第5講圓錐曲線綜合問題原卷版

第5講圓錐曲線綜合問題目錄重難點題型突破突破一：求橢圓，雙曲線，拋物線軌跡方程突破二：離心率問題突破三：圓錐曲線上點到定點（定直線）距離最值突破四：圓錐曲線中三角形（四邊形）面積最值問題突破五：圓錐曲線中定點，定值問題突破六：圓錐曲線中定直線問題突破七：圓錐曲線中的向量問題突破一：求橢圓，雙曲線，拋物線軌跡方程1．（2022·北京·海淀教師進修學校附屬實驗學校高二階段練習）平面直角坐標系中，動圓T與x軸交于兩點A，B，與y軸交于兩點C，D，若|AB|和均為定值，則T的圓心軌跡一定是（

）A．橢圓（或圓） B．雙曲線 C．拋物線 D．前三個答案都不對2．（2022·全國·高三專題練習）已知兩圓，動圓與圓外切，且和圓內切，則動圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2022·湖北省天門外國語學校高二階段練習）直線和上各有一點（其中點的縱坐標分別為且滿足），的面積為4，則的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2·湖北·高二階段練習）圓的半徑為定長是圓上任意一點，是圓所在平面上與不重合的一個定點，線段的垂直平分線和直線相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡可能是（

）A．一個點 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線5．（多選）（2022·江蘇南通·高二期中）過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，切點分別為，如果，那么點的軌跡可能是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．線段6．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學高二期末）已知、，，函數(shù)．若、、成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是______．7．（2022·福建三明·高二期中）雙曲線：實軸的兩個頂點為，，點為雙曲線上除，外的一個動點，若，，則動點的軌跡方程是______.8．（2022·河北·任丘市第一中學高二期中）已知，B是圓C：上的任意一點，線段BF的垂直平分線交BC于點P.則動點P的軌跡方程為______.9．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸?軸于兩點，當點運動時，點的軌跡方程是___________.10．（2022·吉林·遼源市第五中學校高三期中）已知過定點的直線交曲線于A，B兩點．(1)若直線的傾斜角為，求；(2)若線段的中點為，求點的軌跡方程．11．（2022·四川·雅安中學高二期中）已知拋物線經(jīng)過點（a為正數(shù)），F(xiàn)為拋物線的焦點，且．(1)求拋物線C的標準方程；(2)若點Q為拋物線C上一動點，點M為線段的中點，求點M的軌跡方程．12．（2022·全國·高二單元測試）已知動點是曲線上任一點，動點到點的距離和到直線的距離相等，求的方程，并說明是什么曲線；13．（2022·全國·高三專題練習）已知直線和與拋物線（p＞0）分別相交于A，B兩點（異于原點O）與直線l：y＝2x+p分別相交于P，Q兩點，且．求線段AB的中點M的軌跡方程；14．（2022·全國·高三專題練習）已知點到定點的距離比它到x軸的距離大，求點P的軌跡C的方程；15．（2022·全國·高三專題練習）已知點，，為直線上的兩個動點，且，動點滿足，（其中為坐標原點），求動點的軌跡的方程．突破二：離心率問題1．（2022·湖南·模擬預測）若，橢圓C：與橢圓D：的離心率分別為，，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為2．（2022·河北·模擬預測）設?分別是橢圓的左?右焦點，為橢圓上的一點，若的最大值為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，直線與的另一個交點為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南永州·一模）已知橢圓分別為其左?右焦點，過作直線軸交橢圓于兩點，將橢圓所在的平面沿軸折成一個銳二面角，設其大小為，翻折后兩點的對應點分別為，記.若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2022·安徽·合肥市第六中學模擬預測（理））已知斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，與x軸，y軸分別交于C，D兩點，若C，D恰好是線段的兩個三等分點，則橢圓E的離心率e為（

