抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用（5大壓軸考法）原卷版-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略人教A版2019必修第一

專題14抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單

調(diào)性、奇偶性

目錄

解題知識必備...............................................

壓軸題型講練...................................................................4

題型一、抽象函數(shù)定義域..................................................4

題型二、抽象函數(shù)求值....................................................4

題型三、抽象函數(shù)解析式..................................................5

題型四、抽象函數(shù)的單調(diào)性................................................6

題型五、抽象函數(shù)的奇偶性................................................6

壓軸能力測評(12題)........................................................8

??解題知識必備”

一、抽象函數(shù)定義域的確定

所謂抽象函數(shù)是指用〃%)表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是

注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致

的，都在同一取值范圍內(nèi)。

抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由a空(x)@求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域為[a,b],則/(x)的定義域為g(x)在加時的值域.

注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用

集合或區(qū)間來表示.

二、抽象函數(shù)的性質(zhì)

L周期性：f(x+a)-f(x)=>T=a；/(%+a)=-/(%)=>T-2a；

f[x+a)=x=>T=2tz；(左為常數(shù))；f(x+a)=f(x+b)^>T=|a-Z?|

2.對稱性：

對稱軸：f(a-x)=y(a+x)^<f[la-x)=/(%)=>/(x)關(guān)于x=a對稱；

對稱中心：/(a-x)+/(a+x)=2b或者/(2a-x)+/(x)=2bn/(x)關(guān)于(a,b)對稱；

3.如果/(x)同時關(guān)于x=a對稱，又關(guān)于0,c)對稱，則/(x)的周期T=|a—4

4.單調(diào)性與對稱性(或奇偶性)結(jié)合解不等式問題

①/(x)在R上是奇函數(shù)，且/'(X)單調(diào)遞增n若解不等式/(XJ+/(%2)>0,則有

再+%>0；

/(X)在R上是奇函數(shù)，且/(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(^)+/(%2)>0,則有

再+%2<°；

②/(X)在R上是偶函數(shù)，且/(X)在(0,"。)單調(diào)遞增n若解不等式/(%1)>/(%2),則有聞>網(wǎng)(不

變號加絕對值)；

/(x)在7?上是偶函數(shù)，且/(x)在(0+。)單調(diào)遞減n若解不等式/(x1)>/(x2),則有同<國(變號

加絕對值)；

③/(x)關(guān)于(a,b)對稱，且/⑴單調(diào)遞增n若解不等式/(斗)+/(々)>2兒則有

西+冗2>2。；

/(X)關(guān)于(a1)對稱，且/(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(%1)+/(%2)>2&,則有

再+犬2<2。；

④/(X)關(guān)于X=a對稱，且/(X)在(凡”)單調(diào)遞增n若解不等式/(^)>/(々)，則有\(zhòng)xx-d\>\x2-a\

(不變號加絕對值)；

/(x)關(guān)于x=a對稱，且/(x)在(a,+QO)單調(diào)遞減n若解不等式/(^)>/(x2)>則有上一。|<民一《

(不變號加絕對值)；

三、抽象函數(shù)的模型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù)-(X+M點累p則〃x)=—,[訝⑴)均不見

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/(X土y)=/(x)±〃y),則/(%)=/⑴X；

模型2：若"X土y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數(shù);

模型3：若/(%+y)=/(x)+f(y)+m,則/(x)=[/(l)+m\x-m；

模型4：若/0-丁)=/(%)-/(?+加,則/(x)=[/(l)-m]x+m；

【指數(shù)函數(shù)模型】(供提前了解)

模型1：若y)=/(x)f(yr則f(x)=[/(l)r；模X)>0

模型2：若/(%一丁)=荒^,則/(x)=["l)『/(x)>0

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)m,則/⑴」“[)向；

m

模型4：若/(x-y)=mH,則y(x)=m""；

J\y)m

【對數(shù)函數(shù)模型】(供提前了解)

模型1：若/(/)=叭*)，則/(x)=/(a)log“x(a>dl.wLx>0)

模型2：若/(盯)=/(%)+/(丁)，則/0)=/(。)1080%(。>0且/1,羽丁>0)

Y

模型3：若/(7)=/(%)-/(>),則/(x)=/(a)log“x(a>(X@.wLx,y>0)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,則/(%)=[/(。)+加]108/-加伍>0且彳1,%?>0)

模型5：若/(：)=/(x)—/(y)+m,則/(x)=[/(a)-問噫I+加(。>0且工1,%,>>0)

【幕函數(shù)模型】(供提前了解)

模型1：若/(盯)=/(x)/(y)，則/(力=/(。產(chǎn)"(?！?且工1)

模型2：若/(j)=黑，則〃％)=〃"嗎”(。>0且21,丁20,〃丁)工0)

代入則可化簡為募函數(shù)；

【余弦函數(shù)模型】(供提前了解)

模型1：若/(%+y)+/(X-y)=2/(x)/(X)(/(x)不值為0),則/(%)=coswx

模型2：若〃x)+/(y)=2/(4產(chǎn))/(三馬(〃x)不恒為0)，則/(x)=coswx

【正切函數(shù)模型】(供提前了解)

