2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若（）A. B.C D.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.3.下列圖象中，能表示定義域和值域均為的函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.5.“且”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知，且，則最小值為（）A45 B.42 C.40 D.387.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.8.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.1,+∞ B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列命題為真命題的是（）．A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則10.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.不等式的解集為D.若不等式的解集為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)集合，，若，則______.13.當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過定點(diǎn)___________14.若，則的最小值是_____．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）比較與的大小；（2）已知，求證.16.已知函數(shù).（1）若的解集為，求，；（2）若，，，求的最小值.17.已知函數(shù).（1）利用絕對(duì)值及分段函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)，然后畫出函數(shù)圖象；（2）寫出函數(shù)的值域.18.已知集合.（1）求（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0}，對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，f(2)＝1.(1)證明：(x)是偶函數(shù)；(2)證明：(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(3)解不等式(2－1)<2.20.是“電子不停車收費(fèi)系統(tǒng)”的簡稱.汽車分別通過通道和人工收費(fèi)通道的流程如圖所示.假設(shè)汽車以朝收費(fèi)站正常沿直線行駛，如果走通道，需要在到達(dá)收費(fèi)站中心線前處正好勻減速至，勻速通過“勻速行駛區(qū)間”后，再加速至后正常行駛；如果走人工收費(fèi)通道，需要恰好在中心線處勻減速至零，經(jīng)過繳費(fèi)成功后，再啟動(dòng)汽車勻加速至正常行駛.設(shè)汽車加速和減速過程中的加速度大小均為.求：（1）汽車走人工收費(fèi)通道時(shí)，開始減速的位置距離收費(fèi)站中心線是多遠(yuǎn)；（2）汽車走通道時(shí)，從開始減速到恢復(fù)正常行駛過程中的位移大??；（3）汽車走通道時(shí)，由于繳費(fèi)耽誤的時(shí)間是多少?2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)椤啊钡姆穸ㄊ恰啊?故選：C3.下列圖象中，能表示定義域和值域均為的函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義及給定的定義域和值域，結(jié)合各圖象即可得答案.【詳解】由函數(shù)定義：任意自變量有且僅有一個(gè)函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，排除第三個(gè)圖；第一個(gè)圖中定義域不為，第二個(gè)圖值域不為，所以，只有最后一個(gè)圖滿足題設(shè).故選：B4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)分母不為零和偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，解得，即函?shù)的定義域?yàn)?故選：C5.“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)與特殊值法判斷即可.【詳解】由“且”能推出“”，因此條件充分；取，時(shí)，“”推不出“且”，因此條件不必要．故選：A．本題考查充分不必要條件的判斷，涉及不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，且，則的最小值為（）A.45 B.42 C.40 D.38【正確答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.【詳解】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：A7.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，則，即；且在內(nèi)單調(diào)遞增，則，；且在內(nèi)單調(diào)遞增，，即；綜上所述：故選：B.8.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.1,+∞ B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)是R上的增函數(shù)，，解得.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列命題為真命題的是（）．A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】AC【分析】AC選項(xiàng)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行證明；B選項(xiàng)，用作差法比較大小；D選項(xiàng)，舉出反例.【詳解】因?yàn)?，且，不等式兩邊同乘以得：；A正確；，由于，，而可能大于0，也可能小于0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，則，由不等式的基本性質(zhì)得：，C正確；當(dāng)時(shí)，滿足，，但，D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A B.C. D.【正確答案】CD【分析】通過判斷具體函數(shù)奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】A.（），則，因?yàn)椋屎瘮?shù)不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；B.（），，函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；C.（），函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)為減函數(shù)，正確；D.，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，又，如圖：根據(jù)圖象函數(shù)為減函數(shù)，正確.故選：CD11.