2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷含答案

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）點(diǎn)到直線的距離為（）A．1 B．3 C．5 D．72．（5分）圓與圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離3．（5分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）“”是“方程為橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．6．（5分）若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A．2 B．3 C．6 D．87．（5分）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．38．（5分）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．109．（5分）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列2，3，4，5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項(xiàng)分別為，則的最小值為（）A． B． C．1 D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）10．（多選）（5分）下列說法正確的是（）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為C．已知直線，則直線的傾斜角為D．若兩直線與平行，則11．（多選）（5分）已知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A．?dāng)?shù)列的公差為 B．C．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列 D．12．（多選）（5分）已知是左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，下列說法正確的有（）A． B．的最大值為C．存在點(diǎn)，使 D．的最大值為13．（多選）（5分）已知圓，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別是和，下列說法正確的為（）A．圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為 B．四邊形面積的最小值為1C．切線長(zhǎng)的最小值為1 D．直線恒過定點(diǎn)三、填空題：本大題共5小題，共20分．14．（3分）已知直線，則直線過定點(diǎn)為______．15．（3分）與雙曲線共漸近線且過點(diǎn)的雙曲線方程______．16．（3分）在數(shù)列中，，則______．17．（3分）已知為橢圓上的左右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為粗圓上異于的任意一點(diǎn)，直線的斜率分別為，若橢圓離心率為，則為______．18．（3分）已知橢圓和直線，若對(duì)任意的，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．四、解答題：本題共8小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19．（10分）已知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且．（Ⅰ）求的通項(xiàng)；（Ⅱ）求前項(xiàng)和的最大值．20．（12分）如圖，已知等腰直角三角形的斜邊所在直線方程為，其中點(diǎn)在點(diǎn)上方，直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求邊上的高線所在直線的方程；（2）求三角形的面積．21．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，該粗圓經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上的點(diǎn)滿足，求的值．22．（12分）如圖，一拋物線型拱橋的拱頂離水面高4米，水面寬度米．現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱碼成的長(zhǎng)方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長(zhǎng)方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．（1）問船只能否順利通過該橋？（2）已知每加一層貨箱，船只吃水深度增加1cm；每減一層貨箱，船只吃水深度減少1cm．若每層小貨箱高3cm，且貨物與橋壁需上下留2cm間隙方可通過，問船只需增加或減少幾層貨箱可恰好能從橋下中央通過？23．（12分）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長(zhǎng)。預(yù)計(jì)以后每年資金增長(zhǎng)率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費(fèi)資金萬元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn)。設(shè)第年年底扣除消費(fèi)資金后的剩余資金為萬元．（1）用表示，并寫出與的關(guān)系式；（2）若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬元，試確定每年年底扣除的消費(fèi)資金的值（精確到萬元）。24．（12分）已知直線與雙曲線（）交于兩點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，且．（1）求雙曲線的方程；（2）若是雙曲線上的兩點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．25．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求；（2）令，記數(shù)列前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．26．（12分）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（3）已知點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，對(duì)于圓上的任意動(dòng)點(diǎn)，都有為定值？若存在求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓心距與兩個(gè)圓的半徑的關(guān)系相等得答案．【解答】解：化圓為，得圓心坐標(biāo)為，半徑；化圓為，得圓心坐標(biāo)為，半徑．，圓與圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定，考查化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題．3．【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出的公差．【解答】解：為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，解得，的公差為4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列公式的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．4．【分析】求出方程為橢圓方程的充要條件，根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：若方程為橢圓方程，則，解得：，且，故“”是“方程為橢圓方程”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查橢圓的定義，是一道基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意可得：數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法求解即可．【解答】解：已知數(shù)列滿足，則，又，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，則．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，屬基礎(chǔ)題．6．【分析】先求出左焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)在橢圓上可得到的關(guān)系式，表示出向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算將的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進(jìn)而可確定答案．【解答】解：由題意，，設(shè)點(diǎn)，則有，解得，因?yàn)?，所以，此二次函?shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力．7．【分析】不妨設(shè)橢圓方程為，半焦距為，且設(shè)，結(jié)合，可得，再將代入粗圓方程，并結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：不妨設(shè)橢圓方程為，半焦距為，且設(shè)，，，解得，在橢圓上，，又，即．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查粗圓的性質(zhì)，考查向量的應(yīng)用，屬于中檔題．8．【分析】方法一：根據(jù)題意可判斷當(dāng)與與關(guān)于軸對(duì)稱，即直線的斜率為1，最小，根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可．方法二：設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為或，利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式分別表示出，整理求得答案【解答】解：方法一：如圖，，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，由圖象知要使最小，則與與關(guān)于軸對(duì)稱，即直線的斜率為1，又直線過點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立方程組則，，，的最小值為，方法二：設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為或，根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，，則，，即，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，或，當(dāng)或時(shí)，的最小，最小為16，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，對(duì)于過焦點(diǎn)的弦，能熟練掌握相關(guān)的結(jié)論，解決問題事半功倍屬于中檔題．