高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例【導(dǎo)學(xué)案】

第十章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

第一節(jié)統(tǒng)計(jì)

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.會(huì)用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分

層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.

2.了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉

圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).

3.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.

4.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋.

5.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，理

解用樣本估計(jì)總體的思想.

6.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題.

基礎(chǔ)不牢?地動(dòng)山搖

［由教材回扣基礎(chǔ)］

1.簡單隨機(jī)抽樣

⑴抽取方式：逐個(gè)不放回地抽取.

(2)特點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相笠」

(3)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

2.分層抽樣

⑴在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定

數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

⑵分層抽樣的應(yīng)用范圍

當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),往往選用分層抽樣.

3.系統(tǒng)抽樣的步驟

假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.

(1)編號(hào)碼：先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào).

(2)確定分段間隔k：對編號(hào)進(jìn)行分段，當(dāng)條"是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k=%

(3)定規(guī)則：在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)I(lWk)；按照一定的規(guī)則抽取

樣本.通常是將/加上間隔左得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)上也，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)l+2k,

依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.

4.作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中曩大值與董小值的差);

⑵決定組距與組數(shù);

(3)將數(shù)據(jù)分組;

(4)列頻率分布表;

(5)畫頻率分布直方圖.

5.頻率分布折線圖和總體密度曲線

⑴頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的史點(diǎn)，就得到頻率分布折

線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻

率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

6.莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)

莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是不但可以記錄所有信息，而且可以隨時(shí)記錄,這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都

能帶來方便.

提醒：莖葉圖中莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).

7.樣本的數(shù)字特征

眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

把"個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最空同位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)

中位數(shù)

數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

平均數(shù)把?+"2：稱為ai，。2,…，斯這〃個(gè)數(shù)的平均數(shù)

一一

設(shè)一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，弘的平均數(shù)為X,則方差為s2=%1(X]—X)2

標(biāo)準(zhǔn)差

與方差

+(X2—X產(chǎn)+…+(X〃一X)2],其中S為標(biāo)準(zhǔn)差

澄清微點(diǎn)?熟記結(jié)論

(1)平均數(shù)的性質(zhì)

①若給定一組數(shù)據(jù)xi,X2,,,,,X”的平均數(shù)為x,則axi,axi,…，ax”的平均數(shù)為ax;

axi+b,axi+b,…，ax.+b的平均數(shù)為ax+瓦

MX+NY

②若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X,N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y,則這(M+N)個(gè)數(shù)的平均數(shù)是下有1.

③若兩組數(shù)據(jù)Xi,X2,?,,,X"和yi,J2,,,,,，〃的平均數(shù)分別是X和y,則xi+ji,X2

+j2,…，〃的平均數(shù)是x+y.

(2)方差的性質(zhì)

2,貝11axi,ax2,QX"的方差為42s2；

若給定一組數(shù)據(jù)％1,X2,,,,,Xn,其方差為SaX1

+b9ax2~\-b,,,,,axn+b的方差為a2s2.特別地,當(dāng)a=l時(shí)，有xi+bf…，xn+b

的方差為S2,這說明將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)相同的常數(shù)，方差是不變的，即

不影響數(shù)據(jù)的波動(dòng)性.

［練小題鞏固基礎(chǔ)］

一、準(zhǔn)確理解概念（判斷正誤）

（1）分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).（）

（2）平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.（）

（3）一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.（）

（4）頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.（）

答案：（1）X（2）V（3）X（4）J

=二'練牢教材小題

1.（新北師大版必修①P180T1改編）某城市收集并整理了該市2021年1月份至10月份

每月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖，已知該市每月的最

低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

1月2月3月4月5月陰7月8月9月10月

0U1111111111

--最高氣溫

一最低氣溫

A.每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)

B.10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫

C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月份

D.最低氣溫低于0C的月份有4個(gè)

解析：選D由題圖可以看出，當(dāng)最低氣溫較大時(shí)，最高氣溫也較大，故A正確；10

月份的最高氣溫大于20°C,而5月份的最高氣溫不超過20°C,故B正確；從各月的溫差看，

1月份的溫差最大，故C正確；而最低氣溫低于0°C的月份是1,2,4三個(gè)月份，故D錯(cuò)誤.

2.（人教A版必修③P64T5改編）一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56人，女運(yùn)動(dòng)員42人，按性

別用分層抽樣的方式從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本，則男、女運(yùn)動(dòng)員應(yīng)各抽

人,人.

