24.3.2 三角形一邊的平行線 同步練習(xí)

24.3.2三角形一邊的平行線【夯實(shí)基礎(chǔ)】一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．2．（2020秋?崇左期末）如圖，E是平行四邊形ABCD的BA邊的延長線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F．下列各式中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．二．填空題（共7小題）3．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)G是腰長為10的等腰三角形ABC的重心，∠A＝90°，把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，此時(shí)點(diǎn)G轉(zhuǎn)到點(diǎn)G′處，那么GG′的長為．4．（2021秋?徐匯區(qū)期中）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，若AG＝4，則BC的長為．5．（2021秋?黃浦區(qū)期中）等腰直角三角形的腰長為，該三角形的重心到斜邊的距離為．6．（2018秋?長寧區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，∠C＝90°，如果CG＝2，那么AB的長是．7．（2018秋?虹口區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝3，G為△ABC的重心，GD∥BC，則△AGD的面積是．8．（2018秋?松江區(qū)期中）已知△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，BG＝8，則BE＝．9．（2021?上海）如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，則＝．三．解答題（共1小題）10．（2019秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AB上，CE與AD交于點(diǎn)G，EF⊥AD于點(diǎn)F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的長．【能力提升】一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5二．填空題（共4小題）2．（2021秋?青浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)G為等邊三角形ABC的重心，聯(lián)結(jié)GA，如果AG＝2，那么BC＝．3．（2021秋?寶山區(qū)期末）已知△ABC的兩條中線AD、BE相交于點(diǎn)F，如果AF＝10，那么AD的長為．4．（2021秋?奉賢區(qū)期末）如圖，已知菱形ABCD，E、F分別為△ABD和△BCD的重心．如果邊AB＝5，對(duì)角線BD＝6，那么EF的長為．5．（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)G是△ABC的重心，那么點(diǎn)G到斜邊AB的距離是．三．解答題（共1小題）6．（2016秋?浦東新區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，連接AE并延長AE交DC的延長線于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥BC交DC于點(diǎn)F．求證：．

24.3.2三角形一邊的平行線（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)找準(zhǔn)線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∵CE≠AC，∴．故本答案錯(cuò)誤；B、∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本答案錯(cuò)誤；C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴．∵AD≠DF，∴，故本答案錯(cuò)誤；D、∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，故本答案正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例的運(yùn)用及平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的新三角形與原三角形相似的定理的運(yùn)用，在解答時(shí)尋找找對(duì)應(yīng)線段是關(guān)鍵．2．（2020秋?崇左期末）如圖，E是平行四邊形ABCD的BA邊的延長線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F．下列各式中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB＝CD；AD∥BC，再根據(jù)平行線分線段成比例得到＝＝，用AB等量代換CD，得到＝＝；再利用AF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例得＝，由此可判斷A選項(xiàng)中的比例是錯(cuò)誤的．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD；AD∥BC，∴＝＝，而AB＝CD，∴＝＝，而AB＝CD，∴＝＝；又∵AF∥BC，∴＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得對(duì)應(yīng)線段成比例．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．二．填空題（共7小題）3．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)G是腰長為10的等腰三角形ABC的重心，∠A＝90°，把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，此時(shí)點(diǎn)G轉(zhuǎn)到點(diǎn)G′處，那么GG′的長為．【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)重心的概念和性質(zhì)求出AG的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠GAG′＝90°，根據(jù)勾股定理得到答案．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AC＝10，∴BC＝10，∴AD＝5，∴AG＝，由題意得，∠GAG′＝90°，∴GG′＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是重心的概念和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?徐匯區(qū)期中）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，若AG＝4，則BC的長為12．【分析】延長AG交BC于點(diǎn)D，根據(jù)重心的性質(zhì)可知點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AG＝2DG＝4，則AD＝6，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解．【解答】解：如圖，延長AG交BC于點(diǎn)D．∵點(diǎn)G是△ABC的重心，AG＝4，∴點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AG＝2DG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊的中線，∴BC＝2AD＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形重心的定義及性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．同時(shí)考查了直角三角形的性質(zhì)．5．（2021秋?黃浦區(qū)期中）等腰直角三角形的腰長為，該三角形的重心到斜邊的距離為．【分析】作等腰直角三角形底邊上的高并根據(jù)勾股定理求解，再根據(jù)三角形重心三等分中線的性質(zhì)即可求出．【解答】解：如圖，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，底邊上的中線AD＝sin45°＝1，∵三角形的重心到三角形頂點(diǎn)的距離等于中點(diǎn)距離的2倍，∴重心到BC的距離＝1×＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)和三角形重心的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．6．（2018秋?