專題11 （空間直線、平面的垂直）（解析版）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試考前必刷題 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下學(xué)期期末考試考前必刷題11

（空間直線、平面的垂直）

試卷滿分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題

區(qū)書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.（2021?浙江高一期末）三棱錐P—ABC中，若PA=PB=PC,則P在底面ABC上的

投影Q為AABC的（）

A.垂心B.外心C.內(nèi)心D.中心

【答案】B

【分析】

由題意可得QA=Q6=QC,從而可得結(jié)論

【詳解】

解：由題意可得，ZP0A=APQB=APQC=90°,

因?yàn)?=PQ公共邊，

所以△PQA日△PQB回△PQC,

所以=QB=QC,

所以Q為AABC的外心，

故選：B

2.（2021?浙江高一期末）在正方體ABC?！狝gaq中，M是正方形ABCO的中心，則

直線4。與直線gM所成角大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】

如圖，連接B。，MC,MB,利用余弦定理可求的值，從而可得直線4。與直

線4M所成角大小.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,連接gC,MC,MB,

因?yàn)?C//A。，故NCB】M或其補(bǔ)角為宜線4。與宜線旦M所成角.

而4c=2?，MC=6a，BM=jBg+BM?=+2/=瘋,

22

故4c2=BtM+CM,所以MB[±CM,

所以cosNCB]M=*-=與.因?yàn)镹CB|M為銳角，故NC4M=30°,

3.(2021?浙江麗水市?高三期末)已知平面。，直線m,"滿足Wa,〃ua,貝!|“根_1〃"

是“m_La"的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可得答案.

【詳解】

由直線m,c滿足Wa,nua,則加〃時(shí)，m與?？纱怪保赸■不垂直，

當(dāng)m，a,且“ua,根據(jù)線面垂宜的性質(zhì)定理，可以得到加，〃，

所以是"m"La"的必要不充分條件.

故選：B

4.（2020?山東荷澤市?高一期末）如圖所示，已知正三棱柱A8C-A4G的所有棱長(zhǎng)均為1，

則四棱錐A-g8CG的體積為（）

A.且B?逅C.3D.近

12646

【答案】D

【分析】

先確定四棱錐A一片8CG的高，再根據(jù)錐體體積公式求結(jié)果.

【詳解】

取8c中點(diǎn)/，連接AM,

因?yàn)檎庵鵄BC-4gG，所以AABC為正三角形，所以AMJ_3C,

因?yàn)檎庵鵄BC—A旦G,所以平面ABC，平面與BCG，

因此AM_L平面與8CG，

從而四棱錐A-4BCC］的體積為IAM.S…也二正，

3BCC'B,326

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查錐體體積、線面垂直，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5.（2021?陜西西安市西光中學(xué)高二期末（理））在長(zhǎng)方體A5CO-44GA中，

AB=BC=2,A4=1,則AG與平面ABC。所成角的正弦值為（）

A.1B.在C.迪D.也

3334

【答案】A

【分析】

迎接AC，利用線面角定義知NRAC為所求的角，在直角△GCA中，即可求解.

【詳解】

如圖：連接AC,在長(zhǎng)方體A8C0—AAG，中，，CGJ?平面ABC。，

NGAC是ACX與平面A3CO所成的角，

CC11

在直角△C|CA中，sinZC.AC=-4^-3==-.

AgVl+22+223

故選：A.

6.（2021?江西贛州市?（文））如圖是某四面體ABC。水平放置時(shí)的三視圖，圖中網(wǎng)格紙的

小正方形的邊長(zhǎng)為1,則四面體A5CD外接球的體積為（）

D.2()萬(wàn)

【答案】C

【分析】

畫出宜觀圖，判斷出四面體ABCD外接球球心的位置并計(jì)算出半徑，由此計(jì)算出外接球的

體積.

