安徽省合肥市2025屆高三上學(xué)期教學(xué)診斷檢測（四）數(shù)學(xué)含答案

2022級高三同步診斷數(shù)學(xué)學(xué)科一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．滿足的集合的個數(shù)有（

）個A．8 B．7 C．6 D．52．命題“，使得”成立的一個充分不必要條件可以是（

）A．（0,1） B． C． D．3．我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”模型，其截面如圖所示．若圓柱材料的截面圓的半徑長為3，圓心為O，墻壁截面ABCD為矩形，且劣弧的長等于半徑OA長的2倍，則圓材埋在墻壁內(nèi)部的陰影部分截面面積是（

）A． B． C． D．94．已知函數(shù)的極大值點(diǎn)為，則f(x)的極小值為（

）A．0 B． C． D．5．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個單位B．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個單位C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個單位D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個單位6．定義在上的偶函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)為y=f′x，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．已知，，則的值為A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9．下列命題正確的是（

）A．要使關(guān)于x的方程的一根比1大且另一根比1小，則a的取值范圍是B．在上恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是C．關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是或D．若不等式的解集為或，則10．定義在上的函數(shù)満足，且當(dāng)時，，則有（

）A．為奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．D．存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得11．設(shè)，已知在上有且僅有5個零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上有且僅有3個最大值點(diǎn) B．在上有且僅有2個最小值點(diǎn)C．在上單調(diào)遞增 D．的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．13．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則14．若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值．四、解答題：本題共4小題，共47分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．若，且(1)求ab的取值范圍；(2)求的最小值，以及此時對應(yīng)的a的值．16．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：；18．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；(2)若函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且使得恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．B【分析】根據(jù)子集、真子集的概念判斷出集合含有的可能情況.【詳解】集合A中一定含有1,2,3，可能含有4,5,6，但不能同時含有4,5,6.由此可得到滿足條件的集合A的個數(shù)就是集合的真子集個數(shù)，共有個.故選：B2．A【分析】先將命題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在R上恒成立問題，然后求出a的范圍，最后利用集合法得出答案.【詳解】，使得,等價于在R上恒成立，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時，恒成立，解得，要想是命題“，使得”成立的一個充分不必要條件,只需要滿足為的子集即可，四個選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)A滿足題意.故選：A3．A【分析】先計算出扇形的面積，再求出，相減得到答案.【詳解】由題意得，劣弧，故扇形的面積為，設(shè)圓心角為，則，故，故圓材埋在墻壁內(nèi)部的陰影部分截面面積為.故選：A4．D【分析】求導(dǎo)并令得或,再結(jié)合題意得,進(jìn)而得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得函數(shù)f(x)在處取得極小值,極小值為.【詳解】解:求導(dǎo)得,令得或,因?yàn)楹瘮?shù)的極大值點(diǎn)為，所以,即所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在處取得極小值,極小值為故選:D5．C【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)圖象的變換，結(jié)合函數(shù)解析式，即可直接判斷即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得的圖象，再將所得圖象向左平移個單位，得.故選：C6．A【分析】根據(jù)可變形為，構(gòu)造函數(shù)，判斷其奇偶性、單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.【詳解】當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，令，則當(dāng)時，，故在時，單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠟榕己瘮?shù)，所以在上為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，?dāng)時，可變形為，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以且，得；當(dāng)時，可變形為，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以且，得；綜上：不等式的解集為.故選：A.7．D【詳解】所以，選D.8．B【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，判斷出其單調(diào)性可得，利用函數(shù)的單調(diào)性可知，再由可求得，即可得出結(jié)論.【詳解】由可知，構(gòu)造函數(shù)則，由可得q′x因此當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）恒成立，故當(dāng)時，對兩邊同時取對數(shù)可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）恒成立，故（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故；構(gòu)造函數(shù)則，令，則，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，可得，即在上單調(diào)遞減，可得，即可得在上單調(diào)遞減，即對，綜上，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)中的數(shù)字特征構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性即可比較得出它們的大小.9．