長寧區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，∠C＝90°，如果CG＝2，那么AB的長是6．【分析】先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到DG＝CG＝1，則CD＝3，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到AB的長．【解答】解：如圖，AD為AB邊上的中線，∵點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，∴CG＝2DG，∴DG＝CG＝1，∴CD＝3，∴AB＝2CD＝6．故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．7．（2018秋?虹口區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝3，G為△ABC的重心，GD∥BC，則△AGD的面積是．【分析】延長AG交BC于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，勾股定理分別求出BC，AB，得到△ABC的面積，根據(jù)重心的性質(zhì)得到H是BC的中點(diǎn)，AG＝AH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理計(jì)算．【解答】解：延長AG交BC于H，∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝6，由勾股定理得，AB＝＝3，則△ABC的面積＝×AC×AB＝，∵G為△ABC的重心，∴H是BC的中點(diǎn)，AG＝AH，∴△AHC的面積＝×△ABC的面積＝，∵GD∥BC，∴△AGD∽△AHC，∴△AGD的面積＝（）2×△AHC的面積＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．8．（2018秋?松江區(qū)期中）已知△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，BG＝8，則BE＝12．【分析】利用重心的性質(zhì)得到GE＝BG＝4，從而計(jì)算出BG+GE的和即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，∴G點(diǎn)為△ABC的重心，∴BG＝2GE，∴GE＝BG＝4，∴BE＝8+4＝12．故答案為12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．9．（2021?上海）如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，則＝．【分析】過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，由四邊形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根據(jù)AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，如圖：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四邊形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定與性質(zhì)，掌握同（等）底三角形面積比等于高之比，同（等）高的三角形面積比等于底之比是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共1小題）10．（2019秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AB上，CE與AD交于點(diǎn)G，EF⊥AD于點(diǎn)F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的長．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，代入已知數(shù)據(jù)求出EF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，＝，計(jì)算得到答案．【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EF∥BC，∴＝，又AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，∴EF＝3cm，在Rt△ABD中，AB＝15，BD＝9，由勾股定理得，AD＝12，∵EF∥BC，∴＝，∴AF＝4，DF＝8，∵EF∥BC，∴＝，∴FG＝3cm，GD＝5cm．答：AF＝4cm，F(xiàn)G＝3cm，GD＝5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理和勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【分析】連接AG延長交BC于點(diǎn)D，由G是重心可得D是BC的中點(diǎn)，所以S△ABD＝S△ACD，S△BCG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，則2S△BCD＝S△ABG，進(jìn)而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：連接AG延長交BC于點(diǎn)D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中點(diǎn)，∴S△ABD＝S△ACD，S△BCG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BCD＝S△ABG，∴3S△BCD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，熟練掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面積的特點(diǎn)求解是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）2．（2021秋?青浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)G為等邊三角形ABC的重心，聯(lián)結(jié)GA，如果AG＝2，那么BC＝．【分析】延長AG交BC于H，如圖，利用三角形的重心性質(zhì)得到BH＝CH，GH＝AG＝1，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到AH⊥BC，∠B＝60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出BH，從而得到BC的長．【解答】解：延長AG交BC于H，如圖，∵點(diǎn)G為等邊三角形ABC的重心，∴BH＝CH，AG＝2GH，∴GH＝AG＝1，∴AH＝AG+GH＝3，∵△ABC為等邊三角形，AH為中線，∴AH⊥BC，∠B＝60°，∴BH＝AH＝，∴BC＝2BH＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心：重三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．3．（2021秋?寶山區(qū)期末）已知△ABC的兩條中線AD、BE相交于點(diǎn)F，如果AF＝10，那么AD的長為15．【分析】先根據(jù)三角形的重心的定義得出點(diǎn)F是△ABC的重心，再利用重心的性質(zhì)得出AD＝AF，即可求解．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD、BE相交于點(diǎn)F，∴點(diǎn)F是△ABC的重心，∴AF：FD＝2：1，∴AD＝AF＝×10＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心的定義及性質(zhì)，重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?奉賢區(qū)期末）如圖，已知菱形ABCD，E、F分別為△ABD和△BCD的重心．如果邊AB＝5，對(duì)角線BD＝6，那么EF的長為．【分析】連接AC，交BD于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，利用勾股定理求出OA＝OC＝4．再根據(jù)重心的性質(zhì)可知△ABD和△BCD的重心E，F(xiàn)分別在線段OA、OC上，且OE＝OA，OF＝OC，進(jìn)而得到EF的長．【解答】解：如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，∴OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA＝＝＝4，∴OC＝OA＝4．∵E、F分別為△ABD和△BCD的重心，∴E，F(xiàn)分別在線段OA、OC上，且OE＝OA＝，OF＝OC＝，∴EF＝OE+OF＝+＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC