高考數學二輪復習：函數的圖象與性質-學案講義

rd專題突破

專題一函數與導數

第1講函數的圖象與性質

[考情分析]1.函數的圖象與性質是高考考查的重點和熱點，主要考查函數的定義域與值域、

分段函數、函數圖象的識別與應用以及函數性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）的綜合

應用，難度屬于中等及以上.2.此部分內容多以選擇題、填空題的形式出現，有時在壓軸題的

位置，多與導數、不等式、創(chuàng)新性問題相結合命題.

考點一函數的概念與表示

【核心提煉】

1.復合函數的定義域

（1）若/（%）的定義域為[如n\,則在中，由加Wg（%）w〃解得x的范圍即為八米%））的定義

域.

（2）若/（g（x））的定義域為[徵，〃],則由mWxW〃得到g（x）的范圍，即為?x）的定義域.

2.分段函數

分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，值域等于各段函數值域的并集.

例1（1）（2023?南昌模擬）已知函數人x）的定義域為（1,+8）,則函數代勸=/（2，—3）+產G的

定義域為（）

A.（2,引B.（-2,3]

C.[-2,3]D.（0,3]

答案A

[2X-3>1,fx>2,

解析由題可知，\、1今2aW3,故函數F（x）的定義域為（2,3].

13一九三0]xW3

（一1+7,

（2）（2023?重慶模擬）設〃>0且若函數於）=?’的值域是⑶+oo）,貝?〃

[3十log。X,x>2

的取值范圍是（）

A.[^2,+8）B.（1,也）

C.（1,^2]D.（卷+8）

答案c

_x+7,xW2,

,m>0且aWl)的值域是［5,+°°),

{3+logaX,x>2

故當xW2時，滿足式x)=7-x25.

若a>l,/(x)=3+logG在它的定義域上為增函數，

當x>2時，由式x)=3+log“x25,

得log。22,logfl222,

；.l<aWp.

若0<a<l,Kx)=3+log°x在它的定義域上為減函數，/(x)=3+logflx<3+logfl2<3,不滿足其尤)

的值域是［5,+00).

綜上可得l<aWp.

規(guī)律方法(1)形如黃g(x))的函數求值時，應遵循先內后外的原則.

(2)對于分段函數的求值(解不等式)問題，必須依據條件準確地找出利用哪一段求解.

［x~3,%210,

跟蹤演練1⑴(2023?濰坊模擬)設函數加)=L一、、s則型)等于()

x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

解析因為於戶fx疏—3+,4x))2,10.<,10,

則18)=歡12))=犬9)=州13))

=<10)=7.

(2)(多選)設函數式X)的定義域為。，如果對任意的Xd。，存在yG。，使得八x)=—%)成立，

則稱函數1X)為函數”.下列為函數”的是()

A./(x)=sinxcosxB.式無)=lnx+e*

C.fix')—2KD.fix')—x1—lx

答案AB

解析由題意，得函數"的值域關于原點對稱.A中&)=sinxcosx=；sin2xG1,

其值域關于原點對稱，故A是函數”；B中，函數八x)=lnx+e，的值域為R,故B是“M

函數”；C中，因為式0=2工>0,故C不是函數”；D中，八x)=K—2x=(x—Ip—1N—

1,其值域不關于原點對稱，故D不是函數”.

考點二函數的圖象

【核心提煉】

1.作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、

伸縮變換、對稱變換.

2.利用函數圖象可以判斷函數的單調性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點.

例2(1)(2023嚀波十校聯考涵數段)=ln|Rcos(1+2x)的圖象可能為()

答案A

解析因為函數/(x)=ln|刃85e+2%)

=—In|x|sin2x,定義域為(一8,0)U(0,+°°),

且共一x)=—In|一%|sin(-2x)=ln|x|sin2x=—fix),

所以函數兀r)為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除選項B,D；

當x￡(0,l)時，In|x|<0,sin2x>0,

所以1%)=-In|x|sin2x>0,故排除選項C.