）A． B． C． D．7．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預測（理））一個底面半徑為1，高為3的圓柱形容器內裝有體積為的液體，當容器傾斜且其中液體體積不變時，液面與容器壁的截口曲線是橢圓，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·河北·模擬預測）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．（2022·江蘇鹽城·三模）已知點為橢圓：的上頂點，點，在橢圓上，滿足且，若滿足條件的△有且只有一個，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．（2022·廣西廣西·模擬預測（理））雙曲線的左右頂點分別為，曲線上的一點關于軸的對稱點為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則當取到最小值時，雙曲線離心率為（）A． B．2 C．3 D．611．（2022·陜西·寶雞中學模擬預測（理））已知雙曲線的左?右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．（2022·四川省宜賓市第四中學校模擬預測（文））已知是雙曲線的右焦點，點，連接與漸近線交于點，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．13．（2022·四川雅安·三模（文））已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．14．（2022·山西·模擬預測（理））雙曲線的右頂點為在軸上，若上存在一點（異于點）使得，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．（2022·全國·贛州市第三中學模擬預測（理））雙曲線：的左?右焦點分別為，，若在雙曲線上有一點使得三角形為直角三角形，且該三角形某個銳角的正切值為，那么該雙曲線離心率的最大值為（

）A． B． C． D．516．（2022·內蒙古呼和浩特·二模（理））已知點F為雙曲線（，）的右焦點，若雙曲線左支上存在一點P，使直線與圓相切，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（2022·甘肅蘭州·一模（理））已知橢圓：與雙曲線有公共的焦點?，為曲線?在第一象限的交點，且的面積為2，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A．9 B． C．7 D．突破三：圓錐曲線上點到定點（定直線）距離最值1．（2022·河南鄭州·三模（文））斜率為1的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．2．（2022·四川·成都外國語學校高二期中（理））已知，，分別為橢圓C：的左，右焦點，過垂直于長軸的直線交橢圓C于A、B兩點，且；Q為C上任意一點，求的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·江蘇南通·高二期中）若點，分別在橢圓和直線上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2022·福建·莆田第六中學高二階段練習）已知點是拋物線上的動點，點A的坐標為，則點到點A的距離與到軸的距離之和的最小值為（

）A．13 B．12 C．11 D．6．（2022·陜西·交大附中模擬預測（文））已知拋物線的焦點為，若，是拋物線上一動點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．37．（2022·全國·高三階段練習）已知雙曲線，過雙曲線C上任意一點P作兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N.則的最小值為______.8．（2022·江蘇南通·高三階段練習）已知是拋物線上一點，則的最小值為______.9．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學高二期末（理））已知P為拋物線y2＝4x上的一個動點，直線l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為_______10．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的焦點為，，點P為橢圓上任意一點，過作的外角平分線所在直線的垂線，垂足為點Q.拋物線上有一點M，它在x軸上的射影為點H，則的最小值是________.突破四：圓錐曲線中三角形（四邊形）面積最值問題1．（2022·湖北·高二階段練習）在中，已知點與邊上的中線長之和為6.記的重心的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若圓，過坐標原點且與軸不重合的任意直線與圓相交于點，直線與曲線的另一個交點分別是點，求面積的最大值.2．（2022·重慶巴蜀中學高二階段練習）定義：若點在橢圓上，并滿足，則稱這兩點是關于的一對共軛點，或稱點關于的一個共軛點為．已知點在橢圓上，是坐標原點．(1)求點關于的所有共軛點的坐標：(2)設點在上，且，求點關于的所有共軛點和點所圍成封閉圖形面積的最大值．3．（2022·河北·衡水市第二中學高二期中）已知拋物線的準線過橢圓的左焦點,且橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點構成一個正三角形.(1)求橢圓的方程;(2)直線交橢圓于兩點,點在線段上移動,連接交橢圓于兩點,過作的垂線交軸于,求面積的最小值.4．（2022·山西省運城中學校高二期中）已知橢圓，點P為E上的一動點，分別是橢圓E的左?