2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理排列數(shù)的綜合應(yīng)用習(xí)題課教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE排列數(shù)的綜合應(yīng)用(習(xí)題課)新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求理解排列數(shù)的概念,能利用排列數(shù)公式解決簡潔的排列問題.1.進(jìn)一步理解排列的概念,駕馭一些排列問題的常用解決方法.(數(shù)學(xué)建模)2.能應(yīng)用排列學(xué)問解決簡潔的實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)建模、邏輯推理)3.駕馭幾種有限制條件的排列的解法.(邏輯推理)關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一數(shù)字排列問題【典例】1.用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字,并且比20000大的五位偶數(shù)共有________個(gè).

2.用1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)假如組成的四位數(shù)必需是偶數(shù),那么這樣的四位數(shù)有多少個(gè)?(2)假如組成的四位數(shù)必需大于6500,那么這樣的四位數(shù)有多少個(gè)?【思維·引】1.解答本題時(shí)充分借助題設(shè)條件,先考慮首位數(shù)字的特征,其次考慮末位數(shù)字的要求,中間三個(gè)數(shù)將剩余的三個(gè)數(shù)全排的思維模式,運(yùn)用排列數(shù)公式求解.2.先確定四位數(shù)的最高位,再依次確定其他數(shù)字,結(jié)合排列的定義及排列數(shù)公式求解.【解析】1.由題設(shè)可知:當(dāng)首位排5和3時(shí),末位可排2和4,中間三數(shù)全排,兩種狀況共有4QUOTE種;當(dāng)首位排2和4時(shí),末位只能排4和2,中間三個(gè)數(shù)全排,兩種狀況共有2QUOTE,所以由分類加法計(jì)數(shù)原理可得全部符合條件的五位數(shù)共有6QUOTE=6×6=36個(gè).答案:362.(1)第一步排個(gè)位上的數(shù),因?yàn)榻M成的四位數(shù)必需是偶數(shù),個(gè)位數(shù)字只能是2,4,6之一,所以有QUOTE種排法;其次步排千、百、十這三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字,有QUOTE種排法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,符合條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是QUOTE=3×6×5×4=360.故這樣的四位數(shù)有360個(gè).(2)因?yàn)榻M成的四位數(shù)要大于6500,所以千位上的數(shù)字只能取7或6.排法可以分兩類.第一類:千位上排7,有QUOTE種不同的排法;其次類:若千位上排6,則百位上可排7或5,十位和個(gè)位可以從余下的數(shù)字中取2個(gè)來排,共有QUOTE種不同的排法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,符合條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是QUOTE+QUOTE=160.故這樣的四位數(shù)有160個(gè).【內(nèi)化·悟】1.在數(shù)字的排列問題中應(yīng)留意哪些位置上的數(shù)?提示:(1)要留意最高位不能為0;(2)對奇(偶)數(shù)要留意個(gè)位上的數(shù)為奇(偶)數(shù);(3)能被3或5整除的數(shù)對各位數(shù)字上的要求.2.對于數(shù)字的排列問題應(yīng)先排哪一位上的數(shù)?提示:依據(jù)狀況而定,有可能先排最高位,也可能先排個(gè)位.【類題·通】數(shù)字排列問題的解題原則排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題,有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上,或某個(gè)位子不排某些元素,解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特別元素或優(yōu)先滿意特別位子,若一個(gè)位子支配的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí),應(yīng)分類探討.提示:解決數(shù)字問題時(shí),應(yīng)留意題干中的限制條件,恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類和分步,尤其留意特別元素“0”的處理.【習(xí)練·破】我們把各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)稱為“北斗數(shù)”(如2014是“北斗數(shù)”),則“北斗數(shù)”中千位為3的共有________個(gè).