【詳解】

畫出幾何體的直觀圖如下圖所示四面體ABCD：

由三視圖可知A0_L平面ABC，ACA.BC,

所以陋AD±AC,

由于ACnAD=A,所以3CL平面A3。，所以8C_LBD，

所以三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形，

故四面體A8CO外接球的球心為CD的中點(diǎn)0,

CD^y+A2=5,

所以外接球的半徑為r=9,

2

441251254

所以外接球的體積為一萬(wàn)/=一"X——=——.

3386

故選：C

7.（2021?浙江高一期末）在直角三角形A8C中，AC=l,BC=x,D的斜邊A8的中點(diǎn)，

將AABC沿直線CD翻折，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得BC_LAD,則x的取值

范圍為（）

A.（0,1]B.（0,A/2]c.[1,0]D.（0,73]

【答案】D

【分析】

取中點(diǎn)￡，連接。E，AE，若CBLAD，則可證明出3CJ_平面A￡E，則可得

BC1AE,根據(jù)題目中各邊長(zhǎng)的關(guān)系可得出AE，AZ＞關(guān)于x的表達(dá)式,然后在&ADE中，

利用三邊關(guān)系求解即可.

【詳解】

由題意得8C=x,則AO=CD=80=立="，如圖所示，取8c中點(diǎn)E，

2

圖2

翻折前，在圖1中，連接OE，CD,則。E

22

翻折后，在圖2中，若CBLAD.則有:

^BCIDE,BC1AD.ADcDE=D，且AD,DEu平面AOE，

回平面ADE，EBC1AE,

XBC1AE.E為6c中點(diǎn)，^AB=AC=\

在AADE中，由三邊關(guān)系得：①』『+1+］〉Jl—U，②.G+1,

22V422V4

③x〉0；

由①②③可得o<x<G

當(dāng)x=6時(shí)，AO=1,4E=1，EO=1，則AE,D三點(diǎn)共線，同時(shí)滿足BCJ.AO，

所以0<x4百

故選：D.

【點(diǎn)睛】

解答本題的主要思路分析在于將異面直線間的垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直關(guān)系，即作出輔助線。石

與AE，根據(jù)題目條件確定出BC_L平面ADE，得到BCJ.AE,從而通過(guò)兒何條件求解.

8.（2021?北京人大附中高二期末）如圖，在正方體ABC。-4AGA中，AB=6,點(diǎn)P

在平面內(nèi)，4。=30，則點(diǎn)P到BG距離的最小值為（）

A.3亞B.26c.V6D.3

【答案】B

【分析】

可求出P的軌跡為AABR的內(nèi)切圓M,,再將P的軌跡投影到面BDC1上，恰好為ABDC,

的內(nèi)切圓M2,上的切點(diǎn)與M,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為到BCt距離最短的點(diǎn).

【詳解】

①先簡(jiǎn)要說(shuō)明：?面如下

因?yàn)樗倪呅蜛4GR為正方形，故

又GC,面有GC_L4A

故q。，面AG。，故

同理有始4_LAC，故AC1■面AqA

②再簡(jiǎn)要說(shuō)明：面ABQJ/面BOG如下

BD〃BR,故30//面

BC,//AD1,故J3C"/面A8Q

故面A8Q1//面BDC}

③設(shè)a。n面A4A=。

A。Pl而BDC\-0[

ABt=4A=AD,=672

4A=44=4A=6,三棱錐A-4?Q1為正三棱錐，。為AAB]￡>|的內(nèi)心

由等體積法可知匕=—x—x6x6x6=—x—x6\/2x6^2x^-xA.0

…叫32322n

故4。=2百

4產(chǎn)=K+OP?

OP=y/6

的內(nèi)切圓的半徑r=J_x6j5x43="

32

P的軌跡是面A81。上以。為圓心，、笈為半徑的圓，記為

恰好為AABQI的內(nèi)切圓.

又面AB、D\iI面BDC\,AABR全等于ABDC1,（9（2,±面BDC,

故。I也為正AABQI的內(nèi)心

將圓投影到平面BOG上，且圓心為。I，記為圓加2,故知2是ABDG的內(nèi)切三角形

Bq上的切點(diǎn)與上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為到BC,距離最短的點(diǎn).

故則點(diǎn)P到BG距離的最小值等于OQ=4。-24。=&后一46=26

【點(diǎn)睛】

求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面,例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,

我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（2021?江蘇鹽城市?高二期末）在正方體ABCO-AMGA中，若點(diǎn)E,F,G分別為

AB,BC，G2的中點(diǎn)，則（）

A.平面EFG

B.CDJ/平面EFG

C.AG，平面EFG

D.A￡//平面￡FG

【答案】AB

【分析】

作出平面EPG截正方體珠完整截面，然后根據(jù)線面平行、垂直的判定定理判斷.

【詳解】

取。A,AA的中點(diǎn)M,N,P,如圖，則EFMGNP是正方體的截面.

EF〃AC，

8月，底面ABC。，ACu平面A8CO,則_LAC,又AC_L8。，BDcBBi，

BD,BB,u平面BBRD,aAC_L平面BBQQ,而BQu平面BB^D,AC±B]D,

^EFYB.D,同理FMLgO,EFC\FM=F,EF,FMu平面EFG，所以與。_1平

面EEG，A正確；

由CR〃MG,C"仁平面EFG,MGu平面ERG,得C。//平面EFG，B正確；

由AE與GG平行且相等得AECfi是平行四邊形，AC；與EG相交且平分，且AC,與EG

不垂直（可證GE〃6G且BQ得EG，a。），因此CD均錯(cuò).

故選：AB.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查空間線面的平行與垂直關(guān)系，掌握線面平行與垂直的判定定理是解題關(guān)

健，實(shí)際上對(duì)特殊的空間圖形如正方體的性質(zhì)的掌握是本題的關(guān)鍵，方法是作出完整的截面

EFMGNP,然后判斷平行與垂直，對(duì)正方體的截面作出完整的截面后易判斷各種關(guān)系.

10.（2021?湖北襄陽(yáng)市?高三期末）如圖正方體ABC。—44aq的棱長(zhǎng)為2,線段gq,

上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且瓦'=1,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.ACVBE

B.EF//Y?ABCD

C.三棱錐A—3EE的體積為巫

3

D.AAE尸的面積與"SEE的面積相等

【答案】ABC

【分析】

連結(jié)BQ，則AC,平面BBQQ,已，點(diǎn)A、8到直線4。的距離不相等，由此

能求出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖所示:

連結(jié)BD，則AC_L平面8用。。，BDHBR,

AC±BE,EFII平面ABCD,

三棱錐A—尸的體積為匕RFF=~SRFF--AC=--EF-BB,-AC=~

A-Ditr3ADCF232?23

從而A、B、C正確.

?.?點(diǎn)A、8到直線BR的距離不相等，

.?.△AEF的面積與ABEF的面積不相等，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.（2021?湖北宜昌市?高三期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊

AB、BC上（不含端點(diǎn)），且BE=BF.將AAED、ADCF分別沿DE.DF折起，使A、C

兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A',則下列結(jié)論正確的有（）

A.AD1EF

B.當(dāng)BE=BF=1時(shí),三棱錐A'—OEF的外接球的表面積為6〃

C.當(dāng)==；時(shí)，三棱錐的體積為浮

D.當(dāng)5E=5b=，時(shí)，點(diǎn)A'到平面DEF的距離為叵

27

【答案】ABC

【分析】

折疊前有AD回AE,CD0CF,折疊后有A。_LA,E,A,。_LA,F,從而可證得A'。，面A'。，

即可判斷A；當(dāng)跖=BR=1時(shí)，B、A、C三點(diǎn)重合，所以AO,AE,A尸兩兩垂直，所以

三棱錐A'-DEF的外接球就是以ARAKAN為相鄰的長(zhǎng)方體的外接球，計(jì)算即可判斷

B,由等體積VA，_EF0=/_A，EF，計(jì)算可判斷C、D.

