遼寧省沈陽(yáng)市2024−2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試暨假期質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試卷含答案

遼寧省沈陽(yáng)市2024?2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試暨假期質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．給出下列四個(gè)結(jié)論：①“”是“”的充分不必要條件；②若命題，則；③若，則是的充分不必要條件；④若命題q：對(duì)于任意為真命題，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又具有零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．4．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（

）123A． B． C． D．5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)（且）滿足，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且8．已知命題為假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．若隨機(jī)變量，且，則B．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1C．若隨機(jī)事件A，B滿足：，則事件A與B相互獨(dú)立D．已知y關(guān)于x的回歸直線方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為10．已知函數(shù)定義域?yàn)?，?duì)，恒有，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．，則周期為611．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在(0,+∞)上恒成立，則三、填空題（本大題共3小題）12．若數(shù)列an滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則13．某校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)均為，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的．若有的把握認(rèn)為喜歡短視頻和性別相關(guān)聯(lián)，則的最小值為.附，0.050.013.8416.63514．已知函數(shù)，若，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù).(1)求的值(2)若對(duì)于上的每一個(gè)的值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證；數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：.17．已知（1）求的最小值；（2）若在內(nèi)恒成立，求的取值范圍.18．在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處及其附近可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的秦勒展開(kāi)式．(1)分別求在處的泰勒展開(kāi)式；(2)若上述泰勒展開(kāi)式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：．（其中為虛數(shù)單位）；(3)當(dāng)時(shí)，求證：．（參考數(shù)據(jù)）19．現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，n的n個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入n號(hào)盒子為止．(1)當(dāng)時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；(2)當(dāng)時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列；(3)記n號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，求的期望．

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，所以，由，得，所以，所以，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A2．【答案】B【詳解】對(duì)于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要條件，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則且，反之，，，成立，因此是的充分不必要條件，③正確；對(duì)于④，，而，則，④正確，所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2.故選：B3．【答案】B【詳解】解：對(duì)于A，，是奇函數(shù)，但無(wú)零點(diǎn)，不符題意；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是奇函數(shù)，且，所以函數(shù)具有零點(diǎn)，滿足題意；對(duì)于C，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以函?shù)不具有零點(diǎn)，不滿足題意；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，易知函?shù)為偶函數(shù)，不滿足題意.故選:B.4．【答案】C【詳解】由分布列可得，解得，則，所以.故選：C．5．【答案】A【詳解】由為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，可得.由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，可得，故A正確，C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故B，D都錯(cuò)誤.故選：A.6．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且）滿足，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以.故選：C.7．【答案】B【詳解】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可得有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象有以下幾種情況，與的圖象如圖1所示，則在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，對(duì)于的值進(jìn)行分類討論，則：當(dāng)時(shí)，如圖2所示；當(dāng)時(shí)，如圖3所示；當(dāng)時(shí)，如圖4所示；當(dāng)時(shí)，如圖5所示；當(dāng)時(shí)，如圖6所示；對(duì)于圖2，有可能有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)榇嬖谑沟门c二次函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于圖3，因?yàn)閳D象是單調(diào)的，故不可能有兩個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于圖4，可能有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)榇嬖谑沟门c分段函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于圖5，不可能有兩個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于圖6，不可能有兩個(gè)交點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)且成立；故選：B8．【答案】D【詳解】法一：由題可得為真命題，易知滿足，符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可變形為，令，則，當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)x∈1,+∞當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且；當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖①所示，由題可知直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得.法二：由題可得為真命題，即直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn).設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，由，得，則，所以，所以直線與曲線相切，若直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，如圖②所示，則.故選：D.9．【答案】ACD【詳解】因?yàn)?，且，所以有，因此，所以選項(xiàng)A正確；根據(jù)線性相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，因此兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，所以選項(xiàng)B不正確；由，顯然，因此事件A與B相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)C正確；在中，令，得，因此樣本點(diǎn)的殘差為，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD10．【答案】BCD【詳解】在中，令中，得或，A不正確；當(dāng)時(shí)，在中，令中，得，因此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以成立，當(dāng)時(shí)，在中，令中，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，因此成立，B正確；在中，令中，得，令，因?yàn)閤∈R，所以，即有，顯然成立，C正確；當(dāng)時(shí)，在中，令中，得，則有，可得，因此周期為6，D正確，故選：BCD11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，，令可得，令可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，故選項(xiàng)A正確對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得，因此只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：顯然，在單調(diào)遞減，可得，因?yàn)?，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意知：在(0,+∞)上恒成立，令則，因?yàn)橐字?dāng)時(shí).，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)取得極大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12．【答案】/【詳解】當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，.故答案為：13．【答案】20【詳解】根據(jù)題意，列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計(jì)男3m3m6m女4m2m6m合計(jì)7m5m12m，有的把握認(rèn)為喜歡短視頻和性別相關(guān)聯(lián)，即，，解得，又，所以的最小值為.故答案為：20.14．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：15．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由題設(shè)，，∴，即，故，當(dāng)時(shí)，，不成立，舍去；當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證滿足.綜上：.（2）由，即，又為增函數(shù)，由（1）所得f(x)解析式知：上遞增，∴在單調(diào)遞增-故，故.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知得，又，所以作差得，故所以又當(dāng)時(shí)，，又，故故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列（2）由（1）可知：，故所以綜上可知：17．【答案】（1）；（2）?∞,1.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞設(shè)，由得：，由得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，（2）若在內(nèi)恒成立，可得在內(nèi)恒成立，令，，因?yàn)?，所以，，，，所以，可得在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，得，所以，故的取值范圍是?∞,1，18．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在處的泰勒展開(kāi)式為（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），所以，，在處的泰勒展開(kāi)式分別為：；；.（2）把在處的泰勒展開(kāi)式中的替換為，可得，所以，即.（3）由在處的泰勒展開(kāi)式，先證當(dāng)時(shí)，，令，，又，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，再令，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，則，所以.1