右焦點，的周長是12，橢圓E上的點到焦點的最短距離是2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的動直線l與橢圓交于P，Q兩點，求面積的最大值及此時l的方程.5．（2022·遼寧·鞍山一中高二期中）已知橢圓經(jīng)過點且離心率為(1)求橢圓的方程(2)過點的直線與橢圓相交于、兩點，為橢圓的左焦點，記的面積為，求的取值范圍．6．（2022·全國·高三專題練習）如圖，橢圓和圓，已知橢圓的離心率為，直線與圓相切．(1)求橢圓的標準方程；(2)橢圓的上頂點為，是圓的一條直徑，不與坐標軸重合，直線、與橢圓的另一個交點分別為、，求的面積的最大值及此時所在的直線方程．7．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓和拋物線，橢圓的左，右焦點分別為，，且橢圓上有一點滿足，拋物線的焦點為．(1)求橢圓的方程；(2)過作兩條互相垂直的直線和，其中直線交橢圓于，兩點，直線交拋物線于，兩點，求四邊形面積的最小值．8．（2022·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，已知點，，動點滿足：．(1)求動點的軌跡的方程；(2)若分別過點、，作兩條平行直線，，設，與軌跡的上半部分分別交于、兩點，求四邊形面積的最大值．9．（2022·湖南師大附中高二階段練習）已知雙曲線，其虛軸長為，直線與曲線的左支相交于相異兩點.(1)求的取值范圍；(2)為坐標原點，若雙曲線上存在點，使（其中），求的面積的取值范圍.10．（2022·上海·復旦附中高二期中）如圖，為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為；雙曲線的左、右焦點分別為、，離心率為，已知，且過作的不垂直于軸的弦，為的中點，直線與交于、兩點.(1)求、的方程；(2)若四邊形為平行四邊形，求直線的方程；(3)求四邊形面積的最小值.11．（2022·江蘇省邗江中學高二期中）在一張紙片上，畫有一個半徑為4的圓（圓心為M）和一個定點N，且，若在圓上任取一點A，將紙片折疊使得A與N重合，得到折痕BC，直線BC與直線AM交于點P．(1)若以MN所在直線為軸，MN的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，求點P的軌跡方程；(2)在（1）中點P的軌跡上任取一點D，以D點為切點作點P的軌跡的切線，分別交直線，于S，T兩點，求證：的面積為定值，并求出該定值；(3)在（1）基礎上，在直線，上分別取點G，Q，當G，Q分別位于第一、二象限時，若，，求面積的取值范圍．12．（2022·四川·德陽五中高二期中（文））已知橢圓：，以橢圓的右焦點為焦點的拋物線的頂點為原點，點是拋物線的準線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線、，其中、為切點，設直線，的斜率分別為，.(1)求拋物線的方程及的值；(2)求證：直線過定點，并求出這個定點的坐標；(3)若直線交橢圓于、兩點，分別是、的面積，求的最小值.13．（2022·四川·成都七中高三階段練習（理））已知點是拋物線與橢圓的公共焦點，橢圓上的點到點的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)過點作的兩條切線，記切點分別為，求面積的最大值.14．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在坐標軸上，設是拋物線上一點．(1)求拋物線方程；(2)若拋物線的焦點在x軸上，過點M做兩條直線分別交拋物線于A，B兩點，若直線與的傾斜角互補，求面積的最大值．15．（2022·湖南·長沙市同升湖高級中學高三階段練習）已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，.(1)求拋物線的標準方程；(2)過的兩直線交拋物線于，，且的平分線平行于y軸，試判斷的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，說明理由.突破五：圓錐曲線中定點，定值問題1．（2022·湖南長沙·高二階段練習）雙曲線：的離心率為，且點在雙曲線上.(1)求曲線的方程；(2)動點M，N在曲線上，已知點，直線PM，PN分別與y軸相交的兩點關于原點對稱，點在直線MN上，，證明：存在定點，使得為定值.2．（2022·遼寧·本溪滿族自治縣高級中學高二階段練習）已知雙曲線的焦距為8，雙曲線的左焦點到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)設分別是雙曲線的左?右頂點，為雙曲線上任意一點（不與重合），線段的垂直平分線交直線于點，交直線于點，設點的橫坐標分別為，求證：為定值.3．（2022·廣東·江門市第一中學高二階段練習）已知，，點滿足，記點的軌跡為曲線.斜率為的直線過點，且與曲線相交于，兩點.(1)求曲線的方程；(2)求斜率的取值范圍；(3)在軸上是否存在定點，使得無論直線繞點怎樣轉動，總有軸平分？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由.4．（2022·福建·高二階段練習）已知圓，點是圓外的一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點．(1)求點的軌跡的方程(2)過點的直線交曲線于兩點，問在軸是否存在定點使？