高中數(shù)學(xué)選修2122綜合試題

/高中數(shù)學(xué)選修2-1、2-2綜合試題班級(jí)姓名得分選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選答案寫在答題卡上)1．復(fù)數(shù)z的虛部記作Im（z），若z=，則Im（）=（） A．2 B．2i C．－2 D．－2i2．考察以下列命題： ①命題“”的否命題為“若” ②若“”為假命題，則p、q均為假命題 ③命題p：，使得；則：，均有 ④“”是“”的充分不必要條件則真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．43.在平行六面體中，為及的交點(diǎn)。若，，則及相等的向量是（）A．B．C．D．4．由直線曲線及軸所圍圖形的面積為（）A．- B．C． D．5．已知拋物線上有一點(diǎn)M（4，y），它到焦點(diǎn)F的距離為5，則的面積（O為原點(diǎn)）為（） A．1 B．2 C． D．6．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：……①②③按照上面的規(guī)律，第個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為（）A． B． C． D．7．在正三棱柱中，若，則及所成角的大小為（）A．60°B．75°C．105°D．90°8．給出下面四個(gè)類比結(jié)論（）①實(shí)數(shù)若則或；類比向量若，則或②實(shí)數(shù)有類比向量有③向量，有；類比復(fù)數(shù)，有④實(shí)數(shù)有，則；類比復(fù)數(shù)，有，則其中類比結(jié)論正確的命題個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知拋物線＝2px（p>1）的焦點(diǎn)F恰為雙曲線（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，且兩曲線的交點(diǎn)連線過點(diǎn)F，則雙曲線的離心率為(

)

A．

B．

2

C．

D．

10．設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)R（t）．若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度及球半徑（）A．成正比，比例系數(shù)為CB．成正比，比例系數(shù)為2CC．成反比，比例系數(shù)為CD．成反比，比例系數(shù)為2C二、填空題（每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卷相應(yīng)空格上。）11．表示虛數(shù)單位，則12．若命題“∈[1，3]，使a＋（a－2）x－2＞0”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______13．已知當(dāng)拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2米時(shí)，量得水面寬8米。當(dāng)水面升高1米后，水面寬度是________米.14．在長方體ABCD-ABCD中，若AB=BC=1，AA=2，則A到直線AC的距離為15．設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則=；當(dāng)ｎ＞４時(shí)，＝（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）三、解答題：（本大題共6小題，共75分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16、(本題滿分12分)已知m＞0，p：（x+2）（x-6）≤0，q：2-m≤x≤2+m．（I）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）若m=5，“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．17、(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1,a2,a3,并推測(cè)an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。18、（本題滿分12分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，，是的中點(diǎn)。（1）求異面直線及所成角的余弦值；（2）求直線BE和平面的所成角的正弦值。19、（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線及拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)。（1）求證：命題“如果直線過點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。20、（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是、，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.21、（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)－2lnx，f(1)＝0.（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為0，且an＋1＝f′(eq\f(1,an－n＋1))－n2＋1，已知a1＝4，求證：an≥2n＋2.高中數(shù)學(xué)選修2-1、2-2綜合試題參考答案ACABBADBCD16、1；[－1，2/3]；；；5，．16、17、(1)a1＝,a2＝,a3＝,猜測(cè)an＝2－(2)①由（1）已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；②假設(shè)n＝k時(shí),命題成立，即ak＝2－,當(dāng)n＝k＋1時(shí),a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－,ak＋1＝2－,即當(dāng)n＝k＋1時(shí),命題成立.根據(jù)①②得n∈N+,an＝2－都成立18、解：（1）以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有、、、COS<>所以異面直線及所成角的余弦為（2）設(shè)平面的法向量為則，則，故BE和平面的所成角的正弦值為19、證明：（1）解法一：設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2).當(dāng)直線l的鈄率下存在時(shí),直線l的方程為x=3,此時(shí),直線l及拋物線相交于A(3,)、B(3,－)，∴。當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.得ky2－2y－6k=0,則y1y2=－6.又∵x1=y12,x2=y22,∴=x1x2+y1y2==3.綜上所述,命題“”是真命題.解法二：設(shè)直線l的方程為my=x－3及=2x聯(lián)立得到y(tǒng)2-2my-6=0=x1x2+y1y2=(my1+3)(my2+3)+y1y2=(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)×(-6)+3m×2m+9＝3（2）逆命題是：“設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).”該命題是假命題.例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3,直線AB的方程為y=(x+1),而T(3,0)不在直線AB上.點(diǎn)評(píng)：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)滿足,可得y1y2=－6?；騳1y2=2，如果y1y2=－6，可證得直線AB過點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2,可證得直線AB過點(diǎn)(－1,0),而不過點(diǎn)(3,0)。20．（Ⅰ）解：由，得.依題意△是等腰直角三角形，從而，故.所以橢圓的方程是.（Ⅱ）解：設(shè)，，直線的方程為.將直線的方程及橢圓的方程聯(lián)立，消去得.所以，.若平分，則直線，的傾斜角互補(bǔ)，所以.設(shè)，則有.將，代入上式，整理得，所以.將，代入上式，整理得.由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以.綜上，存在定點(diǎn)，使平分.21、解：(1)因?yàn)閒(1)＝a－b＝0，所以a＝b，所以f(x)＝ax－eq\f(a,x)－2lnx，所以f′(x)＝a＋eq\f(a,x2)－eq\f(2,x).要使函數(shù)f(x)在定義域(0，＋∞)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在(0，＋∞)內(nèi)f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.當(dāng)a＝0時(shí)，則f′(x)＝－eq\f(2,x)＜0在(0，＋∞)內(nèi)恒成立；適合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，要使f′(x)＝a(eq\f(1,x)－eq\f(1,a))2＋a－eq\f(1,a)≥0恒成立，則a－eq\f(1,a)≥0，解得a≥1；當(dāng)a＜0時(shí)，由f′(x)＝a＋eq\f(a,x2)－eq\f(2,x)＜0恒成立，適合題意．所以a的取值范圍為(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)根據(jù)題意得：f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，得a＝1，所以f′(x)＝(eq\f(1,x)－1)2，于是an＋1＝f′(eq\f(1,an－n＋1))－n2＋1＝(an－n)2－n2＋1＝aeq\