--4%,

右*X\<冗2<%3<^4，月^=f(X2)=

{|10g2%bX>0,

加3)="工4)，則下列結論正確的是()

A.x\~\~X2=-4

B.13%4—1

C.1<X4<4

D.0<%IX2%3%4W4

答案AB

f—R—4%,

解析函數加)=[?'八’的圖象如圖所示,

L|10g2X|,X>0

設1Xl)=/(無2)=/(X3)=/(X4)=f,則0<f<4,

則直線y=f與函數y=/(x)的圖象的4個交點橫坐標分別為xi,及，心，x4,

對于A,函數y=—f—4x的圖象關于直線x=-2對稱，則為+苫2=—4,故A正確；

對于B,由圖象可知|10g2X3l=|10g2%4］,且0<尤3<1<%4,

所以一10g2X3=10g2X4,即log2(X3%4)=0,所以尤3%4=1,故B正確；

當xWO時，—(x+2)2+4^4,

由圖象可知log2X4d(0,4),則故C錯誤；

由圖象可知一4<%1<一2,

所以XIMX3X4=XI(—4—尤1)=—xi—4xi=—(XI+2)2+4e(0,4),故D錯誤.

規(guī)律方法(1)確定函數圖象的主要方法是利用函數的性質，如定義域、奇偶性、單調性等,

特別是利用一些特殊點排除不符合要求的圖象.

(2)函數圖象的應用主要體現為數形結合思想，借助于函數圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關

不等式恒成立、最值、交點、方程的根等問題.

跟蹤演練2(1)(2022?全國乙卷)如圖是下列四個函數中的某個函數在區(qū)間［—3,3］的大致圖

象，則該函數是()

—xi-\~3x

A-y=7+1

_2xcosx

c-產KF

答案A

解析對于選項B,當x=l時，y=0,與圖象不符，故排除B；對于選項D,當x=3時，y

=1sin3>0,與圖象不符，故排除D；對于選項C,當0<x法時，0<cosx<l,故》=筆詈

〈盧*W1,與圖象不符，所以排除C.故選A.

[—lx,—IWXWO,

(2)已知函數八x)=則下列圖象錯誤的是()

[A/X,0<XW1,

答案D

解析當一1W尤WO時，fix)——lx,表不一條線段，且線段經過(一1,2)和(0,0)兩點.

當0<xWl時，兀0=近，表示一段曲線.函數/(x)的圖象如圖所示.

兀v—1)的圖象可由兀r)的圖象向右平移一個單位長度得到，故A正確；八一x)的圖象可由人x)

的圖象關于y軸對稱后得到，故B正確；由于大尤)的值域為[0,2],故兀t)=|/(x)|,故依叫的圖

象與犬犬)的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中川尤|)的圖象不正確.

考點三函數的性質

【核心提煉】

1.函數的奇偶性

(1)定義：若函數的定義域關于原點對稱，則有

7(x)是偶函數?；?x)=?=Akl)；

?x)是奇函數0/(—x)=—fix).

(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數性質法(如奇函數X奇函數是偶函數).

2.函數單調性判斷方法：定義法、圖象法、導數法.

3.函數的周期性

若函數/(x)滿足/(x+a)=/(；La)或/(x+2a)=/(x),則函數y=/(X)的周期為21al.

4.函數圖象的對稱中心和對稱軸

(1)若函數/(x)滿足關系式黃。+龍)+黃。一尤)=2b,則函數y=Kx)的圖象關于點(a,b)對稱.

(2)若函數人x)滿足關系式y(a+x)=y(6—x),則函數y=/(x)的圖象關于直線對稱.

考向1單調性與奇偶性

例3(2023-泰安模擬)已知奇函數/(x)在R上是減函數，g(x)=^x),若a=g(—log25.l),b=

g(3),c=g(2"),則0,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.b<a<c

答案D

解析因為/(x)為奇函數且在R上是減函數，

所以六一無尸一加)，且當x>0時，於)<0.

因為g(x)=xj[x),

所以8(一月=-求一尤)=對(力，

故g(x)為偶函數.

當x>0時，g'(無)=黃尤)+對''(尤)，

因為五犬)<0,/(x)<0,所以g'(勸<0.

