遼寧鞍山市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（10月）月考 數(shù)學(xué)試卷含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（10月）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（

）A． B． C． D．4．已知直線，若，則（

）A．或 B． C．或 D．5．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線的一般式方程是（

）A． B．C． D．7．如圖，在直三棱柱中，分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．若，則線段的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．8．如圖，在四棱錐中，平面，是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，若點(diǎn)是中點(diǎn)，則四棱錐體積的最大值是（

）A． B． C． D．1二、多選題（本大題共3小題）9．已知，若過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線：和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線：交于點(diǎn)（與，不重合），則以下說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為2,1 B．C． D．的最大值為510．如圖，已知二面角的棱上有兩點(diǎn)，，，若，則（

）

A．直線與所成角的余弦值為B．二面角的大小為C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的正弦值為11．如圖，M為棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積是定值B．當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍為C．使得直線與平面所成的角為60°的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若為棱的中點(diǎn)，當(dāng)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面時(shí)，的最小值三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)、、，則點(diǎn)A到直線BC的距離為．13．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射到圓上，則光線經(jīng)過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)度為．14．已知梯形如圖1所示，其中，A為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面⊥平面，得到如圖2所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿足時(shí)，平面平面，則λ的值為．

四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)引直線交坐標(biāo)軸正半軸于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長(zhǎng).16．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求三棱錐的體積.17．已知圓滿足：截軸所得弦長(zhǎng)為2；被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，(1)若圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在滿足條件的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．18．如圖，平面ABCD，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn).(1)求證：平面CPM；(2)求平面QPM與平面CPM夾角的大?。?3)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為，求N到平面CPM的距離.19．如圖，在中，是中點(diǎn)，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且；將沿折起，將點(diǎn)折至點(diǎn)的位置，得到四棱錐；(1)求證：；(2)若，二面角是直二面角，求二面角的正弦值；(3)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【詳解】直線，即，設(shè)該直線的傾斜角為，則直線的斜率為，因?yàn)?，所?故選：A.2．【答案】D【詳解】原方程可化為，方程表示圓，則有，即.故選：D3．【答案】A【詳解】若，則，從而，即，解之得：.故選：A4．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，，直線重合，不滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，直線平行，滿足要求，故選：B.5．【答案】C【詳解】化為空間向量問(wèn)題，以作為基底，則，設(shè)向量和的夾角為，則直線和夾角的余弦值等于.進(jìn)行向量運(yùn)算因?yàn)樗拿骟w為正四面體，所以且?jiàn)A角均為，所以.故選：C.【法二】分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，得得.設(shè)向量和的夾角為，則直線和夾角的余弦值等于.進(jìn)行向量運(yùn)算得..故選：C【法三】連接，易得，則直線和夾角即為直線和所成角或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則中，，由余弦定理得，.故選：C6．【答案】A【詳解】可化為，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，即有，解得，此時(shí)直線為，化簡(jiǎn)得.故選：A.7．【答案】A【詳解】在直三棱柱中，，以A為原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．由于，所以，解得，所以線段的長(zhǎng)度為．故選：A．8．【答案】B【詳解】因?yàn)槠矫媲宜砸詾檩S建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)橐阎猀是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，所以設(shè)，其中且（即點(diǎn)Q在平面且內(nèi)部），則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面的法向量為，又因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，即，由題易得，令，則，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼谴笮?，所以，即，解得①，因?yàn)辄c(diǎn)M是PC中點(diǎn)，所以M到平面的距離為，所以要使得四棱錐體積的最大，則，即要取到最大值，由①知時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)不在四邊形內(nèi)部，矛盾，故當(dāng)時(shí)，體積取到最大值，此時(shí)點(diǎn)，所以，故選：B.9．【答案】ABC【詳解】因?yàn)榭梢赞D(zhuǎn)化為，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；又因?yàn)椋?，即恒過(guò)定點(diǎn)，由和,滿足，所以,可得,故B選項(xiàng)正確；所以,故C選項(xiàng)正確；因?yàn)?設(shè)為銳角,則,，所以,所以當(dāng)時(shí),取最大值,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．【答案】AB【詳解】過(guò)作,且，連接,如圖，

