陜西省咸陽市乾縣2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段檢測數(shù)學(xué)試卷含答案

陜西省咸陽市乾縣2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知全集，，，則（

）A． B．C． D．2．已知，，則（

）A． B． C． D．3．若橢圓滿足，則該橢圓的離心率（

）A． B． C． D．4．若橢圓的右焦點坐標(biāo)為，則的值為（

）A．1 B．1或3 C．9 D．1或95．向量，，則（

）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為6．已知線段的端點B的坐標(biāo)是，端點A在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．集合，集合，從A，B中各任意取一個數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（

）A． B． C． D．8．如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（

）

A．－ B．C．－ D．9．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.如圖所示，某同學(xué)利用兩個完全一樣的半圓柱，得到了一個三棱錐，該三棱錐為鱉臑，，為半圓柱的圓心，半徑為2，，，動點在內(nèi)運動（含邊界），且滿足，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）10．給出下列四個條件：①；②；③；④．其中能成為的充分條件的是（

）A．① B．② C．③ D．④11．若數(shù)據(jù)，，和數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)、方差、極差均相等，則（

）A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)相等B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的方差相等C．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的極差相等D．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的中位數(shù)相等12．如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，則（

）

A．三棱錐的體積為定值 B．直線平面C．當(dāng)時， D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題（本大題共3小題）13．如圖，已知圓是圓上兩個動點，點，則矩形的頂點的軌跡方程是．14．已知點是直線上一點，則的最小值為．15．若向量，且，則的值為四、解答題（本大題共5小題）16．在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標(biāo)為.

(1)求直線的方程；(2)求直線的方程及點的坐標(biāo).17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)若，，求的面積.18．已知拋物線，過點的直線l交拋物線于A，B兩點，拋物線在點A處的切線為，在點B處的切線為，直線與交于點M.(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：；(2)設(shè)線段AB的中點為N，求的取值范圍.19．圖1是棱長為2的正方體，，，，分別是，，，的中點，截去三棱柱和三棱柱得到如圖2的四棱柱，，分別是，的中點，過點，，的平面交于點．(1)求線段的長；(2)求平面與平面夾角的余弦值．20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）設(shè)，若函數(shù)在上有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)的最小值為4？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為全集，，所以，又因為，.故選：D.2．【答案】A【詳解】由誘導(dǎo)公式得，又由，可得．故選：A.3．【答案】B【詳解】橢圓滿足，則該橢圓的離心率.故選：B.4．【答案】C【詳解】根據(jù)右焦點坐標(biāo)為，可得，且焦點在軸上，故，故選：C5．【答案】B【解析】由題意求出兩向量的數(shù)量積，即可判斷兩向量的位置關(guān)系.【詳解】∵向量，，∴，∴.故選：B.6．【答案】B【詳解】設(shè)，，由中點坐標(biāo)公式得，所以，故，因為A在圓上運動，所以，化簡得，故B正確.故選：B7．【答案】B【詳解】從A，B中各任意取一個數(shù)相加，有種情況，當(dāng)直線，則，則，當(dāng)時，從中取一個數(shù)相加為的有，2種情況，當(dāng)時，從中取一個數(shù)相加為的有，2種情況，所以滿足條件的有4種情況，所以滿足條件的概率.故選：B8．【答案】B【詳解】設(shè)正方體棱長為1，以B為坐標(biāo)原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則M，N，.解法一

取MN的中點G，連接BG，AG，則G.因為為等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB為兩平面夾角或其補(bǔ)角．又因為，，所以，，設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則.故所求兩平面夾角的余弦值為.

解法二

設(shè)平面AMN的法向量由于，，則，即，令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是，同理可求得平面BMN的一個法向量.所以，設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則.故所求兩平面夾角的余弦值為.故選：B.9．【答案】A【詳解】因為三棱錐為鱉臑，平面，在中，，過做垂足為，則，即，所以，因為，，在中，，所以，則，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，所以中，，過作，，即，可得，則過作，因為是AD中點，所以，所以動點在內(nèi)（含邊界）的軌跡為以為圓心以為半徑的半圓，則點的軌跡長度為.故選：A.10．【答案】AD【詳解】①由”可知，所以，故；②當(dāng)時，；當(dāng)時，，故，不能推出；③由，得，但不能推出，故不能推出；④．故選：AD．11．【答案】ABC【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為.那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，A選項正確.設(shè)數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差也為.對于數(shù)據(jù)，其方差計算為,所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，B選項正確.設(shè)數(shù)據(jù)的極差為，數(shù)據(jù)的極差也為.對于數(shù)據(jù)，其極差是這六個數(shù)中的最大值減去最小值，由于前面兩組數(shù)據(jù)的極差相等，所以組合后數(shù)據(jù)的極差依然是，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的極差相等，C選項正確.設(shè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為.設(shè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為.對于數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中位數(shù)不一定是，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定相等，D選項錯誤.故選：ABC12．【答案】AD【詳解】

對于A，如圖1，因,故A正確；

對于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則,于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯誤；對于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點,不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時，故與不垂直，即C錯誤；對于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.13．【答案】【解析】設(shè)點，連接交于，可寫出的坐標(biāo)，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x,y的關(guān)系式，即頂點的軌跡方程.【詳解】設(shè)點，如圖連接交于，由矩形可知為的中點，，連接，在直角中，，則即，整理得，所以頂點的軌跡方程是故答案為：14．【答案】5【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則，解得，故，故,故最小值為：515．【答案】1【詳解】因為向量，所以，，又，所以，，解得.故答案為：.16．【答案】(1)(2)直線的方程為：，【詳解】（1）由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點斜式方程：，化簡整理，得，即為所求的直線方程．（2）由和聯(lián)解，得由此可得直線方程為：，即，，關(guān)于角平分線軸對稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點的坐標(biāo)為．17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，，又代入上式得，所以，由，則為銳角，且，所以.（2）由（1）知，，因為，，所以，則，，故，或（舍去）.所以，又，，由正弦定理得，則，則，由余弦定理得，則，化簡得，解得，所以.故的面積為.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)點Ax1,y1，B由得，，，.由，得切點，，則切線的方程為，代入，得，所以，解得，同理，得切線的斜率，所以.（2）由（1）可得，故，.由（1）得，可化為，①同理得，②由①②，得，，即，則.，所以.由，，得，故，即的取值范圍為.19．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）方法一：在圖1中延長與相交于，延長與相交于，延長與相交于，連接交于，如圖所示，由∽，得，求得．方法二：在圖1中過點作的平行線交于點，連接交于點，如圖所示，易知．（2）在圖2中，以為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，平面即平面，則，設(shè)面的法向量，有，令，則，，設(shè)面的法向量為，有，令，則，．則面與面的夾角的余弦值是．20．【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【詳解】（1）由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域為.