AD【分析】A：令，則，即可求得a的范圍；B：令，則，即可求得k的范圍；C：根據(jù)題意求出a和b的關(guān)系，化簡即可求出解集；D：根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出間的關(guān)系，即可判斷abc的符號．【詳解】對于A，要使關(guān)于x的方程的一根比1大且另一根比1小，令，則有，解得，故A正確；對于B，∵在上恒成立，令，則，解得，故B錯誤；對于C，∵關(guān)于x的不等式的解集是，∴，則關(guān)于x的不等式的不等式等價于，即，解得或，故C錯誤；對于D，若不等式的解集為或，則，得，，，所以，故D正確．故選：AD.10．ABD【分析】令，得到，再令得，從而得出為奇函數(shù)可判斷選項(xiàng)A;設(shè)，則，所以,可得出單調(diào)性，從而可判斷選項(xiàng)B；由，由單調(diào)性可判斷選項(xiàng)C；由，由單調(diào)性可得，從而可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，令得，得.令得，即所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A正確.設(shè)，則，所以由條件可得，即所以為上的增函數(shù)，故選項(xiàng)B正確.由為上的增函數(shù)，則，所以，故選項(xiàng)C不正確.由為上的增函數(shù),則，即也即設(shè)，由，則，所以在有解.例如取，則，所以存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD11．ACD【分析】將看成整體角，根據(jù)題意得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象觀察分析求得，且易得在上有且僅有3個最大值點(diǎn)，但最小值點(diǎn)個數(shù)不確定，最后由推得，根據(jù)求得的判斷的范圍能確保單調(diào)遞增即得.【詳解】設(shè)，由，可得，作出的圖象如圖，要使在上有且僅有5個零點(diǎn)，須使，解得：，故D項(xiàng)正確；對于A項(xiàng)，由圖可知時，，在此區(qū)間上函數(shù)有且僅有3個最大值點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由圖可知時，，在此區(qū)間上，函數(shù)的最小值點(diǎn)可能有2個或3個,故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，當(dāng)時，，由上分析知，則，即，而此時單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確.故選：ACD.12．【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算法則化簡求值即可得到結(jié)果.【詳解】故答案為：.13．【分析】利用輔助角公式化簡后，借助圖象結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性、最值計算即可得解.【詳解】，則由，有，即，的周期，故，又，故，則有，解得，又，故.故答案為：.14．e【分析】等價變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù)并求出最小值即得.【詳解】依題意，對任意，恒成立，而，當(dāng)時，，不等式成立，當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，原不等式等價于，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，所以實(shí)數(shù)m的最大值為e.故答案為：e【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.15．(1)(2)的最小值為13，此時.【分析】（1）由已知結(jié)合基本不等式求解；（2）由已知可利用表示，代入所求式子后進(jìn)行分離，然后結(jié)合基本不等式可求．【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，解得或（舍），故.則ab的取值范圍為.（2）若，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為13，此時.16．(1)(2)【分析】（1）借助三角恒等變換公式將原函數(shù)化為余弦型函數(shù)后，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)計算即可得；（2）計算出當(dāng)時，的值域即可得解.【詳解】（1），令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1）知，，當(dāng)時，，則，即，由方程有解，故.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性和值域去求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）構(gòu)造新函數(shù)并利用極值點(diǎn)偏移去證明；【詳解】（1）又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，，，在上各有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，的最小值為，且，在內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）設(shè)，則當(dāng)時，，，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即當(dāng)時，又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)，由（1）知，，，又在單調(diào)上遞減，，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常用方法有如下幾種：方法一：等價轉(zhuǎn)化是證明不等式成立的常見方法，其中利用函數(shù)的對稱性定義，構(gòu)造對稱差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問題的基本處理策略；方法二：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明的不等式即可，例如對數(shù)平均不等式的證明；方法三：利用不等式的性質(zhì)對原不等式作等價轉(zhuǎn)換后，利用導(dǎo)數(shù)證明相關(guān)的式子成立.18．(1)答案見解析(2)【分析】（1）對求導(dǎo)后，討論的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）由（1）得，當(dāng)時，存在極大值點(diǎn)，記為，且，根據(jù)已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性從而得到，再構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求出a的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋深}意得，令，則，①當(dāng)時，恒成立，在遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在存在，使得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得極大值，此時有一個極值點(diǎn)；②當(dāng)時，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以，（i）當(dāng)，即時，此時，在無單調(diào)增區(qū)間，所以此時無極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在存在，使得，在存在，使得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在處取得極小值，在處取得極大值，此時