即g(x)在(0,+8)上單調遞減.

a=g(—log25.1)=g(log25.1),

因為3=Iog28>log25.l>log24=2>20-8,

08

所以^(3)<g(log25.1)<g(2),即b<a<c.

考向2奇偶性、周期性與對稱性

例4(多選X2023?鹽城統考)已知函數兀)g(x)的定義域均為R,八x)為偶函數，且兀c)+g(2

—x)=l,g(x)—Xx—4)=3,下列說法正確的有()

A.函數g(x)的圖象關于直線x=l對稱

B.函數五x)的圖象關于點(一1,一1)對稱

C.函數/(x)是以4為周期的周期函數

D.函數g(x)是以6為周期的周期函數

答案BC

解析對于A選項，因為式劃為偶函數，

所以八一x)=/(x).

由式x)+g(2—x)=l,

可得八一x)+g(2+尤)=1,

可得g(2+x)=g(2—x),

所以函數g(x)的圖象關于直線x=2對稱，A錯誤;

對于B選項，因為g(x)—八工-4)=3,

則g(2一尤)一八一2-x)=3,

又因為y(x)+g(2—x)=i,

可得於O+八一2—X)=—2,

所以函數/(x)的圖象關于點(一1,—1)對稱，B正確；

對于C選項，因為函數段)為偶函數，

且兒D十五—2—x)=-2,

則人x)+?r+2)=—2,

從而尤+2)+y(x+4)=—2,

則“x+4)=/(x),

所以函數?r)是以4為周期的周期函數，C正確；

對于D選項，因為g(無)一4)=3,

且八x)=/(x—4),

所以g(x)~f(x)=3,

又因為y(x)+g(2—尤)=1,

所以ga)+g(2—x)=4,

又因為g(2—x)=g(2+x),

則g(x)+g(x+2)=4,

所以g(x+2)+g(x+4)=4,

故g(x+4)=g(x),

因此函數g(x)是周期為4的周期函數，D錯誤.

二級結論(1)若式x+a)=-/(尤)(或於+。)=點，其中無)#0,則人功的周期為21a.

⑵若?r)的圖象關于直線x=q和1=/?對稱，則/(%)的周期為2|〃一回.

(3)若兀x)的圖象關于點(〃,0)和直線％=/?對稱，則黃x)的周期為4\a-b\.

跟蹤演練3(1)(2023?林芝模擬)已知定義在R上的函數段)在(-8,2］上單調遞減，且於十

2)為偶函數，則不等式八%—1)次2%)的解集為()

A(-8,—|^U(6,+°0)

B.(―0°,—+8)

c(~y1

答案D

解析?函數Kr+2)為偶函數，

/./(-x+2)=>+2),即大2—x)=/(2+x),

函數大力的圖象關于直線x=2對稱，

又???函數式x)的定義域為R,在區(qū)間(一8,2]上單調遞減,

函數人x)在區(qū)間(2,+8)上單調遞增，

,由近尤一1)/2x)得|(x—l)-2|>|2x-2|,

解得1,紅

(2)(多選)已知函數/(x),g(x)的定義域為R,g'(x)為g(x)的導函數,g(x)為偶函數且y(x)+g'(尤)

=2,j{x)—g'(4-x)—2,則下列結論正確的是()

A.g'(x)為奇函數B.犬2)=2

C.g'(2)=2D.fil022)=2

答案ABD

解析..,8(尤)為偶函數，；.8(-%)=8(%),

??—g'(-x)=g'(x),即g'(尤)為奇函數,故A正確；

又兀0+g'(無)=2,(4一%)=2,

伏2)+g'(2)=2,

令x—2,則彳,

卜2)—g‘(2)=2,

解得/2)=2,g'(2)=0,

故B正確，C錯誤；

,?VU)—g'(4—尤)=2,.\/(x+4)—g'(―x)=2,

又g'(無)為奇函數，則五x+4)+g'(x)=2,

又兀v)+g'(尤)=2,

.-->+4)=?,

故式x)是以4為周期的周期函數，

.\/(2022)=/(2)=2,故D正確.