模型.若/(x土y)=/(x)±/(y)"(x)/(y)wl),則〃、,

醫(yī)士，七八力[不/(%)/(,)\八"，八f(x)=tanwx

一9

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=4(x)/(>0(/(x”p[lM),貝ij/(x)=^coswx

K

x壓軸題型講練2

【題型一抽象函數(shù)定義域】

一、單選題

1.（23-24高一上?重慶璧山?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（元）的定義域為「1,2],則/（3-2x）的定義域為（）

A.[1,2]B.[-1,2]C.[-1,5]D.[1,1]

2.（23-24高一上.江蘇鎮(zhèn)江.期中）已知函數(shù)/'（無+2）的定義域為（T3）,則“x）的定義域為（）

A.（-1,1）B.（1,5）C.（-3,1）D.（0,2）

3.（24-25高一上?全國?單元測試）已知函數(shù)y=〃x-l）的定義域是[-1,2],則y=〃l-3x）的定義域為（）

-11「]1「]-

A.--,0B.--.3C.[0,1]D.--,1

二、填空題

4.（23-24高一上?湖南邵陽?期中）已知函數(shù)y=〃x）的定義域為[1,9],則函數(shù)＞=/（爐）的定義域

為.

5.（24-25高一上?全國?課堂例題）若f（2久+1）的定義域是[T3],則的定義域為.

6.（23-24高一上?江西贛州?階段練習(xí)）若函數(shù)“X）的定義域是[2,5],則函數(shù)y=/3（的定義域

是.

【題型二抽象函數(shù)求值】

一、單選題

1.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知函數(shù)，（尤）滿足/（》）+/則〃2)=()

A-4B-ic-1

2.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）己知函數(shù)〃尤）滿足了[jj=〃x）y）J

-1,則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.f7-2B."2)=0C."4)=1D./(8)=2

3.（2024?福建泉州.模擬預(yù)測）己知函數(shù)〃力滿足〃%+?。?〃耳+/（田+2孫，若〃1）=1,則〃25）=（）

A.25B.125C.625D.15625

二、多選題

4.(23-24高一上?吉林?期末)已知函數(shù)〃尤)對任意x,〉eR,恒有/(x+y)=〃x)+/(y)+2盯+2,且

=則()

A./(O)=-lB."2)=6C.〃0)=-2D.“2)=2

三、填空題

5.(23-24高一上?山東?階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,若〃x+y)=〃x)+/(y)+2町—1對任意

實數(shù)x,y都成立，貝iJf(O)=；/(4)-4/(1)=.

6.(24-25高一上?湖南?開學(xué)考試)如果函數(shù)y=f(>)滿足：⑼。為實數(shù)),且(0)=2,

耶力樣粉土/⑶+/⑸++/(2019)/(2021)

那么代數(shù)式西+麗++而西+7^西一'

【題型三抽象函數(shù)解析式】

一、填空題

1.(23-24高三上.廣東惠州.階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)滿足〃x+l)=〃x)+2,則〃x)的解析式可以

是.(寫出滿足條件的一個解析式即可)

2.(23-24高一上?廣東佛山?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足Vx,yeR,

f(2xy+3)=f(x)-/(y)-3/(y)-6.r+9,/(0)=3,不等式/(x)>x的解集為.

二、多選題

3.(23-24高一上?安徽淮南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(無)滿足/'(x+y)=f(x)+/(y),x,yeR,貝I]()

A./(0)=0B.f(k)=kf(l),keZ

C./。)=^]￡|，(左7。)D./(-%)/?<0

三、解答題

4.(2024高一?全國?專題練習(xí))已知“X)-j=3x+2,求的表達(dá)式

5.(23-24高一?江蘇?假期作業(yè))設(shè)〃x)是R上的函數(shù)，/(0)=1,并且對于任意的實數(shù)》，>都有

〃x+y)=/(y)+x(x+2y+l),求〃x).

【題型四抽象函數(shù)的單調(diào)性】

一、解答題

1.(23-24高二下?四川南充?階段練習(xí))已知/(久)是定義在R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)尤,上

/(x+2y)=/(x)+2/(^).

⑴若/⑴=-2,求的值?

⑵若久〉0時恒有/(x)<0,試判斷函數(shù)/0)單調(diào)性，并說明理由.

2.(23-24高一下?貴州六盤水?期中)已知函數(shù)的定義域為R，對任意x,V都滿足y)=〃尤)/(y)，

且〃x)*O當(dāng)x>0時,/(%)>1,且"2)=9.

⑴求"1)，〃3)的值；

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(x)在R上單調(diào)遞增；

⑶若對任意的xeR,/(2》2-4+423/(.計5)〃3%-4)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

3.(23-24高二下.福建福州?期中)已知函數(shù)〃x)的定義域為(0,+?),對任意正實數(shù)七，七都有

/(^x2)=/(^)+/(x2)+l,且當(dāng)0cx<1時，/(x)>-l.

⑴求〃1)的值；

(2)試判斷/(x)的單調(diào)性，并證明；

(3)^/(6X2-5X)+1>0,求x的取值范圍.

【題型五抽象函數(shù)的奇偶性】

一、單選題

1.(23-24高一下?貴州遵義?期末)已知函數(shù)的定義域為R,〃x+y)=〃x)+〃y)-2,則()

A./(0)=0B.函數(shù)〃力-2是奇函數(shù)

C.若"2)=2,貝Y(2024)=-2D.函數(shù)外力在(0,+8)單調(diào)遞減

2.(23-24高一下?河南洛陽?期末)已知函數(shù)”力的定義域為R,f{a}f(b)-f{a}=ab-b,則()

A./(0)=0B.41)=2C.〃龍)一1為偶函數(shù)D./(X)—1為奇函數(shù)

3.(23-24高一下?黑龍江大慶?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃力的定義域為R,且/(；卜0,若

/(x+y)+/(x)/(y)=4孫，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.小J。B.叫=-2

C.函數(shù)/'[x-g]是偶函數(shù)D.函數(shù)/[x+g]是減函數(shù)

二、多選題

4.(23-24高一上?遼寧遼陽?期末)已知函數(shù)〃x)對任意x,yeR恒有/(%+封=/(%)+〃丫)+4孫+1,且

"1)=1，則()

A./(O)=-lB.“X)可能是偶函數(shù)

C.42)=8D.f(x)可能是奇函數(shù)

5.(23-24高一上.浙江金華?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)滿足/(x)+〃y)=〃x+y),則下列說法正

確的是()

A./(0)=0B.“X)-〃y)=/(x-y)

c./(X)為奇函數(shù)D.“X)在區(qū)間［加,〃］上有最大值

6.(23-24高一上.河北邢臺.階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(無)，對任意實數(shù)蒼兒都有

/(◎)=W(x)+V(y),則()

A./(O)=OB./(1)=0

C./(16)=16/(2)D.7'(x)為奇函數(shù)

三、解答題

7.(23-24高一下?河北保定?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)“力滿足：〃x+y)=/(x)+/(y)-3“(x+y).

(1)判斷y=/(x)的奇偶性并證明；

⑵若"1)=1,求/(—2)；

⑶若Vx>0,〃x)+V>0,判斷并證明y=y(x)+三的單調(diào)性.

8.(23-24高一上?山東?階段練習(xí))已知定義在(-―0)V(0,+8)上的函數(shù)滿足/(y)-/⑴,

當(dāng)尤>0時，/?>0,且"1)=1.

⑴求4(2),/(-1)；

(2)判斷〃尤)的奇偶性，并說明理由；

(3)判斷/(x)在(f,0)上的單調(diào)性，并說明理由.

??壓軸能力測評“

一、單選題

1.(24-25高一上?湖北黃岡?階段練習(xí))已知函數(shù)/(/一到定義域為(0,2),則/定義域是()

j_4J_411

B.C.D.

353353

2.（23-24高一上?吉林延邊?階段練習(xí)）已知定義在（。,+"）上的函數(shù)〃x）滿足-4d￡|=-，，則”2）

的值為（）

3.（23-24高一上.安徽宣城.期末）已知函數(shù)"為）滿足〃孫）=〃x）+〃y）-1,且x,ye（0,”），則

/［1+/［）+〃1）+〃2）+"3）=（）

A.0B.1C.5D.-

2

4.（2023?浙江嘉興?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力的定義域為R,且/（對=工3/1￡|（口（-8,0）（0,+⑹）,

〃x）+/（y）+2刈=/（x+y）,則"3）的值是（）

A.9B.10C.11D.12

5.（23-24高一下.河南洛陽?期末）已知函數(shù)的定義域為R,f0nb）-f（a）=ab-b,則（）

A./（0）=0B."1）=2C.〃尤）一1為偶函數(shù)D.『⑺―1為奇函數(shù)

二、多選題

6.（23-24高一上?遼寧遼陽?期末）已知函數(shù)對任意x,yeR恒有/（x+y）=/（x）+〃y）+4到+1,且

"1）=1，則（）

A./（0）=-1B.“X）可能是偶函數(shù)

C."2）=8D.〃x）可能是奇函數(shù)

7.（23-24高一上?重慶?期末）已知〃x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且〃3）=g,則下列說法正確的

是（）

A.若對任意x,yeR,總有〃沖）=W（x）+獷（y）,則/（x）是奇函數(shù)

B.若對任意尤，yeR,總有/（x+y）=〃x）+〃y）,則/（x）是偶函數(shù)

C.若對任意x,yeR；總有〃.）=W（x）+獷（y）,則/（一；］=:

D.若對任意x,yeR,總有/（x+y）=/（x）+/（y）,則J

8.（23-24高一下?湖南長沙?階段練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)/（X）滿足

/(X+y)=/(%)-/(y)-/(2-x)/(2-y),且〃0)w(V(-2)=0,貝ij()

A."2）=1

B./（x）是偶函數(shù)

C.[/（x）]2+[f（2+x）]2=l

D./（l）+/（2）+/（3）++”2024）=1

三、填空題

9.（24-25高一上?廣東梅州?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（工-2）的定義域為（0,+s）,則函數(shù)/