八年級數(shù)學(xué)下冊講練課件：17.1-勾股定理（第1課時(shí)）（人教版）

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第17章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數(shù)形結(jié)合的思想.2.會用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算.2勾股定理有著悠久的歷史：古巴比倫人和古代中國人看出了這個(gè)關(guān)系（即直角三角形三邊關(guān)系），古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這個(gè)關(guān)系.

勾股定理也有很多別稱，也叫畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驢橋定理和埃及三角形等.勾股定理被譽(yù)為“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理.在我們今后的幾何計(jì)算題和推理題中都有著廣泛的應(yīng)用.迄今為止，勾股定理大約有500多種證明方法，是證明方法最多的定理之一.引入新課勾股定理的歷史3勾股定理的認(rèn)識及驗(yàn)證相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，看到朋友家用磚鋪成的地面圖案，發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的某種關(guān)系（如圖）：ABC問題1：試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？探究新知4

問題2：圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么數(shù)量關(guān)系？ABC一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2等腰直角三角形三邊的關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.5問題3：網(wǎng)格中為一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個(gè)正方形A、B、C是否也有類似的面積關(guān)系？(每個(gè)小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A，B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？探究新知6方法1：補(bǔ)形法(把正方形C補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：7方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：8根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖491316925也就是說，由這三個(gè)正方形圍成的直角三角形的三邊也滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這種關(guān)系.一直角邊2+另一直角邊2=斜邊29由上面的幾個(gè)例子，我們不難得到這樣的猜想：命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.）abc下面動(dòng)圖形象的說明命題1的正確性我們的猜想該如何證明呢？10abbcabca證法1：讓我們跟著我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖，再用所拼的圖形證明命題吧.=11abc∵S大正方形＝c2，又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形趙爽弦圖b-a證明：“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會的會徽.妙解歸納：兩種方法計(jì)算一個(gè)圖形的面積，得到一個(gè)等量關(guān)系，從而解決問題.12aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，證法2：畢達(dá)哥拉斯證法如圖，圖中的四個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.13aabbcc∴a2+b2=c2.證法3：美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.證明：14公式變形：abc勾股定理:如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）.ABC現(xiàn)在，我們已經(jīng)證明了命題1的正確性，在數(shù)學(xué)上，經(jīng)過證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理，所以我們剛剛猜想的命題1在我國叫做勾股定理.歸納總結(jié)15在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.由于命題1反映的正好是直角三角形三邊的關(guān)系，所以叫做勾股定理.勾股勾2+股2=弦2

為什么叫勾股定理這個(gè)名稱呢？

國外又叫畢達(dá)哥拉斯定理16

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5，求c；

（2）若a=1，c=2，求b.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°(2)在Rt△ABC中，∠C=90°CABabc注意：1.看好哪個(gè)角是直角，選擇正確的公式來求邊長2.規(guī)范書寫格式典例分析17（1）若a：b=1：2，c=5，求a；（2）若b=15，∠A=30°，求a，c.

【變式1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x，b=2x，由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x，c=2x，根據(jù)勾股定理得(2x)2-x2=152，解得已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長求未知兩邊時(shí)，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.CABabc18【變式2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖①，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖②，43ACB43CAB圖①圖②當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.191.下列說法中，正確的是（）A.已知a，b，c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2C2.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm2當(dāng)堂鞏固203.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.4.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長的平方為_______.17574或24215.圖中已知數(shù)據(jù)表示面積，求表示邊的未知數(shù)x、y的值.解：由勾股定理可得

81+144=x2，

解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=522結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7已知S1=1，S2

=3，

S3=2，S4

=4，求S5、

S6、S7的值.能力提升2311美麗的勾股樹通過這種方法，可以把一個(gè)正方形的面積分成若干個(gè)小正方形的面積的和，不斷地分下去，就可以得到一棵美麗的勾股樹．241.（3分）（2021?山西8/23）在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用如圖圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．統(tǒng)計(jì)思想 B．分類思想

C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想【解答】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：C．感受中考252.（3分）（2021?陜西7/26）如圖，AB、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)A、C、E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是（

）A．6cm B．7cm C．

cm D．8cm感受中考26【解答】解：由題意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥CE于N，則∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝

AC＝

×6＝3，CN＝EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，27在△BCM和△CDN中，

，∴△BCM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△BCM中，∵BM＝5，CM＝3，∴BM