案為：且.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，，則__________.【答案】【詳解】解：因為，，所以，，，所以.故答案為：題型5：與向量夾角有關(guān)的參數(shù)問題典型例題例題1．（2022春·山西臨汾·高三統(tǒng)考期中）已知平面向量，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以.所以，即，解得：.而與反向時，，此時，即，解得：，不符合題意.所以且.故選：D例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：與夾角為銳角，則且與不同向，即，即，由，共線得，得，故.故選:D.例題3．（2022·高一單元測試）已知向量，，.(1)若，，三點共線，求實數(shù)的值；(2)若為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，，，所以，，因為，，三點共線，所以與共線，所以，解得.所以實數(shù)的值（2）解：因為向量，，，所以，，因為為銳角，所以且與不共線，即，解得且，所以，實數(shù)的取值范圍是同類題型演練1．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谀┮阎?，且與的夾角是鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為與的夾角是鈍角，所以，且，解得且.故選：D.2．（2022春·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】;【詳解】因為，，且與的夾角為鈍角，所以且不共線，則，解得且，即.故答案為：.3．（2022秋·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，.(1)若，求；(2)若和的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)因為，所以，解得，所以，，，所以.(2)因為和的夾角為銳角，所以，即，解得且，所以的取值范圍是.題型6：向量數(shù)量積的最值典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在菱形中，，點在菱形所在平面內(nèi)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由菱形中，，可得且，設(shè)交于點，以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，取中點，則，，設(shè)，則，所以當(dāng)，時，取得最小值.故選：C．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，線段，點，分別在軸和軸的非負(fù)半軸上運動，以為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形，，設(shè)為原點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖令，，由于，故，，如圖，，故，，故，同理可求得，即，∴，∵，∴．∵，∴的最大值是3，最小值是1，故選：C．例題3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？计谀┰?022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖②）．己知正六邊形的邊長為1，點滿足，則________________；若點是線段上的動點（包括端點），則的最小值是________________．

圖①

圖②【答案】

##

##【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)，則，，當(dāng)時，的最小值為故答案為：；.例題4．（2022春·天津濱海新·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，梯形，且，，，則_________，在線段上，則的最小值為_________.【答案】

##

##【詳解】，，，，，，又，；作，垂足為，以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，解得：，，，，，，則當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故答案為：；.同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】是邊長為2的正方形，則以點A為原點，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，設(shè)點，，于是得：，當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值是.故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直角梯形是邊上的一點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】法一：因為在上，不妨設(shè)，則（其中）所以，因為，所以法二：如圖，以點A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則，，，，其中∠ABC=45°，設(shè)點，其中，，∴∵∴故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在直角三角形中，為直角，，，若是邊上的高，點在內(nèi)部或邊界上運動，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖：在直角三角形中，為直角，，，所以，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：，直線的方程為：，所以直線的方程：，所以，點在內(nèi)部或邊界上運動，與夾角大于等于90°由圖可得：與夾角大于等于，點在線段上時，，且為最大值，點在線段上時，有最小值，設(shè)點，.綜上所述：的取值范圍是.故選：D4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形ABCD中，，，點P在AB邊上，則向量在向量上的投影向量的長度是_____，的最大值是__________．【答案】

【詳解】由題意可得，即向量在向量上的投影向量的長度是；如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,故，則，當(dāng)時，取最大值為，故答案為：；題型7：向量的模的最值典型例題例題1．（2022秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）如圖，為矩形邊中點，，分別在線段、上，其中，，，若，則的最小值為__________．【答案】【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可知，，分別在線段、上，設(shè)（），則，所以，所以，，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為．故答案為：例題2．（2022·全國·高一期中）已知，．(1)若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：因為，，所以，，因為與的夾角為鈍角，所以，且，解得且，所以的取值范圍為；(2)根據(jù)題意，，則，所以，又，則，所以的取值范圍是．例題3．（2022秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）已知是坐標(biāo)原點，，，點滿足.(1)求；(2)設(shè)，求的最小值.【答案】(1);(2).(1)，，即，，，，，，.(2)由（1）知，，，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為.同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：可設(shè)，，則，即，則，，，當(dāng)時，取得最大值為6，即的最大值為6.故選：C2．（2022秋·四川甘孜·高一統(tǒng)考期末）已知向量?.(1)當(dāng)時，求向量與的夾角;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)4(1)解：當(dāng)?時，?，?，設(shè)?與?的夾角為?，則?，而?，，即?與?的夾角為?；(2)解：?，?，?當(dāng)時，取等號，?的最大值為?.3．（2022秋·北京·高一北京八十中校考期中）已知兩個向量(1)求以及與垂直的單位向量；(2)當(dāng)實數(shù)取何值時，向量與方向相反？(3)若（其中，求的最小值.【答案】(1)，或；(2)；(3)；(1)由模長公式，，，設(shè)該單位向量的坐標(biāo)為，則，得或，所以與垂直的單位向量為或.(2)，，當(dāng)向量與共線時，，解得或，當(dāng)時，與同向，不合題意；當(dāng)時，與反向，符合題