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.不等式的解集為D.若不等式的解集為，則【正確答案】ACD【分析】先根據(jù)題意得出；再由二次函數(shù)的最值的求法可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)基本不等式可判斷選項(xiàng)B，由三個(gè)二次之間的關(guān)系可判斷選項(xiàng)C，由三個(gè)二次之間的關(guān)系及韋達(dá)定理可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，所以，即.對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以不等式的解集為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以方程的兩根為，且，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)集合，，若，則______.【正確答案】1【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t有：若，解得，此時(shí)，，不符合題意；若，解得，此時(shí)，，符合題意；綜上所述.故1.13.當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過定點(diǎn)___________【正確答案】【分析】令可求出定點(diǎn).【詳解】令，可得當(dāng)時(shí)，，所以圖象一定經(jīng)過定點(diǎn).故答案為.14.若，則的最小值是_____．【正確答案】【分析】由已知可知，然后利用基本不等式即可求解．【詳解】解：，，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）故答案為．本題主要考查了利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是配湊積為定值，屬于基礎(chǔ)試題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）比較與的大小；（2）已知，求證.【正確答案】答案見解析【分析】（1）利用作差法比較大小；（2）根據(jù)，得到，再由，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，從而得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋裕?，所以，得證.16.已知函數(shù).（1）若的解集為，求，；（2）若，，，求的最小值.【正確答案】（1），（2）9【分析】（1）根據(jù)題意可知，是方程的兩根，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解；（2）由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，可知，是方程的兩根，則，解得，.【小問2詳解】因?yàn)?，即，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)，時(shí)，的最小值為9.17.已知函數(shù).（1）利用絕對(duì)值及分段函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)，然后畫出函數(shù)圖象；（2）寫出函數(shù)的值域.【正確答案】（1），圖象見解析（2）【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將函數(shù)分成三段，通過描點(diǎn)畫函數(shù)圖象；（2）根據(jù)函調(diào)圖象可得函數(shù)最小值，無最大值，即得函數(shù)值域.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴f(x)=?2x,x<?12,?1≤x≤12x,x>1【小問2詳解】由函數(shù)圖象知，函數(shù)的值域?yàn)椋?8.已知集合.（1）求（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先化簡集合A，然后根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求出，最后再求.（2）由題意可知或，解不等式即可.【小問1詳解】解：，，則.【小問2詳解】集合，，若，則，即；若則解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0}，對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，f(2)＝1.(1)證明：(x)是偶函數(shù)；(2)證明：(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(3)解不等式(2－1)<2.【正確答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）令，求得，再由，求得，進(jìn)而得出，即可得到證明；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)的為單調(diào)遞增函數(shù)；（3）由（1）（2）可把不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得，結(jié)合，即可求解.【詳解】(1)證明令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)．(2)證明設(shè)x2>x1>0，則f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()，∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(3)解∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.又∵f(x)是偶函數(shù)，∴不等式f(2x2－1)<2可化為f(|2x2－1|)<f(4)．又∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上增函數(shù)，∴|2x2－1|<4.解得－<x<，又，解得：即不等式的解集為．本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的定義法證明，以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的定義，合理運(yùn)算、化簡是解答的關(guān)鍵，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.20.是“電子不停車收費(fèi)系統(tǒng)”的簡稱.汽車分別通過通道和人工收費(fèi)通道的流程如圖所示.假設(shè)汽車以朝收費(fèi)站正常沿直線行駛，如果走通道，需要在到達(dá)收費(fèi)站中心線前處正好勻減速至，勻速通過“勻速行駛區(qū)間”后，再加速至后正常行駛；如果走人工收費(fèi)通道，需要恰好在中心線處勻減速至零，經(jīng)過繳費(fèi)成功后，再啟動(dòng)汽車勻加速至正常行駛.設(shè)汽車加速和減速過程中的加速度大小均為.求：（1）汽車走人工收費(fèi)通道時(shí)，開始減速的位置距離收費(fèi)站中心線是多遠(yuǎn)；（2）汽車走通道時(shí)，從開始減速到恢復(fù)正常行駛過程中的位移大?。唬?）汽車走通道