答案：1612

3.（新人教A版必修②Pl97Tl改編）如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖,

則月均用水量為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民數(shù)為.

解析：由頻率分布直方圖可知，月均用水量為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民所占頻率為0.5X0.5

=0.25,所以月均用水量為［2,2.5）范圍內(nèi)的居民數(shù)為100X0.25=25.

答案：25

4.（新蘇教版必修②P254T10改編）已知數(shù)據(jù)對，必，…，xio的平均數(shù)為2,方差為3,

那么數(shù)據(jù)2乃+3,2必+3,…，2辦。+3的平均數(shù)和方差分別為.

答案：7,12

三、練清易錯(cuò)易混

1.（忽視隨機(jī)抽樣的等可能性致誤）某校要從高一、高二、高三共2020名學(xué)生中選取50

名學(xué)生組成志愿團(tuán)，若先用簡單隨機(jī)抽樣的方法從2020名學(xué)生中剔除20名學(xué)生，再從剩下

的2000名學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取50名學(xué)生，則下面對每名學(xué)生入選的概率描述正確

的是.（填序號(hào)）

①都相等且為鼎；②都相等且為「；③不完全相等.

答案：①

2.（混淆眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念）某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出

80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示，則這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)

為，這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為（精確到0.1）,這次測試數(shù)學(xué)成績的平均

數(shù)為.

答案：7573.372

3.（不理解均值、方差的意義）某校高二年級在一次數(shù)學(xué)選拔賽中，因?yàn)榧?、乙兩人的?/p>

賽成績相同，所以決定根據(jù)平時(shí)在相同條件下進(jìn)行的六次測試確定出最佳人選，這六次測試

的成績數(shù)據(jù)如下:

甲127138130137135131

乙133129138134128136

貝！IX甲=,X乙=,S甲2=,S乙2=,進(jìn)而根據(jù)以上

數(shù)據(jù)可判斷最佳人選為.

答案：133133孝苧乙

考法研透--方向不對，努力白費(fèi)

命題視角一抽樣方法的應(yīng)用（自主練通）

1.利用簡單隨機(jī)抽樣，從〃個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若第二次抽取時(shí)，余下的

每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為;，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為（）

n10

D-27

91

解析：選C根據(jù)題意，解得"=28.故在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的

n—1J

概率為羽=含

2.福利彩票“雙色球”中紅球的號(hào)碼可以從01,02,03,32,33這33個(gè)兩位號(hào)碼中

選取，小明利用如下所示的隨機(jī)數(shù)表選取紅色球的6個(gè)號(hào)碼，選取方法是從第1行第9列的

解析：選C被選中的紅色球的號(hào)碼依次為17,12,33,06,32,22.所以第四個(gè)被選中的紅色

球的號(hào)碼為06.

3.現(xiàn)從編號(hào)為1,2,…，96的觀眾中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取八位幸運(yùn)觀眾，其中有

兩個(gè)編號(hào)為21與93,則所抽取的8個(gè)編號(hào)的中位數(shù)為（）

A.45B.48C.51D.57

解析：選C由系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)可知，其抽樣方法是等間隔抽取，由于從96名觀眾中

96

抽取8位幸運(yùn)觀眾，因此間隔*=v=12,設(shè)在第一組抽取的編號(hào)為x,由于在第2組抽取

O

的編號(hào)為21,在第8組抽取的編號(hào)為93,所以在第2組抽取的號(hào)碼為x+12=21,因此x=

45+57

9,則抽取的8個(gè)號(hào)碼依次為9,21,33,45,57,69,81,93,這8個(gè)數(shù)的中位數(shù)為一z—=51.故選

乙

C.

4.某公司生產(chǎn)A,B,C三種不同型號(hào)的轎車，其產(chǎn)量之比為2：3：4,為檢驗(yàn)該公司

的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為?的樣本，若樣本中A種型號(hào)的轎車比B

種型號(hào)的轎車少8輛，則〃=()

A.96B.72C.48D.36

32

解析：選B由題意得g〃一§〃=8,所以”=72.故選B.

5.山東某高中針對學(xué)生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個(gè)社

團(tuán)，已知報(bào)名參加這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有800人，按照要求每人只能參加一個(gè)社團(tuán)，各年級

參加社團(tuán)的人數(shù)情況如下表：

高一年級高二年級高三年級

泥塑abC

剪紙XyZ

其中無：y：z=5：3：2,且“泥塑”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的信3為了了解學(xué)生

對這兩個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的滿意程度，從中抽取一個(gè)50人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則從高二年級“剪紙”

社團(tuán)的學(xué)生中應(yīng)抽取_______人.

解析：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的士所以“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占兩

22

個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的會(huì)所以“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)為800X5=320.易知“剪紙”社團(tuán)中高二年級

人數(shù)所占比例為系,所以“剪紙”社團(tuán)中高二年級人數(shù)為320X^=96.

x-ry-rz5十3十21U10

由題意知，抽樣比為券;=上，所以從高二年級“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為96X==6.

oUU10IO

答案：6

L"點(diǎn)”就過］

1.應(yīng)用隨機(jī)數(shù)法的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)確定以表中的哪個(gè)數(shù)(哪行哪列)為起點(diǎn)，以哪個(gè)方向?yàn)樽x數(shù)的方向；

(2)讀數(shù)時(shí)注意結(jié)合編號(hào)特點(diǎn)進(jìn)行讀取.若編號(hào)為兩位數(shù)字，則兩位兩位地讀取；若編號(hào)

為三位數(shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去，這樣繼續(xù)下

去，直到獲取整個(gè)樣本.

2.解決分層抽樣的常用公式

先確定抽樣比，然后把各層個(gè)體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個(gè)體數(shù).

“3,必樣本容量各層樣本容量

⑴抽樣比一總體容量-各層個(gè)體總量；

⑵層1的容量：層2的容量：層3的容量=樣本中層1的容量：樣本中層2的容量：樣

本中層3的容量.

命題視角二樣本的數(shù)字特征的計(jì)算

［典例］⑴已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,

17,15,13,設(shè)其平均數(shù)為”，中位數(shù)為心眾數(shù)為c,則有()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

(2)已知某樣本的容量為50,平均數(shù)為70,方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的

兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60,另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90.在對錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行

更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為三，方差為S2,貝!|()

A.T=70,s2<75B.T=70,s2>75

C.T>70,S2<75D..T<70,S2>75

［解析］⑴把題中數(shù)據(jù)按從小到大排列為11,13,15,15,16,16,17,18,18,18,平均數(shù)為a=~

157

(11+13+15+15+16+16+17+18+18+18)=^-=15.7,中位數(shù)為16,眾數(shù)為18,則b=

16,c=18,所以c>》>a.

—70X50+80-60+70-90…、…

(2)由題意，x=----------------疝----------=70,設(shè)收集的48個(gè)準(zhǔn)確數(shù)據(jù)分別為xi,

X2,…，X48,則75=^j［(xi-70)2+(X2-70)2+...+(X48-70)2+(60-70)2+(90-70)2］=^［Ui

2222

-70)2+(刈-70A+...+(X48-70)2+500］,S=^［(XI-70)+(X2-70)+...+(X48-70)+(80

22222

-70)+(70-70)］=^j［(xi-70)+(x2-70)+…+(必8—70)+100］<75,所以s?V75.

［答案］(1)D(2)A

［方法技巧］

(1)利用平均數(shù)、方差的性質(zhì)可簡化運(yùn)算，要熟記.

⑵方差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的幅度.

應(yīng)用時(shí)注意其公式的簡化形式：s2=/f：譚一行2.

1=1

［針對訓(xùn)練］

1.某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，

85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學(xué)習(xí)小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是

()

A.85分、85分、85分B.87分、85分、86分

C.87分、85分、85分D.87分、85分、90分

解析：選C由題意知，該學(xué)習(xí)小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85,平均數(shù)為古

(100+95+2X90+4X85+80+75)=87.

2.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標(biāo)準(zhǔn)差為6，則孫=.

解析：由平均數(shù)得9+10+ll+x+j=50,.*.x+yuZO.又由(9一10)2+(10—10)2+(11—

10)2+(x-10)2+(y-10)2=(^2)2X5=10,得x2+j2-20(x+j)=-192,(x+y)2-2xy~20(x

+y)=-192,：.xy=96.

答案：96

命題視角三統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用

［典例］(1)(2021?全國甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣

調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

⑵2021年新型冠狀病毒肺炎疫情對消費(fèi)飲食行業(yè)造成了很大影響，為了解A,3兩家大

型餐飲店受影響的程度，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了2021年2月到7月A,8兩店每月營業(yè)額，得到如圖所示

的折線圖，根據(jù)營業(yè)額折線圖，下列說法不正確的是()

70

6V

5O—A店

O—B店

4O

3O

2O

1O

O

234567月份

A.A店?duì)I業(yè)額的極差比3店?duì)I業(yè)額的極差小

B.A店2月到7月營業(yè)額的中位數(shù)是31

C.5店2月到7月每月增加的營業(yè)額越來越多

D.3店2月到7月的營業(yè)額的平均值為29

［解析］(1)由頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為

0.02+0.04=0.06,所以A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為0.02

+0.02+0.02+0.04=0.10,所以B正確；由頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入的平

均值約為3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8X0.2+9X0.1+10X0.1+11X0.04

+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5,所以C不正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5

萬元至8.5萬元之間的比率約為0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,所以D正確.故選C.

(2)由折線圖可知，A店?duì)I業(yè)額的極差為64—14=50(萬元)，5店?duì)I業(yè)額的極差為63—2

=61(萬元)，故A正確；由A店2月到7月營業(yè)額由低到高依次為14,20,26,36,45,64,得A

店2月到7月營業(yè)額的中位數(shù)是(26+36)+2=31,故B正確；因?yàn)?店從4月到5月營業(yè)額

的增加量為19,從5月到6月營業(yè)額的增加量為15,故C錯(cuò)誤；3店2月到7月的營業(yè)額

的平均值為/(2+8+16+35+50+63)=29,故D正確.

[答案](1)C(2)C

[方法技巧]

1.謹(jǐn)記頻率分布直方圖的相關(guān)公式

(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.

率頻率

(2)直方圖中縱軸表示國毒，故每組樣本的頻率為組距X如:，即矩形的面積.

(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總數(shù).

2.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算

(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘

以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

[針對訓(xùn)練]

1.(2021?廣東湛江一模)中國數(shù)學(xué)奧林匹克由中國數(shù)學(xué)會(huì)主辦，是全國7「Q…7

中學(xué)生級別最高、規(guī)模最大、最具影響力的數(shù)學(xué)競賽.某重點(diǎn)高中8345556

為參加中國數(shù)學(xué)奧林匹克做準(zhǔn)備，對該校數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊(duì)進(jìn)行一次選拔賽，所得分?jǐn)?shù)的莖葉

圖如圖所示，則該集訓(xùn)隊(duì)考試成績的眾數(shù)與中位數(shù)分別為()

A.85,75B.85,76

C.74,76D.75,77

解析：選B由莖葉圖可知，85出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)為85;中位

?,75+77

數(shù)為一—=76.

2.某大學(xué)生暑假到工廠參加生產(chǎn)勞動(dòng)，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度(單位:

厘米)，將所得數(shù)據(jù)分成6組:[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],得到如

圖所示的頻率分布直方圖，則對這100件產(chǎn)品，下列說法中不正確的是()

A.6=0.25

B.長度落在區(qū)間［93,94）內(nèi)的個(gè)數(shù)為35

C.長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)

D.長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)

解析：選C對于A,由頻率和為1,得（0.35+6+0.15+0.1X2+0.05）X1=1,解得6

=0.25,所以A正確；對于B,長度落在區(qū)間［93,94）內(nèi)的個(gè)數(shù)為100x0.35=35,所以B正確；

對于C,頻率分布直方圖上不能判斷長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)，所以C錯(cuò)誤；對于

D,［90,93）內(nèi)有45個(gè)數(shù)，［94,96］內(nèi)有20個(gè)數(shù)，所以長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)，

所以D正確.

命題視角四用樣本估計(jì)總體

［典例］（2021?全國乙卷）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品

的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)

指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為X和y,樣本方差分別記

為為和S22.

⑴求x,y,sp,S229

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高如果亍-T

》2小票，那么認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)

為有顯著提高.

［解］(1)；1=點(diǎn)X(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

—1J1

yX(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,51=而

22222222222222

X(0.2+0.3+0+0.2+0.1+0.2+0+0.1+0.2+0.3)=0.036,s2=^X(0.2+0.1+0.2

+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.M+O>22)=0.04.

——/0.036+0.04,............——

(2)Vj-x=10.3-10=0.3,2J10=2A/------m------=2-0.0076,y—x=

0.3=2X0.15=2X、0.152=2X、0.0225>2X、0.0076,滿足亍一日2241。，，新設(shè)備

生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

［方法技巧］

利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)

(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的

大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離

散程度越小，越穩(wěn)定.

(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.

［針對訓(xùn)練］

1.(2020?全國I卷)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,

B,C,D四個(gè)等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加

工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙

兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠

家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些

產(chǎn)品的等級，整理如下：

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)

選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？

解：(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概

率的估計(jì)值為布=0.4;乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為礪=0.28.

⑵由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤6525-5-75

頻數(shù)40202020

因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

擊(65X40+25X20-5X20-75X20)=15.

由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤70300-70

頻數(shù)28173421

因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

加70*28+30X17+0X34-70*21)=10.

比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).

2.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到

這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻率分布表.

y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.200.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)22453147

(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)

附：M七8.602.

解：(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻率分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%

14+72

的企業(yè)頻率為而-=021,產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為市=0.02,

用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為

21%,產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.

—1

(2)y(-0.10X2+0.10X24+0.30X53+0.50X14+0.70X7)=0.30,

$2=擊義[(-0.40)2X2+(-0.20)2X24+02x53+0.202x14+0.402x7]=0.0296,

s=-0.0296=062義寸浜0.17.

所以這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30,0.17.

思維激活——靈活不足?難得高分

數(shù)學(xué)建模.練抽象思維一統(tǒng)計(jì)中的創(chuàng)新應(yīng)用問題

1.（創(chuàng)新學(xué)科情境）一個(gè)樣本。,3,5,7的平均數(shù)是①且a,&分別是數(shù)列｛2L2｝（“GN*）的

第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，則這個(gè)樣本的方差是（）

A.3B.4

C.5D.6

2-22222

解析：選C由題意，得a=2=l,5=24-2=4,/.s=^-［（1—4）+（3—4）+（5—4）

+（7-4）2］=5.

2.（創(chuàng)新學(xué)科情境）某高校為從甲、乙兩名學(xué)生中選出一名學(xué)生會(huì)主席，對甲、乙兩名學(xué)

生的領(lǐng)導(dǎo)力進(jìn)行了考核.已知一個(gè)人的領(lǐng)導(dǎo)力由影響力、控制力、決斷力、前瞻力和感召力

這五項(xiàng)能力構(gòu)成.通過考核，得到甲、乙兩人的五項(xiàng)能力指標(biāo)值的雷達(dá)圖如圖所示，則下列

說法中正確的是（）

A.從整體上看，乙的領(lǐng)導(dǎo)力高于甲的領(lǐng)導(dǎo)力［一一甲

B.甲、乙兩人的五項(xiàng)能力指標(biāo)值的方差不同器

C.如果僅從控制力、決斷力和前瞻力三項(xiàng)能力考慮，乙的領(lǐng)

導(dǎo)力低于甲的領(lǐng)導(dǎo)力

D.如果僅從影響力、感召力、控制力三項(xiàng)能力考慮，甲的領(lǐng)控制力決斷力

導(dǎo)力高于乙的領(lǐng)導(dǎo)力

解析：選C由雷達(dá)圖可得甲的五項(xiàng)能力指標(biāo)值分別為6,5,4,5,4,乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)值

分別為6,4,5,4,5,甲、乙兩人的五項(xiàng)能力指標(biāo)值的和相同，所以從整體上看，甲、乙兩人的

領(lǐng)導(dǎo)力相當(dāng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由對A的分析易知甲、乙兩人五項(xiàng)能力指標(biāo)值的方差相同，選

14

項(xiàng)B錯(cuò)誤；從控制力、決斷力、前瞻力考慮，甲的能力指標(biāo)值的均值為不，乙的能力指標(biāo)值

的均值為號(hào)，故甲的領(lǐng)導(dǎo)力高于乙的領(lǐng)導(dǎo)力，選項(xiàng)C正確；從影響力、感召力、控制力考慮，

甲、乙的能力指標(biāo)值的均值相同，故甲、乙兩人的領(lǐng)導(dǎo)力相當(dāng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.

3.（走向生產(chǎn)生活）為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加

環(huán)保知識(shí)測試，得分（十分制）如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為孫眾數(shù)為"，平均數(shù)為

則m,n,x的大小關(guān)系為.（用連接）

解析：由圖可知，30名學(xué)生得分的中位數(shù)為第15個(gè)數(shù)和第16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均

數(shù)，即m=5.5;又5出現(xiàn)次數(shù)最多，故〃=5;T=^(2X3+3X4+10X5+6X6+3X7+2X8

+2X9+2X10產(chǎn)5.97.故n<m<x.

答案：x

4.(決策性問題)2021年9月15日20時(shí)，中華人民共和國第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在西安奧體

中心體育場盛大開幕，會(huì)歌《追著未來出發(fā)》將百年夢想與健康中國高度融合，標(biāo)志著我國

競技體育水平的提高以及對競技體育的重視，也激勵(lì)著廣大體育愛好者為夢前行.少年有夢,

不應(yīng)止于心動(dòng)，更要付諸行動(dòng)，某籃球運(yùn)動(dòng)愛好者為了提高自己的投籃水平，制訂了一個(gè)短

期訓(xùn)練計(jì)劃，為了了解訓(xùn)練效果，執(zhí)行訓(xùn)練前，他統(tǒng)計(jì)了10場比賽的得分，計(jì)算出得分的

中位數(shù)為15分，平均得分為15分，得分的方差為42.5分2.執(zhí)行訓(xùn)練后也統(tǒng)計(jì)了10場比賽

的得分，分另U為：14,9,16,21,18,8,12,23,14,15(單位：分).

(1)請計(jì)算該籃球運(yùn)動(dòng)員執(zhí)行訓(xùn)練后統(tǒng)計(jì)的10場比賽得分的中位數(shù)、平均得分與方差.

(2)如果僅從執(zhí)行訓(xùn)練前后統(tǒng)計(jì)的各10場比賽得分?jǐn)?shù)據(jù)分析，你認(rèn)為訓(xùn)練計(jì)劃對該運(yùn)動(dòng)

員的投籃水平的提高是否有幫助？為什么？

解：(1)訓(xùn)練后得分的中位數(shù)為14.5,平均得分為淼14+9+16+21+18+8+12

+23+14+15)=15(分)，方差為擊［(14-15)2+(9—15產(chǎn)+(16—15)2+(21-15)2+(18—15戶+

(8—15戶+(12-15尸+(23—15產(chǎn)+(14—15)2+(15-15)2］=20.6(分2).

⑵盡管訓(xùn)練后中位數(shù)比訓(xùn)練前稍小，但平均得分一樣，訓(xùn)練后方差20.6小于訓(xùn)練前方

差42.5,說明訓(xùn)練后得分穩(wěn)定性提高了，這是投籃水平提高的表現(xiàn)，故此訓(xùn)練計(jì)劃對該運(yùn)動(dòng)

員的投籃水平的提高有幫助.

［課時(shí)跟蹤檢測］

一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度

1.(2022?云南一檢)某學(xué)校為了了解高一年級、高二年級、高三年級這三個(gè)年級的學(xué)生

對學(xué)校有關(guān)課外活動(dòng)內(nèi)容與時(shí)間安排的意見，擬從這三個(gè)年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)

行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()

A.抽簽法B.隨機(jī)數(shù)法

C.分層抽樣法D.系統(tǒng)抽樣法

解析：選C由于研究對象是三個(gè)年級學(xué)生的意見，故應(yīng)按分層抽樣法來抽取，故選

C.

2.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1500輛，6000輛和2000輛.為檢驗(yàn)該

公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門要抽取57輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則下列說法不正確的是（）

A.應(yīng)采用分層抽樣抽取

B.應(yīng)采用抽簽法抽取

C.三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取9輛，36輛，12輛

D.這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

解析：選B因?yàn)槭侨N型號(hào)的轎車，個(gè)體差異明顯，所以選擇分層抽樣，故A正確；

因?yàn)閭€(gè)體數(shù)目多，用抽簽法制簽難，攪拌不均勻，抽出的樣本不具有很好的代表性，故B不

573

正確；抽樣比為1500+6000+2000=500＞三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取9輛，36輛，12輛，

故C正確；分層抽樣中，每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同，故D正確.

3.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）

A.3,5B.5,5C.3,7甲組乙組

659

解析：選A由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65=60+y,解得=

25617Iyy

5,又它們的平均值相等，所以±X［56+62+65+74+（70+x）］=/%478

X(59+61+67+65+78),解得x=3.

4.（2022?南京模擬）將6個(gè)數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,a去掉最大的一個(gè)，剩下的5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)

為1.8,則』

1+2+3+4+5

解析：若a是最大的數(shù)，則=3,不符合題意.故5是最大的數(shù)，則

5

l+2+3+4+a

=解得

51.8,a=-1.

答案：-1

二、綜合練——練思維敏銳度

1.（2020?天津高考）從一批零件中抽取80個(gè)，測量其直徑（單位：mm）,將所得數(shù)據(jù)分為

9組：［5.31,5.33）,［5.33,5.35）,…，［5.45,5.47）,［5.47,5.49］,并整理得至!）如下頻率分布直方圖，

則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間［5.43,5.47］內(nèi)的個(gè)數(shù)為（）

頻率/組距

10.00--------------------------——

8.75-------------------------------------

7.50--------------------——

6.25-------------------------------------------

5.00-------------------------------------------------——

3.75---------——

2.50--------------------

1.25----1

°5.315.335.355.375.395.415.435.455.475.49直徑/mm

A.10B.18C.20D.36

解析：選B由題知［5.43,5.45）與［5.45,5.47］所對應(yīng)的小矩形的高分別為6.25,5.00,所以

［5.43,5.47］的頻率為（6.25+5.00）X0.02=0.225,所以直徑落在區(qū)間［5.43,5.47］內(nèi)的個(gè)數(shù)為

80X0.225=18,故選B.

2.（2022?寶雞一模）為落實(shí)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測試工作，全面提升學(xué)生的

體質(zhì)健康水平，某校高二年級體育組教師在高二年級隨機(jī)抽取部分男生，測試了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)

目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)200cm以上成績?yōu)榧?/p>

格，255cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計(jì)該校高二年級男生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的及格率

和優(yōu)秀率分別是（）

A.87%,3%

C.87%,6%D.80%,6%

解析：選C由頻率分布直方圖可得，優(yōu)秀率為0.003X20X100%=6%.VI-

,200

0.003+0.014X一X20=0.87,...及格率為87%.故選C.

3.（2022?成都一修）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天出的次

品數(shù)如表所示：

甲0102203124

乙2211121101

X1,X2分別表示甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，Si,S2分別表示甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差,

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.X1=X29S1>S2B.X!>X29S1>S2

C.X1<X2,Sl>§2D..X!>X2，S1<S2

—1—1

解析：選B由表格數(shù)據(jù)知，xi=j^(0+l+0+2+2+0+3+l+2+4)=1.5,x

一一Xio___1io

(2+2+1+1+1+2+1+1+0+1)=1.2,/.xi>x2.51xi)2=1.65,§2=而2(如

i=ii=i

—X2)2=0.36,S1>S2?

4.等差數(shù)列處，X2,X3，…，X9的公差為1，若以上述數(shù)據(jù)處，“2，"3，…，刈為樣本，

則此樣本的方差為()

A?號(hào)B.芋C.60D.30

解析：選A由等差數(shù)列的性質(zhì)得樣本的平均數(shù)為/+也+…+期)=/2后+2后+2左

+24+*5)=*5,所以該組數(shù)據(jù)的方差為"[(XLX5)2+(*2-*5/+…+(*9—*5)2]=加X(4?+32

+22+12)]=^.

5.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級，把每個(gè)班

級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)互不

相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為()

A.9B.10C.11D.12

解析：選B不妨設(shè)樣本數(shù)據(jù)為Xl,X2,X3,X4,Xs,-0.X1<X2<X3<X4<X5,則由樣本方差

為4,知(XI—7尸+(*2—7尸+(*3—7尸+(*4—7)2+(曲一7)2=20.若5個(gè)整數(shù)的平方和為20,則

這5個(gè)整數(shù)的平方只能在0,1,4,9,16中選取(每個(gè)數(shù)最多出現(xiàn)2次)，當(dāng)這5個(gè)整數(shù)的平方中最

大的數(shù)為16時(shí)，分析可知，總不滿足和為20;當(dāng)這5個(gè)整數(shù)的平方中最大的數(shù)為9時(shí),0,1,1,9,9

這組數(shù)滿足要求，此時(shí)對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)為xi=4,X2=6,刈=7,X4=8,X5=10;當(dāng)這5個(gè)

整數(shù)的平方中最大的數(shù)不超過4時(shí)，總不滿足和為20,因此不存在滿足條件的另一組數(shù)據(jù).故

選B.

6.某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個(gè)分廠的產(chǎn)量分布如圖所

示.現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行使用

壽命的測