2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入4.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法學(xué)案含解析北師大版選修1-2

PAGE§2復(fù)數(shù)的四則運算2．1復(fù)數(shù)的加法與減法授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第31頁[自主梳理]一、相反數(shù)a＋bi的相反數(shù)為________．二、復(fù)數(shù)的加法和減法1．復(fù)數(shù)加法和減法的運算法則設(shè)a＋bi和c＋di是隨意兩個復(fù)數(shù)，我們定義復(fù)數(shù)的加法、減法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝________________；(a＋bi)－(c＋di)＝________________.即兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是實部與實部、虛部與虛部分別______，其結(jié)果仍舊是一個________．2．復(fù)數(shù)加法的運算律(1)交換律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．三、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，則復(fù)數(shù)z1＋z2是以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形的________所對應(yīng)的復(fù)數(shù)(如圖1)；z1－z2是連接向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))和eq\o(OZ2,\s\up6(→))的終點并指向________所對應(yīng)的復(fù)數(shù)(如圖2)．[雙基自測]1．(6－2i)－(3i＋1)等于()A．3－3i B．5－5iC．7＋i D．5＋5i2．已知z1＝3－4i，z2＝5＋i在其復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，則eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是________．[自主梳理]一、－a－bi二、1.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i相加(減)復(fù)數(shù)三、對角線eq\o(OZ,\s\up6(→))eq\o(OZ1,\s\up6(→))的向量[雙基自測]1．B原式＝(6－1)＋(－2i－3i)＝5－5i.2．8－3ieq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝3－4i＋5＋i＝8－3i.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第32頁探究一復(fù)數(shù)的加減運算[例1]計算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R[解析](1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3b＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.復(fù)數(shù)加減運算留意事項：(1)兩個復(fù)數(shù)的和差仍是一個復(fù)數(shù)．(2)復(fù)數(shù)的加減法運算，只需把“i”看作一個字母，完全可以根據(jù)合并同類項的方法進行．(3)算式中出現(xiàn)字母時，首先確定其是否為實數(shù)，再提取各復(fù)數(shù)的實部與虛部，將它們分別相加減．1．計算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)；(3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解析：(1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.(2)原式＝1＋i－1＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.(3)原式＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.(4)原式＝5i－(3＋4i)＋(－1＋3i)＝(－3－1)＋(5－4＋3)i＝－4＋4i.探究二復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義[例2](12分)如圖，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)，eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)；(3)B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可按平面對量加減法理解，利用平行四邊形法則或三角形法則解決問題．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i解析：由題意知A(6,5)，B(－2,3)，∴AB的中點C(2,4)，即點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.答案：C探究三復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用[例3]設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虛數(shù)，求m的取值范圍．[解析]∵z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝(eq\f(m2＋m,m＋2)－2)＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝eq\f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i.∵z1＋z2是虛數(shù)，∴m2－2m－15≠0，且m≠－2.∴m≠5，m≠－3，m≠－2(m∈R)．1．設(shè)出復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，利用復(fù)數(shù)相等或模的概念，可把條件轉(zhuǎn)化為x，y滿意的關(guān)系式，利用方程思想求解，這是本章“復(fù)數(shù)問題實數(shù)化”思想的應(yīng)用．2．在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點為A，B，z1＋z2對應(yīng)的點為C，O為坐標(biāo)原點，則四邊形OACB為平行四邊形．3．在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，求D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長．解析：如圖所示：eq\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)復(fù)數(shù)z3－z1，eq\o(AB,\s\up6(→))對應(yīng)復(fù)數(shù)z2－z1，eq\o(AD,\s\up6(→))對應(yīng)復(fù)數(shù)z4－z1.由復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD的長為|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2eq\r(10).把復(fù)數(shù)運算混淆為實數(shù)運算致誤[典例]已知M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，則M∩N＝________.[解析]利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決問題，在復(fù)平面內(nèi)，|z＋1|＝1的幾何意義是以點(－1,0)為圓心，以1為半徑的圓．|z＋i|＝|z－i|的幾何意義是到點A(0,1)和點B(0，－1)距離相等的點的集合，是線段AB的垂直平分線，也就是x軸．M∩N的幾何意義是x軸與圓的公共點對應(yīng)的