則四邊形是平行四邊形，即,是直線與所成角或補(bǔ)角，因?yàn)閯t而平面,所以平面，又因?yàn)槠矫?所以,A正確；因?yàn)樗远鴦t是二面角的平面角，又因?yàn)?所以,即為正三角形，，B正確；因?yàn)槠矫?，，所以平面平面，在平面?nèi)過(guò)點(diǎn)作于,于是得，C錯(cuò)誤；連接，因?yàn)?，則是直線與平面所成角，，D錯(cuò)誤；故選:AB.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌嬲叫蔚拿娣e不變，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，又到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，故四棱錐的體積不變，故A正確；對(duì)于B，由于，故與所成的角即為與所成的角，當(dāng)在端點(diǎn)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)所成的角最小，最小為，當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，所成的角最大，最大為，故與所成角的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由于在正方體表面上，若直線與平面所成的角為60°，則，故以為圓心，以為半徑作球，與棱相交于點(diǎn)，則的軌跡為線段，以及在平面內(nèi)以為圓心、為半徑的圓弧，如圖①，故的軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；

分別取、、、、的中點(diǎn)、、、、，由正方體的性質(zhì)可知、、、、，六點(diǎn)共面，且為正六邊形，如圖②，由中位線定理，，平面，平面，所以平面，同理平面，且，平面，所以平面平面，在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以軌跡為線段，取中點(diǎn)，連接，則平面，故故當(dāng)最小時(shí)，最小，由于故，故當(dāng)為時(shí)，的長(zhǎng)最小，此時(shí)，故最小為，D正確．

故選：ACD．12．【答案】/【詳解】依題意，，所以點(diǎn)A到直線BC的距離.故答案為：13．【答案】【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，可得，解得，，即，點(diǎn)為入射點(diǎn)，光線經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，由對(duì)稱性和圓的性質(zhì)，可得，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，光線經(jīng)過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)度為，又由，可得，即最短路徑的長(zhǎng)度為.故答案為：.14．【答案】/【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴則，若是平面的一個(gè)法向量，則可得，若是平面的一個(gè)法向量，則可得由平面平面，得，即，解得．故答案為：.15．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：由可得：，令，所以直線過(guò)定點(diǎn)．（2）由（1）知，直線恒過(guò)定點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)直線與軸，軸正半軸交點(diǎn)分別為，令x=0，得；令，得，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積最小，此時(shí)，，，的周長(zhǎng)為.所以當(dāng)面積最小時(shí)，的周長(zhǎng)為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖，正方體中,為的中點(diǎn)，連接交于O，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)，知道垂直于上下底面，且，則兩兩垂直.則可以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于棱長(zhǎng)為2，則面對(duì)角線為.因此涉及的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)為，則.則，則異面直線與所成角的余弦值為的余弦值為.（2）根據(jù)題意，知道，顯然.由正方體結(jié)構(gòu)特征知，面，則到平面的距離為.故.故三棱錐的體積為.17．【答案】(1)或(2)或【詳解】（1）設(shè)圓心為，半徑為，則到到軸，軸距離分別為和．由題設(shè)知，圓截軸弦長(zhǎng)為,所以，圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角，故圓截軸所得弦長(zhǎng)為．所以，故，又因?yàn)閳A心在直線上，則，解得：或所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）由（1）知：，又因?yàn)閳A心到直線的距離為：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．此時(shí)或且，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接EM，證得，利用線面平行判定定理即可證明平面MPC；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.（3）設(shè)，則，從而，由（2）知平面PMQ的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，求出，進(jìn)而得到，利用點(diǎn)到平面距離公式求出答案.【詳解】（1）證明：連接EM，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以四邊形PABQ為平行四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)E和M分別為AP和BQ的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)椋?，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以且，可得且，即四邊形EFCM為平行四邊形，所以，又平面MPC，平面MPC，所以平面MPC.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，，故以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，，，，，，，，，，，設(shè)為平面PQM的法向量，則，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面PMC的法向量，則，不妨設(shè)，可得.所以，設(shè)平面PQM與平面PMC夾角為，所以，即平面PQM與平面PMC夾角的正弦值為.（3）設(shè)，即，則.從而.由（2）知平面PMQ的法向量為，而直線DN與平面PMQ所成的角為，所以，即，整理得，解得或，因?yàn)?，所以，所以，，由?）知：為平面的法向量，故點(diǎn)N到平面CPM的距離為.19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即平面，平面，又平面，所以?）因?yàn)槎娼鞘侵倍娼牵云矫嫫矫?，又平面平?/p>