【詳解】

NE4'O=NE4'O=90°,

A'DJLA'E,A'D±A'F,A'E^A'F=A',

??.AOLffifAEF，:.A'D±EF,

所以A正確.

當(dāng)8￡=8b=1時(shí)，B、A、C三點(diǎn)重合，所以A'O,AE,Af兩兩垂直，所以三棱錐

A'-DEF的外接球就是以A'D,A'E,A'F為相鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球.所以外接求的直徑

為2R=Vl2+l2+22=R，則表面積為S=4萬(wàn)A?=6%,所以B正確;

113

當(dāng)8E=8F=—時(shí),：BE=BF=-,A'E=A'F=-,BE1BF,

222

；.EF=旦?.cosNEA，F(xiàn)=A'E2+A'F2-EF28

22A'EA'F9

sinZE4T=y/l-cos2ZEA'F=—,

9

S/XA,FF=-A'EA'F-sinZEA'F=-x-x-x晅=姮,

△AM222298

〃1°y1拒c歷

=X

「?^A'-EFD=^D-A,EF=T^^A,EFTX2=

JJoQ1Z

設(shè)點(diǎn)4到平面DEF的距離為〃，

.?.V4，￡roaSA￡ra.^lxf2x2-lxlxl-lx2x2x2h=ixZ.A=<

A*D3△的3I22222)3812

,2V17

h--------

7

所以C正確，D錯(cuò)誤；

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

I方法點(diǎn)睛：多面體的外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：

（1）公式法；（2）多面體幾何性質(zhì)法；（3）補(bǔ)形法；（4）尋求軸截面圓半徑法；（5）確定

球心位置法.

12.（2021?江蘇淮安市?）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1,E,F是線段BQ上

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且比=工，則下列結(jié)論中正確的是（）

2

A.ACVBEB.￡尸//平面A8CD

C.△?!￡尸的面積與所的面積相等D.三棱錐E-ABF的體積為定值

【答案】ABD

【分析】

利用線面垂直的性質(zhì)判斷A正確，利用線面平行的判定定理判斷B正確，利用同底不同高

判斷C錯(cuò)誤，利用等底等高證明D正確.

【詳解】

由于AC_L3。,AC，。。-故AC_L平面8。94，所以AC_L8￡,所以A正確；

由于EF//BD,所以￡73/平面A8CO,故B正確；

由于三角形AE戶和三角形5EF的底邊都是EF,而高前者是4到后戶的距離，后者是B到

斯的距離，這兩個(gè)距離不相等，故C錯(cuò)誤；

由于三棱錐A-BEF的底面三角形BEF的面積為定值3?但斗|網(wǎng)|.高是A點(diǎn)到平面

BEF也即A點(diǎn)到平面BDDB的距離也是定值，故三棱錐A-BEF的體積為定值.故D正

確.

故選：ABD

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.（2020?陜西西安市?高一期末）已知生?是空間兩個(gè)不同的平面，加，"是空間兩條不同

的直線，給出的下列說(shuō)法：

①若加//a,〃///7,S.m//n,則a/6；

②若m//a,n///3,且/〃_L〃，則。_1_1；

③若機(jī)_La,n±/3,且加〃〃，則a//夕；

④若加_La,nA./3,且〃?_!_〃，則。

其中正確的說(shuō)法為（填序號(hào)）

【答案】③④

【分析】

利用空間線面、面面平行、垂直的性質(zhì)定理和判定定理分別分析四個(gè)命題，得到正確答案.

【詳解】

①〃〃/a,nll/3,且〃2〃〃，則可能相交，故①錯(cuò)誤；

②m//a,〃//，，且，〃_L〃，則?？赡芟嘟唬部赡芷叫校盛阱e(cuò)誤；

n^/3,且〃?〃〃，則a//4，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知③正確；

@m±a.、且加_L〃，則。_1_，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知④正確.