【解析】由已知得千位為3的“北斗數(shù)”的后三位之和為4,有以下四種可能:0,0,4;0,1,3;0,2,2;1,1,2;各種組合對應(yīng)的排列個(gè)數(shù)分別為3,6,3,3,合計(jì)15個(gè).答案:15【加練·固】用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的(1)能被5整除的五位數(shù).(2)能被3整除的五位數(shù).【解析】(1)個(gè)位上的數(shù)字必需是0或5.個(gè)位上是0,有QUOTE個(gè);個(gè)位上是5,若不含0,則有QUOTE個(gè);若含0,但0不作首位,則0的位置有QUOTE種排法,其余各位有QUOTE種排法,故共有QUOTE+QUOTE+QUOTE=216(個(gè))能被5整除的五位數(shù).(2)能被3整除的條件是各位數(shù)字之和能被3整除,則5個(gè)數(shù)可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}兩種狀況,能夠組成的五位數(shù)分別有QUOTE個(gè)和QUOTE個(gè).故能被3整除的五位數(shù)有QUOTE+QUOTE=216(個(gè)).類型二“排隊(duì)”問題角度1元素“相鄰”與“不相鄰”問題【典例】3名男生,4名女生,這7個(gè)人站成一排,在下列狀況下,各有多少種不同的站法.(1)男、女各站在一起.(2)男生必需排在一起.(3)男生不能排在一起.(4)男生互不相鄰,且女生也互不相鄰.【思維·引】利用排列數(shù)公式解決相關(guān)問題時(shí),特別元素應(yīng)特別考慮,相鄰元素捆綁處理,不相鄰元素插空處理.【解析】(1)(相鄰問題捆綁法)男生必需站在一起,即把3名男生進(jìn)行全排列,有QUOTE種排法,女生必需站在一起,即把4名女生進(jìn)行全排列,有QUOTE種排法,全體男生、女生各看作一個(gè)元素全排列有QUOTE種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有QUOTE=288種排法.(2)(捆綁法)把全部男生看作一個(gè)元素,與4名女生組成5個(gè)元素全排列,故有QUOTE=720種不同的排法.(3)(不相鄰問題插空法)先排女生有QUOTE種排法,把3名男生支配在4名女生隔成的5個(gè)空中,有QUOTE種排法,故有QUOTE=1440種不同的排法.(4)先排男生有QUOTE種排法.讓女生插空,有QUOTE=144種不同的排法.【類題·通】處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應(yīng)遵循“先整體,后局部”的原則.元素相鄰問題,一般用“捆綁法”,先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列,然后再松綁,將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列.元素不相鄰問題,一般用“插空法”,先將不相鄰元素以外的“一般”元素全排列,然后在“一般”元素之間及兩端插入不相鄰元素.角度2定序問題【典例】1.東京夏季奧運(yùn)會因?yàn)?024年的新型冠狀病毒肺炎疫情由2024年夏季改為2024年夏季舉辦,其中將設(shè)置4×100米男女混合泳接力這一新的競賽項(xiàng)目,競賽的規(guī)則是:每個(gè)參賽國家派出2男2女共計(jì)4名運(yùn)動(dòng)員參與競賽,依據(jù)仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力依次,每種泳姿100米且由1名運(yùn)動(dòng)員完成,且每名運(yùn)動(dòng)員都要出場.若中國隊(duì)確定了備戰(zhàn)該項(xiàng)目的4名運(yùn)動(dòng)員名單,其中女運(yùn)動(dòng)員甲只能擔(dān)當(dāng)仰泳或者自由泳,男運(yùn)動(dòng)員乙只能擔(dān)當(dāng)?shù)净蛘咄苡?剩下的2名運(yùn)動(dòng)員四種泳姿都可以擔(dān)當(dāng),則中國隊(duì)參賽的支配共有()A.144種 B.8種 C.24種 D.12種2.7人站成一排.(1)甲必需在乙的前面(不肯定相鄰),則有多少種不同的排列方法?(2)甲、乙、丙三人自左向右的依次不變(不肯定相鄰),則有多少種不同的排列方法?【思維·引】1.分兩類,(1)甲擔(dān)當(dāng)仰泳,(2)甲擔(dān)當(dāng)自由泳,依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求.2.(1)先將7人全排,考慮甲在乙的前面和在乙的后面是等可能的,即可得出結(jié)果.(2)先將7人全排,甲、乙、丙三人排列有6種狀況,考慮三人依次肯定只是6種狀況中的一種即可求得結(jié)果.【解析】1.選B.由題意,若甲擔(dān)當(dāng)仰泳,則乙運(yùn)動(dòng)員有2種支配方法,其他兩名運(yùn)動(dòng)員有QUOTE=2種支配方法,共計(jì)2×2=4種方法,若甲擔(dān)當(dāng)自由泳,則乙運(yùn)動(dòng)員有2種支配方法,其他兩名運(yùn)動(dòng)員有QUOTE=2種支配方法,共計(jì)2×2=4種方法,所以中國隊(duì)共有4+4=8種不同的支配方法.2.(1)甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半,故有QUOTE=2520(種)不同的排法.(2)甲、乙、丙自左向右的依次保持不變,即甲、乙、丙自左向右依次的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的QUOTE.故有QUOTE=840(種)不同的排法.【類題·通】定序問題的解題策略這類問題的解法是采納分類法.n個(gè)不同元素的全排列有QUOTE種排法,m個(gè)不同元素的全排列有QUOTE種排法.因此QUOTE種排法中,關(guān)于m個(gè)元素的不同分法有QUOTE類,而且每一分類的排法數(shù)是一樣的.當(dāng)這m個(gè)元素依次確定時(shí),共有QUOTE種排法.【習(xí)練·破】7名師生排成一排照相,其中老師1人,女生2人,男生4人,若4名男生的身高都不等,按從高到低的依次站,有多少種不同的站法?【解析】7人全排列中,4名男生不考慮身高依次的站法有QUOTE種,而由高到低有從左到右和從右到左的不同的站法,所以共有2QUOTE=420(種)不同的站法.【加練·固】8人排成前后兩排,每排4人,其中甲、乙在前排,丙在后排,共有________種排法.