專題強化練

一、單項選擇題

1.(2023?臺州質檢)已知函數同時滿足性質：①A—x)=yu)；②當Vxi,%26(0,1)時,

曲)二段2)<0,則函數於)可能為()

X]%2

A.fix)=jcB.X^)=(2)'

C.fix)—cos4xD./(x)=ln(l—|x|)

答案D

解析①A-x)=/U)說明式x)為偶函數，②VX1,尤2^(0,1),四)["“)<o說明函數在(0,1)上

X1—X2

單調遞減.A不滿足②；B不滿足①；因為危尸cos4尤在(0,習上單調遞減，在保1)上單

調遞增，所以C不滿足②；D滿足①，當xG(0,l)時，式x)=ln(l—x)單調遞減，也滿足②.

2.(2023?成都模擬)要得到函數尸《)2的圖象，只需將指數函數尸的圖象()

A.向左平移1個單位長度

B.向右平移1個單位長度

C.向左平移3個單位長度

D.向右平移義個單位長度

答案D

解析由向右平移g個單位長度，得2)=(；)2廠1.

2X~2~X

3.(2023?南寧模擬)函數加)=J..的圖象大致是()

答案c

2X-2~X

解析

1-X2'

函數定義域為(一8,-1)U(-1,1)U(1,+8),

2r—2工2X—2~X

——火工),

1—X21—X2

函數為奇函數，排除B,D；

23—2-363

/3)=一2=一位，

24-2-417

{4)=]_42=一蚤，

故人3）/4）,排除A.

4.（2023?天津）函數兀0的圖象如圖所示，則危）的解析式可能為（）

5(er-e--r)

A-?一r+2

)

5d+er2

c-小尸FT

一?、5cos%

D.?=T+T

D

解析由題圖知，函數圖象關于y軸對稱，其為偶函數，且人-2）=八2）<0,

A,B為奇函數，排除；

當x>0時，％,即C中的函數圖象在（0,+8）上函數值為正，排除，故選D.

5.（2023?新高考全國I）設函數加）=2總“）在區(qū)間（0,1）上單調遞減，則。的取值范圍是（）

A.（-8,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+8）

答案D

解析函數y=2]在R上是增函數，而函數於）=2M廠0在區(qū)間（0,1）上單調遞減，

則函數y=x（x—〃）=1%——點在區(qū)間（0』）上單調遞減，

因此拉1,解得心2,

所以〃的取值范圍是[2,+°°）.

Inx,冗21,

6.（2023?大慶模擬）已知函數段）=<0，Of若12〃一1）—1<0,則實數〃的取值范圍

x,x<0,

是（）

e+l,

A.F，+°0

——￡)u0,e+1

B.~2~

e+1

C.0,~T~

e+1

D.—8,-y

答案D

解析因為犬2°—1)—1W0今犬2°—1)W1.

①當2a—121時，

e+1

fila-l)=ln(2〃一1)W1n1

②當0W2a—1<1,即吳°<1時,

犬2a—1)W1恒成立.

③當2a—1<0,即'時,

fi2a—1)W1怛成立.

e+1

綜上所述，

7.(2023?大連模擬)已知對于每一對正實數無，y,函數小)都滿足：加)+處)=加+》)一孫一1,

若共1)=1,則滿足/i>)=w(〃GN*)的〃的個數是()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析令y=l得40+；U)=Ax+l)—無一1,

即人《+1)—XX)=%+2,

故當xGN*時，>+1)-?>0,

又犬1)=1,式2)=4,故人x)>0在xGN*上恒成立，且五尤)在xGN*上單調遞增，所以滿足加1)

="(wGN*)僅有式1)=1,即〃僅有1個.

8.(2023?西安模擬)已知函數應x)及其導函數/'(%)定義域均為R,記函數gCr)=f(x),若函

,3、2024

數的圖象關于點(3,0)中心對稱,g(2x+]J為偶函數,且g⑴=2,g(3)=-3,則石g(份等

于()

A.672B.674C.676D.678

答案D

解析因為兀r)的圖象關于點(3,0)中心對稱,

所以兀c+3)=-A—x+3),則犬x)=-A—尤+6),

所以/(x)=/'(—x+6),即g(x)=g(—x+6),

所以g(x+3)=g(—x+3),

所以函數g(x)的圖象關于直線x=3對稱.