故答案為：③④.

14.（2021?卓尼縣柳林中學(xué)高一期末）如圖所示，AB是O。的直徑，平面O。，C

為圓周上一點(diǎn)，AB=5cm,AC=2cm,則3到平面PAC的距離為.

［答案］

【分析】

線面垂直的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理，證得BCJ,平面R4C,得到8c為

點(diǎn)5到平面PAC的距離，在山角AABC中，結(jié)合勾股定理，即可求解.

【詳解】

由Q4_L平面。。，可得PA_L平面ABC,因?yàn)锽Cu平面ABC，所以Q4J,3C，

又由AB是。。的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，可得ACJ.8C,

因?yàn)镻ADAC=A且AC,PAu平面PAC,所以3c，平面PAC,

所以8c為點(diǎn)B到平面PAC的距離，

在直角AABC中，AB=5cm，AC=2cm,可得BC=JAB?-AC?=后.cm-

故答案為：y/21cm

15.（2021?江西景德鎮(zhèn)市?景德鎮(zhèn)一中高一期末）在三棱錐S-A6C中，

SA=SB=AC=BC=2,SC=l,二面角S-AB-C的大小為6（T，則三棱錐S—ABC

的外接球的表面積為.

52

【答案】丁

【分析】

取A8中點(diǎn)F,SC中點(diǎn)E,連接S￡CF,由題意可得NSFC=60。，求出M8C的外接圓半

徑，在四邊形。O|CE中，設(shè)NOCE=a,外接球半徑為A,利用正弦定理求解球半徑，

代入球面積公式即可.

【詳解】

取A8中點(diǎn)F,SC中點(diǎn)E,連接SR,CE,如圖,

因?yàn)?4=S3=AC=5C=2,貝ijSF±AB,CFA.AB

NSR7為二面角S-AB-C的平面角，即/SFC=60。，

又5C=1.

AB=2』，

設(shè)M8C的外心為。一外接圓半件為，三棱錐S-ABC的外接球球心為。,

則OO]±平面ABC,OE±SC,

由產(chǎn)=(6)2+”—])2nr=2,

在四邊形。QCE中，設(shè)NOCE=e,外接球半徑為R,

1

2

m23

則---=----------=>cosa=J——,

cosacos(^-a)怩

則一棱錐S-ABC的外接球的表面枳為44代=—開.

3

52

故答案為：71

3

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取A8中點(diǎn)F,5c中點(diǎn)E,連接",6,證明NSFC為二面角S—AB—C的

平面角，再利用其大小為60。，結(jié)合5。=1,解出AB=2g，是解決本題的前提和關(guān)鍵，

屬于中檔題.

16.（2021?河南駐馬店市?高一期末（理））如圖，已知在正方體ABC。-AgCQ中，43=4,

點(diǎn)E為棱CC；上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面8EA與棱A4交于點(diǎn)F，給出下列命題:

①無(wú)論￡在CC如何移動(dòng)，四棱錐B「8EQF的體積恒為定值;

②截面四邊形8E2F的周長(zhǎng)的最小值是86i

③當(dāng)E點(diǎn)不與C,G重合時(shí)，在棱AD上恒存在點(diǎn)G,使得CG〃平面8EQ；

④存在點(diǎn)E，使得與。，平面AQE；其中正確的命題是

【答案】①②④

【分析】

由題意逐個(gè)討論所給的命題，判斷它們的真假.第一個(gè)根據(jù)等體積法求體積，第二個(gè)求周長(zhǎng)

函數(shù)關(guān)系式，再求最小值，第三個(gè)利用反證法確定真假，第四個(gè)舉例說(shuō)明存在.