【解析】依據(jù)前排甲、乙,后排丙,其余5人的依次考慮,共有QUOTE=5760種,故填5760.答案:5760角度3元素“在”與“不在”問題【典例】從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列,求解下列問題:(1)甲不在首位的排法有多少種?(2)甲既不在首位,又不在末位的排法有多少種?(3)甲與乙既不在首位又不在末位的排法有多少種?(4)甲不在首位,乙不在末位的排法有多少種?【思維·引】(1)優(yōu)先考慮甲,再結(jié)合排列數(shù)公式求解.(2)先將除甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首、末位,再排剩余的5名同學(xué).(3)先將甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末位,再排剩余的5名同學(xué).(4)用間接法求解.【解析】(1)方法一:把同學(xué)作為探討元素.第一類:不含甲,此時(shí)只需從甲以外的其他6名同學(xué)中取出5名放在5個(gè)位置上,有QUOTE種.其次類:含有甲,甲不在首位:先從4個(gè)位置中選出1個(gè)放甲,再從甲以外的6名同學(xué)中選出4名排在沒有甲的位置上,有QUOTE種排法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,含有甲時(shí)共有4×QUOTE種排法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有QUOTE+4×QUOTE=2160(種)排法.方法二:把位置作為探討元素.第一步,從甲以外的6名同學(xué)中選1名排在首位,有QUOTE種方法.其次步,從占據(jù)首位以外的6名同學(xué)中選4名排在除首位以外的其他4個(gè)位置上,有QUOTE種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得共有QUOTE·QUOTE=2160(種)排法.方法三(間接法):即先不考慮限制條件,從7名同學(xué)中選出5名進(jìn)行排列,然后把不滿意條件的排列去掉.不考慮甲不在首位的要求,總的可能狀況有QUOTE種;甲在首位的狀況有QUOTE種,所以符合要求的排法有QUOTE-QUOTE=2160(種).(2)把位置作為探討元素,先滿意特別位置.第一步,從甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置上,有QUOTE種方法.其次步,從未排上的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上,有QUOTE種方法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,有QUOTE·QUOTE=1800(種)方法.(3)把位置作為探討元素.第一步,從甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置,有QUOTE種方法.其次步,從未排上的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上,有QUOTE種方法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有QUOTE·QUOTE=1200(種)方法.(4)用間接法.總的可能狀況是QUOTE種,減去甲在首位的QUOTE種,再減去乙在末位的QUOTE種.留意到甲在首位同時(shí)乙在末位的狀況被減去了兩次,所以還需補(bǔ)回一次QUOTE種,所以共有QUOTE-2QUOTE+QUOTE=1860(種)排法.【類題·通】元素“在”與“不在”問題的解題原則與方法(1)原則:解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時(shí),可以從元素入手也可以從位置入手,原則是誰特別誰優(yōu)先.(2)方法:從元素入手時(shí),先給特別元素支配位置,再把其他元素支配在其他位置上;從位置入手時(shí),先支配特別位置,再支配其他位置.【習(xí)練·破】元旦晚會期間,高三二班的學(xué)生打算了6個(gè)參賽節(jié)目,其中有2個(gè)舞蹈節(jié)目,2個(gè)小品節(jié)目,2個(gè)歌曲節(jié)目,要求歌曲節(jié)目肯定排在首尾,另外2個(gè)舞蹈節(jié)目肯定要排在一起,則這6個(gè)節(jié)目的不同編排種數(shù)為()A.48 B.36 C.24 D.12【解析】選C.分3步進(jìn)行:①歌曲節(jié)目排在首尾,有QUOTE=2種排法.②將2個(gè)小品節(jié)目支配在歌曲節(jié)目的中間,有QUOTE=2種排法.③排好后,2個(gè)小品節(jié)目與2個(gè)歌曲節(jié)目之間有3個(gè)空位,將2個(gè)舞蹈節(jié)目全排列,支配在中間的3個(gè)空位,有QUOTE=6種排法.則這6個(gè)節(jié)目出場的不同編排種數(shù)為2×2×6=24種.類型三排列問題的綜合應(yīng)用【典例】1.(2024·柳州高二檢測)某單位支配7位工作人員在10月1日到10月7日值班,每人值一天,其中甲、乙二人支配在相鄰兩天,并且甲只能在雙日值班,則不同的支配方法有()A.120種 B.240種 C.360種 D.720種2.從數(shù)字0,1,3,5,7中取出不同的三個(gè)數(shù)作系數(shù),可以組成______個(gè)不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有實(shí)根的方程有________個(gè).