9．【分析】先得出遞推公式，疊加法求通項(xiàng)公式，再用基本不等式求最小值即可．【解答】解：數(shù)列前六項(xiàng)分別為，依題知，疊加可得：，整理得，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以等號(hào)取不了，所以最小值在取得，當(dāng)時(shí)，，所以最小值為1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的遞推關(guān)系，考查用函數(shù)方法研究數(shù)列性質(zhì)，屬中檔題．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）10．【分析】直接利用直線間的位置關(guān)系以及直線平行和垂直的充要條件求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于A：直線與“直線互相垂直”的充要條件是：，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：已知直線，則直線的傾斜角為滿足，故傾斜角，故C正確；對(duì)于D：若兩直線與平行，，解得：或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，故舍去，故D正確．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線間的位置關(guān)系，兩直線垂直和平行的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．11．【分析】根據(jù)已知條件求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式，再依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，由題意知，，．公差，故A正確；又，故B正確；由上可知，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為的等差數(shù)列，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)，屬中檔題．12．【分析】由橢圓的定義與性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可．【解答】解：由題設(shè)可得：，由橢圓的定義可得：，故選項(xiàng)A正確；由橢圓的性質(zhì)可知：（當(dāng)為植圓的右頂點(diǎn)時(shí)取“”），故選項(xiàng)B正確；又由橢圓的性質(zhì)可知：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，，即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．13．【分析】對(duì)于A，利用圓心到直線的距離公式，即可求解；對(duì)于B，由圓的性質(zhì)，切線長(zhǎng)，當(dāng)最小時(shí)，有最小值，即可求解；對(duì)于C，四邊形的面積為，即可求解；對(duì)于D，由題可知，在以為直徑的圓上，利用兩圓方程，求得直線的方程，即可求解．【解答】解：對(duì)于A，∵圓，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，直線與圓相離，所以圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，而，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圓的性質(zhì)，切線長(zhǎng)，當(dāng)最小時(shí)，有最小值，又，則，故C正確；對(duì)于B，四邊形的面積為：，因?yàn)椋仕倪呅蔚拿娣e為1，故B正確；對(duì)于D，設(shè)，由題意知在以為直徑的圓上，又，，即，又圓，即，聯(lián)立，相減，即直線的方程為，即，由，解得，即直線恒過定點(diǎn)，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想，屬于中檔題．三、填空題：本大題共5小題，共20分．14．【分析】直線的方程中先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得的值，可得它經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：若，直線，即，令，解得，可得直線恒過定點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】依題意，設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)，代入可求，即可求出雙曲線的方程．【解答】解：設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，．所求的雙曲線方程為：，即故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，設(shè)出所求雙曲線的方程為是關(guān)鍵，屬于中檔題．16．【分析】利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】由題意可得，設(shè)，由題意可得的關(guān)系式，結(jié)合橢圓系數(shù)的關(guān)系和離心率的定義可得。【解答】解：由題意可得，設(shè)，則由在橢圓上可得，直線與的斜率之積為，橢圓離心率為，可得，即，故．即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及橢圓的離心率和直線的斜率公式，屬中檔題．18．【分析】由已知直線過定點(diǎn)，可得在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，然后分類討論得答案．【解答】解：直線恒過定點(diǎn)，要使直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，若橢圓是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則；若橢圓是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則．實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線系方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．四、解答題：本題共8小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式變形有，則公差，可得公差，再由通項(xiàng)公式，即可得到所求；（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，配方得，根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，前項(xiàng)和取得最大值，最大值為4．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得公差，所以；（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，前項(xiàng)和取得最大值，最大值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）利用兩條直線垂直的條件可得的斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與面積公式，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)的斜率為，因?yàn)樾边吽谥本€方程為，所以，又經(jīng)過點(diǎn)，所以，即的直線方程為．（2）由題意知，，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，所以的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程的求法，熟練掌握兩條直線垂直的條件，點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21．【分析】（1）設(shè)出設(shè)出橢圓方程，利用已知條件求出橢圓的幾何量，得到橢圓方程．（2）通過橢圓上的點(diǎn)滿足，利用數(shù)量積為0，求出的縱坐標(biāo)即可，【解答】解：（1）依題意，設(shè)所求粗圓方程為，其半焦距．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以所以，從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）由得即代入粗圓方程得：，故【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用．22．【分析】（1）以為原點(diǎn)，過垂直于的直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，根據(jù)題意知點(diǎn)在拋物線上，求解拋物線方程，設(shè)，過作的垂線，交拋物線于，求出，即可判斷貨箱是否能順利通過該橋．（2）求出貨物超出高度，每減少一層，則船體連貨物高度整體下降，由貨物與橋壁需留下2cm間隙．然后求解需要減少2層可恰好能從中央通過．【解答】解：（1）以為原點(diǎn)，過垂直于的直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，根據(jù)題意知點(diǎn)在拋物線上；；可設(shè)，過作的垂線，交拋物線于，則；貨箱能順利通過該橋．（2）由題（1）知，貨物超出高度為，每增加一層，則船體連貨物高度整體增加，由貨物與橋壁需留下2cm間隙．則需要增加層數(shù)為，答：船只能順利通過該橋，需要增加26層可恰好能從中央通過．23．【分析】（1）根據(jù)題意直接得，進(jìn)而歸納出；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合即可計(jì)算出的值．【解答】解：（1）由題意知，，，，（2）由（1）可得，，則所以，即，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，萬元，故該企業(yè)每年年底扣除消費(fèi)資金為348萬元時(shí)，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．24．【分析】（1）利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出，即可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)直線與的斜率分別為，分類討論：①當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，利用“設(shè)而不求法”求出，判斷出直線過定點(diǎn)．②當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，設(shè)，解得，判斷出直