1-加權(quán)余量法和變分原理

加權(quán)余量法和變分原理王曉軍航空科學(xué)與工程學(xué)院固體力學(xué)研究所<<航空工程先進(jìn)數(shù)值計(jì)算技術(shù)>>微分方程組邊界條件A,B為微分算子Ω為體積域或面積域等

Γ為域Ω的邊界應(yīng)力場(chǎng)----彈性力學(xué)溫度場(chǎng)----熱傳導(dǎo)電磁場(chǎng)----電磁學(xué)流速場(chǎng)----流體力學(xué)物理問(wèn)題的微分控制方程<<結(jié)構(gòu)分析中的有限單元法>>

ByXiaojunWang[2009]物理問(wèn)題的微分控制方程應(yīng)力場(chǎng)----彈性力學(xué)溫度場(chǎng)----熱傳導(dǎo)<<結(jié)構(gòu)分析中的有限單元法>>

ByXiaojunWang[2009]物理問(wèn)題的微分控制方程流速場(chǎng)----流體力學(xué)電磁場(chǎng)----電磁學(xué)微分方程的等效積分形式由于微分方程組在域內(nèi)中每一點(diǎn)都必須為零，因此就有其中是函數(shù)向量，它是一組和微分方程個(gè)數(shù)相等的任意（權(quán)）函數(shù)。同樣，在邊界上每一點(diǎn)邊界條件都必須滿足，對(duì)于一組任意(權(quán))函數(shù)V應(yīng)當(dāng)成立微分方程的等效積分形式因此，等效積分形式在很多情況下，可以對(duì)上式進(jìn)行分部積分得到另一種形式關(guān)于u的連續(xù)性降低了，卻提高了對(duì)U和V的連續(xù)性要求。式（**）稱(chēng)為微分方程和邊界條件的等效積分弱形式。加權(quán)余量法在求解域Ω中，若場(chǎng)函數(shù)是精確解，則在域Ω中任一點(diǎn)都滿足微分方程，同時(shí)在邊界上任一點(diǎn)都滿足邊界條件式，此時(shí)等效積分形式或等效積分弱形式必然嚴(yán)格地得到滿足。但是對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此,人們需要設(shè)法找到具有一定精度的近似解。加權(quán)余量法加權(quán)余量法伽遼金（Galerkin）法

彈性力學(xué)的基本方程和相應(yīng)的邊界條件，把彈性力學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解偏微分方程的邊值問(wèn)題。自從建立彈性力學(xué)以來(lái)，人們用各種偏微分方程的解法求得了許多彈性力學(xué)問(wèn)題的解析解。然而，隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)的形狀也越來(lái)越復(fù)雜，很多問(wèn)題得不到解析解，因而需求助于數(shù)值解，而變分原理則是許多數(shù)值解的基礎(chǔ)。彈性力學(xué)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上就是空間連續(xù)場(chǎng)的確定問(wèn)題。變分法就是把它歸結(jié)為一個(gè)泛函變分的極值問(wèn)題或駐值問(wèn)題。變分原理

討論一個(gè)連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的“變分原理”首先要建立一個(gè)標(biāo)量泛函∏，它由積分形式確定其中u是未知函數(shù)，F(xiàn)和E是特定的算子，Ω是求解域，Γ是Ω的邊界。∏稱(chēng)為未知函數(shù)u的泛函，隨函數(shù)u的變化而變化。連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的解u使泛函∏對(duì)于微小的變化δu取駐值，即泛函的“變分”等于零

這種求得連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題解答的方法稱(chēng)為變分原理或變分法。

變分原理與微分方程和邊界條件是兩種等價(jià)的表達(dá)形式，一方面滿足微分方程及邊界條件的函數(shù)將使泛函取極值或駐值，另一方面從變分的角度來(lái)看，使泛函取極值或駐值的函數(shù)正是滿足問(wèn)題的控制微分方