【詳解】

解:①由題意可得。尸回BE，如圖建立坐標(biāo)系:

AAF=C.Ef四邊形REBb為平行四邊形

一*0EB-°4FB

=

…V^-BED/2VB「RED]

又.：VBLBEDI=；?S.4BBM（4為E到平面A3用距離）且CCJ/BB,

.■.CC|上點(diǎn)到平面RBBi距離相等

，無(wú)論E在C￡上何處，《不變

：,VB「BED1不變

?''V1sl-8ERF不變

故①正確

②由①知：四邊形已血尸的周長(zhǎng)=2（|。閩+但邳）

設(shè)IG同="2，則IA同="2+加，\EB\=,4?+（4-"?『

等價(jià)于y=4上點(diǎn)（皿4）到（0,0）與（4,0）距離

,此時(shí)m=2

耳=26

二周長(zhǎng)最小為4x2石=8石

故②正確

③在DXF上尋找一點(diǎn)H，使H到AD的距離為CE距離

HE回CG,且HE在平面口EB<|>

但當(dāng)CE<2時(shí)，GE=AF>2,HG=CE<2與HG>AF>2矛盾

故③錯(cuò)誤；

④當(dāng)E與C重合時(shí)，顯然與。八AD,,BQ八AC

與￡>_L平面A￡）|E

故④正確

綜上可得:正確為①②④.

故答案為:①②④.

【點(diǎn)睛】

考查正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能

力.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.（2020?江蘇鹽城市?高一期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,

NBCr>=120°,側(cè)面底面ABC。，PB=2?AB=AC=PA=2.

（1）求證：8。，平面24c

（2）過(guò)AC的平面交PD于點(diǎn)M,若%_/>AC=；/_AS，求三棱錐P—AMC的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）走

3

【分析】

（1）由菱形的性質(zhì)有3。_LAC,勾股定理知Q4LAB.結(jié)合面面垂直的推論可得

PALBD，根據(jù)線面垂宜的判定證垂宜即可；（2）由K4_LimA3C￡>即可計(jì)算匕“8,結(jié)

合已知條件可求三棱錐P-4WC的體積；

【詳解】

（1）由題意知：底面ABC。是菱形，且A3=AC=2.

0BD1AC,又在回m5中AB=B4=2，PB=2721即NR48=90°,

^PA±AB，又面PA8_L面ABCD，面％8D面ABC￡）=AB，QAu面外8,

田/^JjIiABC。，而3Ou面ABC。，有：PA1BD，PAC\AC=A,

I38DJ_平面尸AC；

ii9/o

(2)由(1)知：小_1面438,有％“°^-\PA\-S*/,=—x2x2x2xsin60°=上，

?Vp—AMC=

【點(diǎn)睛】

本題考查了應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，及線面垂直的判定證明垂直，根據(jù)已知體積關(guān)系結(jié)合三棱

錐的體積公式求三棱錐的體積.

18.（2019?陜西渭南市?高一期末）如圖所示:在三棱錐V-A5C中，平面憶4B平面ABC,

為等邊三角形，ACLBC且AC=BC=&，。,加分別為AB,憶4的中點(diǎn).

（1）求證：平面MOC,平面必記；

（2）求三棱錐V—A8C的體積.

【答案】（1）詳見解答；（2）且.

3

【分析】

（1）由已知可得OCLAB,再由面面垂直定理可得0。_1平面必$,即可證明結(jié)論;

（2）OCJ_平面L4B，用等體積法求三棱錐V—ABC的體積.

【詳解】

（1）47=8。,。為45中點(diǎn)，.?.0。_1M,

平面憶48,平面ABC,平面以LBD平面ABC=A3，

OCu平面ABC,:.OC±平面VAB,:.OCu平面MOC,

平面MOCL平面例B：

（2）ACL8C且AC=BC=0，O分別為A3的中點(diǎn)，

OC=1,AB=2,SAVAB=^-x2x^3=V3,

OC1■平面,KABC=%VAB=1xOCXS.VAB=—?

V-ADLC-VAD3tsVAD3

”-正

-vV-ABC-3?