若存在，求出定點坐標；若不存在，說明理由．5．（2022·廣東·東涌中學高三期中）已知橢圓的離心率為，短軸長為10，右頂點為.(1)求橢圓的方程；(2)不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點，以為直徑的圓過點.求證：直線過定點，并求此定點坐標.6．（2022·湖南·衡陽師范學院祁東附屬中學高二期中）已知橢圓：的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓過點．(1)求橢圓的標準方程：(2)設點，是橢圓上異于點的兩個不同的點，直線與的斜率均存在，分別記為，，若，試問直線是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過，求出定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．7．（2022·江蘇·南京市建鄴高級中學高二階段練習）知橢圓E：的左右焦點分別為，，過且斜率為的直線與橢圓的一個交點在x軸上的射影恰好為(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，下頂點為A，過點作一條與y軸不重合的直線.該直線交橢圓E于C，D兩點.直線AD，AC分別交x軸于點H，求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.8．（2022·四川·簡陽市陽安中學高二階段練習（理））已知以坐標原點為圓心的圓與拋物線：相交于不同的兩點，與拋物線的準線相交于不同的兩點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若不經(jīng)過坐標原點的直線與拋物線相交于不同的兩點?，且滿足，證明直線過定點，并求出點的坐標.9．（2022·福建·莆田第六中學高二階段練習）若位于軸右側的動點到的距離比它到軸距離大.(1)求動點的軌跡方程D.(2)過軌跡D上一點作傾斜角互補的兩條直線，交軌跡于兩點，求證：直線的斜率是定值.10．（2022·四川·成都七中高二期中（文））設拋物線?的準線為l，A、B為拋物線上兩動點，，?為垂足，已知?有最小值?，其中?的坐標為?.(1)求拋物線的方程;(2)當（?，且）時，是否存在一定點?滿足?為定值?若存在，求出?的坐標和該定值;若不存在，請說明理由.11．（2022·河南安陽·高二期中）已知拋物線：（）的焦點為，點在上，且．(1)求的方程；(2)若不過點的直線與相交于兩點，且直線，的斜率之積為1，證明：直線過定點．突破六：圓錐曲線中定直線問題1．（2022·江蘇南京·高二期中）已知圓A：，T是圓A上一動點，BT的中垂線與AT交于點Q，記點Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點（0，2）的直線l交曲線C于M，N兩點，記點P（0，）.問：是否存在直線l，滿足PM=PN？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.2．（2022·山東聊城·三模）已知橢圓C：的離心率為，左頂點為，左焦點為，上頂點為，下頂點為，M為C上一動點，面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)過的直線l交橢圓C于D，E兩點（異于點，），直線，相交于點Q，證明：點Q在一條平行于x軸的直線上.3．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率，長軸的左、右端點分別為(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：當變化時，點是否恒在一條直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.4．（2022·廣東·肇慶市第一中學高三階段練習）已知雙曲線的離心率是2，直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線的右支交于兩點.當直線垂直于軸時，.(1)求雙曲線的標準方程.(2)記雙曲線的左?右頂點分別是，直線與交于點，試問點是否恒在某直線上？若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由.5．（2022·海南·海口中學高三開學考試）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為.(1)求C的方程；(2)設A，B是直線上關于x軸對稱的兩點，直線與C交于M，N兩點，證明：直線AM與BN的交點在定直線上.6．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線和圓，拋物線的焦點為.（1）求的圓心到的準線的距離；（2）若點在拋物線上，且滿足，過點作圓的兩條切線，記切點為，求四邊形的面積的取值范圍；（3）如圖，若直線與拋物線和圓依次交于四點，證明:的充要條件是“直線的方程為”7．（2022·全國·高三專題練習）曲線C上任一點到定點的距離等于它到定直線的距離．（1）求曲線C的方程；（2）經(jīng)過P（1,2）作兩條不與坐標軸垂直的直線分別交曲線C于A、B兩點，且，設是AB中點，問是否存在一定點和一定直線，使得M到這個定點的距離與它到定直線的距離相等．若存在，求出這個定點坐標和這條