又gg+2x)為偶函數，

所以2x^,

所以g(x)的圖象關于直線x=|對稱，

所以g(x+3)=g?+|—X)=g?—|+x)=g(x),

所以g(x)的周期為T=3.

由g(l+j=g(1—j,得g(2)=g(l)=2.

又g(3)=-3,所以g(l)+g(2)+g(3)=l.

2024

故3g/)=[g(l)+g(2)+g(3)]X674+g(l)+g(2)=674+4=678.

二、多項選擇題

9.(2023?大同模擬)十九世紀德國數學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數"。(x)=

”,xCQ,

八ec它在現代數學的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數式x)=/—O(x),則下列函

[0,XGIRQ,

數/U)的函數值可能是()

A.3B.2C.1D.0

答案ABD

—],x￡Q,

解析由題意可知危)=1—?P

丫，RQ.

所以月1)=12—1=0,人也)=陋)2=2,五小)=(/)2=3,而y(x)=l無解.

相2—2Wx<l

10.已知函數兀r)=|關于函數/(x)的結論正確的是()

[―尤十2,無三1,

A.八元)的定義域為R

B.八龍)的值域為(-8,4]

C.若大勸=2,則x的值是一g

D.?<1的解集為(一1,1)

答案BC

%2_2Wx<l

,’的定義域是[—2,+8）,故A錯誤；

{一x十2,尤31

當一2Wx<l時，式x）=/的值域為[0,4],當時，fix）=~x+2的值域為（一8,1],故人x）

的值域為（一8,4],故B正確；

當時，令八龍）=一尤+2=2,無解，當一2Wx<l時，令式無）=/=2,得到x=—啦，故C

正確；

當一2W無<1時，令兀0=/<1,解得一14<1,當龍21時，令式x）=-x+2<l,解得x>l,故

/x）<l的解集為（-+8）,故D錯誤.

11.（2023?上饒模擬）關于函數作）=2$正*+&|也的說法正確的是（）

A.函數/U）的圖象關于y軸對稱

B,函數式尤）的圖象關于直線尤=倒稱

C.函數加c）的最小正周期為2兀

D.函數的最小值為2

答案ABD

解析對于A,八%）的定義域為R,

因為五一；0=2$皿-工）+弓）皿一力

=d）sinA+2sinx=Xx）,

所以/（x）是R上的偶函數，

所以函數人x）的圖象關于y軸對稱，故A正確；

對于B,對于任意的xGR,

兀一無）=2Sin（"F+（￡]sin（nr）=2sin工+⑤sinx=大尤），

所以函數人x）的圖象關于直線％=胃對稱，

故B正確；

對于C,因為/（7l+x）=2sinm+x）+&sinE+x）

一_si.nx\小——s?inx

-2十①

=2sinx+[j）sinx=Xx）,

所以無為函數負x）的一個周期，故2%不是函數為0的最小正周期，故c錯誤；

r1-

對于D,設/=2而％￡2,

則人力=1+},因為f+：N2,當且僅當/=即/=1時等號成立，

所以函數式X)的最小值為2,故D正確.

12.(2023?嘉興模擬)設函數式尤)的定義域為R,其導函數為7'Q),若(一尤)=fQ),負2尤)

+42—2x)=3,則下列結論一定正確的是()

A.八1一龍)+黃1+尤)=3

B.f(2-x)=r(2+x)

c.f'g—尤))=/々1+x))

D."(x+2))="Q))

答案ABD

解析人2尤)+42—2尤)=3,

令x=2無，得應x)+/(2—x)=3,令x=x+l,

得共1—x)+yu+尤)=3,故A正確；

由選項A的分析知人x)+K2—x)=3,等式兩邊同時求導，

得J⑴一(2—尤)=0,即/'(x)=f(2—x),①

又/(x)=f(一X),，(X)為偶函數，

所以/(2—x)=f(無一2),②

由①②得,(x)=f(X—2),所以函數/(x)的周期為2.

所以/(2—x)=f(x)=f(2+x),

即/(2—x)=f(2+x),故B正確；

由選項B的分析知了'(2—x)