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直證明，注意空間垂直間的相互轉(zhuǎn)化，考查椎體體積，意在考查直觀想象、

邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2021?浙江高一期末)如圖，已知AB_L平面BCABCLCZ).

(0)求證：平面ABC_L平面ACO；

(回)若AB=J^BC，求二面角A-CO—3的大小.

TT

【答案】(團(tuán))證明見解析：(團(tuán))-

3

【分析】

(0)根據(jù)ABLCD和8cl.8證明C￡)_L平面ABC，即可證明；

(E))由題可得NACB即為二面角4一。。一3的平面角，根據(jù)已知求解即可.

【詳解】

(0)VAB上平面BCD，CDu平面BCD,?.AB±CD，

BCLCD,ABcBC=B,

\C￡)A平面ABC,

.CDu平面AC。，：.平面ABC，平面ACD；

（0）由（1）得CD1■平面ABC,

?.?ACu平面ABC,..CCAC，

?.?3CL8,二乙4。8即為二面角A—CD—B的平面角，

在直角三角形ABC中，AB=6BC，則tan/4C8=——=J3,

BC

7Tjr

:.ZACB^~,即二面角A-CD—3的大小為一.

33

20.（2020?山東德州市?高一期末）如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形A8Q9是邊長(zhǎng)為2

的正方形，ARW為等邊三角形，E,尸分別為PC和3。的中點(diǎn)，且EhCD.

（1）證明:8,平面尸4）;

（2）求點(diǎn)C到平面PDB的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）2叵

7

【分析】

（1）連接AC,分別證得石廠LCD和/%_LCD,利用線面垂直的判定，即可求解.

（2）利用等積法，即可求解.

【詳解】

（1）如圖所示，連接AC,由ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，

因?yàn)槭荁DIKj中點(diǎn)，可得AC的中點(diǎn)，

在△PAC中，因?yàn)槔ナ謩e是PC,AC的中點(diǎn)，可得EF//PA,

又因?yàn)樗?,所以Q4_LCD,

又由且A￡>nAP=A,所以平面B4O.

（2）如圖所示，取AO中點(diǎn)O,連接P。，

因?yàn)椤?4。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以POLAO且「。=百，

由（1）知平面;R4DL'F面ABCD，所以PO_L平面A3CD，

111)/Q

可得LBDC=-SBDC-PO=-x-x2x2xV3=—,

r-o￡/c3ABDL32Y3

連接。8，則O3=J")2+AB2=#)，所以PBu^PO2+OB)=2近，

又BD=y]AB2+AD2=272，

乂PD=2,所以S/B0=gx2xJ(2后)2—1=5,

設(shè)點(diǎn)C到平面尸￡出的距離為〃，則%―.=1*5/7*〃=包,

C"33

即回=空,解得〃=冬旦

337

P

21.（2021?江西景德鎮(zhèn)市?高一期末）一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板（如圖1）,NABC為直角，NA=60。，

NDEF為直角,DE=EF,BC=DF,把BC與DF重合，拼成一個(gè)三棱錐（如圖2）,設(shè)

M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn).

（圖1）（圖2）

（1）求證：平面A8CL平面￡MN；

（2）設(shè)平面ABED平面MNE=/,求證：I〃AB.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【分析】

（1）只要證明MN_LBC,ENLBC,即得；

（2）由（1）知MM3A8,可得AB〃平面MNE,又平面A8￡c平面MNE=/,利用線面平行

推導(dǎo)出線線平行即可.

【詳解】

證明：（1）設(shè)8C的中點(diǎn)為N,連結(jié)MN,EN,如圖,

因?yàn)槔茿C的中點(diǎn)，N是8c的中點(diǎn)，

所以MA/EL4B,

因?yàn)锳BB8C,

所以MNSBC,

因?yàn)?E0EC,BE=EC,N是8c的中點(diǎn)，

所以EA/0BC,

又MA/08C,MNcEN=N,MNU平面EMN,EA/U平面EMN,

所