【思維·引】1.依據(jù)題意,依次分析甲、乙和其他五人的排法,再利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算.2.先確定a的值,再確定b,c的值,最終依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.對于有實(shí)根的方程先對c進(jìn)行探討.【解析】1.選D.依據(jù)題意:甲只能在2,4,6這三天值班,共三種狀況,又甲、乙二人支配在相鄰兩天,甲確定后,乙有兩種選擇,其余5人沒有限制,有QUOTE種狀況,故不同的支配方法有3×2×QUOTE=720種.2.先考慮組成一元二次方程的問題.首先確定a,只能從1,3,5,7中選一個(gè),有QUOTE種,然后從余下的4個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)作b,c,有QUOTE種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共組成一元二次方程QUOTE·QUOTE=48(個(gè)).方程要有實(shí)根,必需滿意Δ=b2-4ac≥0.分類探討如下:當(dāng)c=0時(shí),a,b可以從1,3,5,7中任取兩個(gè),有QUOTE種;當(dāng)c≠0時(shí),分析判別式知b只能取5,7中的一個(gè).當(dāng)b取5時(shí),a,c只能取1,3這兩個(gè)數(shù),有QUOTE種;當(dāng)b取7時(shí)a,c可取1,3或1,5這兩組數(shù),有2QUOTE種.此時(shí)共有(QUOTE+2QUOTE)個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知,有實(shí)根的一元二次方程共有QUOTE+QUOTE+2QUOTE=18(個(gè)).答案:4818【內(nèi)化·悟】解決排列問題要從哪些角度考慮?提示:或從元素考慮,或從位置考慮,都要貫徹究竟.不能一會考慮元素,一會考慮位置,造成分類、分步混亂,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.【類題·通】排列綜合問題解題策略實(shí)際問題中,既要能視察出是排列問題,又要能搞清哪些是特別元素,還要依據(jù)問題進(jìn)行合理分類、分步,選擇合適的解法.因此需做肯定量的排列應(yīng)用題,漸漸駕馭解決問題的基本思想.【習(xí)練·破】A,B,C,D,E,F共6個(gè)同學(xué)和1個(gè)數(shù)學(xué)老師站成一排合影留念,數(shù)學(xué)老師穿白色文化衫,A,B和C,D同學(xué)分別穿著白色和黑色文化衫,E和F分別穿著紅色和橙色的文化衫,若老師站中間,穿著白色文化衫的不相鄰,則不同的站法種數(shù)為()A.72 B.112 C.160 D.192【解析】選D.共有7個(gè)位置,老師站中間,兩邊各三個(gè)座位,兩位穿白色文化衫的同學(xué)不站老師兩邊,且他倆不能相鄰,所以他倆有2×2×QUOTE=8種方法,其他沒有限制,所以共有8×QUOTE=192種方法.【加練·固】由四個(gè)不同數(shù)字1,2,4,x組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),(1)若x=5,其中能被5整除的共有多少個(gè)?(2)若x=0,其中的偶數(shù)共有多少個(gè)?(3)若全部這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252,求x.【解析】(1)若x=5,則末位為5的三位數(shù)共有QUOTE=6個(gè),即能被5整除的共有6個(gè).(2)若x=0,當(dāng)末位是0時(shí),三位數(shù)共有QUOTE=6個(gè);當(dāng)末位是2或4時(shí),三位數(shù)共有QUOTE=8個(gè),故共有6+8=14個(gè).(3)4個(gè)不同的數(shù),組成無重復(fù)三位數(shù)共有4×3×2=24種,每個(gè)數(shù)字用了3QUOTE=18次.因?yàn)槿窟@些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252,所以18×(1+2+4+x)=252,即x=7.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.6位選手依次演講,其中選手甲不排在第一個(gè)也不排在最終一個(gè)演講,則不同的演講次序共有()A.240種B.360種C.480種D.720種【解析】選C.第一步:排甲,共有QUOTE種不同的排法;其次步:排其他人,共有QUOT