北京市順義某中學2023-2024學年高一年級上冊10月月考數學試題

牛欄山一中2023-2024學年度第一學期10月月考

數學試卷

（90分鐘）2023.10

第一部分（填空題共42分）

一、填空題共14小題，每小題3分，共42分，把答案填在答題卡相應位置上.

1.如圖，數軸上兩點A,B,則氏4=/人因=.

AB

--------------1-----------1---------------------------1——>

013

【答案】①.-2②.2

【解析】

【分析】根據數軸上數的表示，及距離公式求解.

【詳解】：數軸上的兩點A,B對應的數分別是1,3,

.?.34=1-3=-2,|明=3-1=2.

故答案為：—2，2.

2.若集合4={1,2,3},5={1,3,4},則AD5=,=.

【答案】?.{1,2,3,4}②.{1,3}

【解析】

【分析】根據并集、交集的定義求解.

【詳解】集合A={1,2,3},5={1,3,4},則AU3={1，2,3,4},4。5={1,3}.

故答案為：{1,2,3,4},{1,3}.

3.已知分式方程幺F+」—=5,令二f=y,化簡可得關于y的整式方程為____.

x22x-l%2,

【答案】/_5y+l=0且ywO）

【解析】

2元一1

【分析】先考慮一一二y的范圍，再代入分式方程，去分母化簡整理可得答案.

x

【詳解】：y=m==_'+?=+1<1,（1=1時取等號），

又由題意得y/0,yKl且ywO.

將立?=y,代入在二+-^=5,得y+'=5,

Xx22x-ly

化簡整理可得關于〉的整式方程為V—5y+1=0(丁<1且丁/0).

故答案為：y2-5y+l=0(y<l>y^O).

4.因式分解：ab-2a-2b+^=.

【答案】(a-2)0-2)

【解析】

【分析】提取公因式即可分解因式.

【詳解】-2a—2Z?+4=a(b—2)-2(〃-2)=(a-2).(/?-2).

故答案為：(a-2>(〃-2).

5.若x—l是2V—G：2+5X—i的一個因式，則。=.

【答案】6

【解析】

【分析】設多項式另一個因式為2V+法+c，貝U(x—1乂2尤2+法+C)=2%3一以2+5%—1,展開整

理，利用對應項系數相等即可求得七仇c的值.

【詳解】設多項式的另一個因式為2必+法+c，

則(x—1)(2x~+bx+c)=—ax~+5無一1,

展開整理得，2x3+(Z?-2)x2+(c-Z?)x-c=2x3-ax2+5x-l,

b-2=-a

所以<c—6=5,解得a=6力=—4,c=l.

-c=-1

故答案為：6.

6.若無2—2023X+1=0，則X+^=.

x

【答案】2023

【解析】

【分析】整理方程，將目標式子化簡即可求解.

【詳解】因為％2—2023X+1=0，所以尤2+1=2023%，

訴”必+12023%

所以％+—=-----=-------=2023

XXX

故答案為：2023.

7.化簡工^=____.

a{-a

【答案】-1

【解析】

【分析】將根式化成指數嘉，再根據指數塞的運算法則計算.

故答案為：-1.

8.不等式,―2|<1的解集為.

【答案】(1,3)

【解析】

【分析】利用絕對值不等式的解法求解.

【詳解】由,―2]<1得—1<%—2<1,解得1<%<3,

故不等式卜―2|<1的解集為(1,3).

故答案為：(1,3).

9.設x,yeR,滿足方程/+y?=10x-6y—34,則％+丁=.

【答案】2

【解析】

【分析】利用完全平方公式和非負數的性質求得羽y的值，然后代入求值即可.

【詳解】?.*+/=10%—6y-34,

x~+y~—10x+6y+34=0

.(x2-10%+25)+(y2+6j+9)=0,

???（尤一5）2+（>+3）2=0,

**?x=5,y=-3,

x+y—5+（—3）—2.

故答案為：2.

10.已知集合加=｛2,0,11｝.若AtjM,且A的元素中至少含有一個偶數，則滿足條件的集合A的個數

為.

【答案】5

【解析】

【詳解】滿足條件的集合A有｛2｝、｛0｝、｛2,0｝、｛2,11｝,｛0,11｝.共5個.

故答案為5

11.在直角坐標系中將二次函數y=-2（x-1）?-2的圖像向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長

度，則所得拋物線的頂點坐標為.

【答案】（0,—1）

【解析】

【分析】首先得到平移后的函數解析式，從而求出其頂點坐標.

【詳解】將二次函數y=-2（x-if-2的圖像向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到

y=-2[（%+1）-1丁-2+1,

即y=—2%2—1,

所以函數的頂點坐標為（0,-1）.

故答案為：（0,-1）

12.若eR,滿足---=-----，則------的值為.

aba+bab

【答案】1

【解析】

【分析】對己知方程等價變形即可求解.

【詳解】因為工_工=,，所以勺女_?=i,所以卜+2]_卜+2]=1,所以,=1.

aba+bab<aJ\bJab

故答案為：1.

13.若根2=〃+2，/2=〃7+2（7%N〃），則加+〃=.

【答案】-1

【解析】

【分析】兩式作差，利用平方差公式求解.

【詳解】.\m—n^Q,

若=〃+2,n2=m+2，

兩式作差得m2—n2=71+2—（m+2）,即（加+〃）（加—〃）=〃一加,

兩邊同時除以加一"得：m+n=-l.

故答案為：T.

14.某網店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天

售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網店

①第一天售出但第二天未售出的商品有種；

②這三天售出的商品最少有種.

【答案】①16；?.29

【解析】

【詳解】試題分析：①設第一天售出商品的種類集為A,第二天售出商品的種類集為8,第三天售出商品

的種類集為C,

如圖,

則第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16種;

②由①知，前兩天售出的商品種類為19+13-3=29種，第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=

14種，當這14種

商品第一天售出但第二天未售出的16種商品中時，即第三天沒有售出前兩天的商品時，這三天售出的

商品種類最少為29種.

故答案為①16；②29.

16AB10J【名師點睛】

本題將統(tǒng)計與實際情況相結合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題，關鍵在于分析商品出售的所有可能的

情況，分類討論時要做到不重復、不遺漏，另外，注意數形結合思想的運用.

第二部分（簡答題共58分）

二、解答題共6道題，共58分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.設全集。=R,集合A={尤[x<l},B=[x\x>a].

(1)若eAuB,求a的取值范圍；

(2)若AC5N0,求。的取值范圍.

【答案】(1)a<1

(2)a<1

【解析】

【分析】(1)由補集定義可得aA,由包含關系可得。的范圍;

(2)根據交集的定義可直接求得結果.

【小問1詳解】

A={x|x<l},則4A={x|xNl},

又5={x|x>a},所以a<1.

【小問2詳解】

A={%|%<1},3={x|x>a\,

若則avl.

16.請同學們補全下面兩個關于工的不等式的解答過程.

(1)x2+or+4>0(6z>0)；

解：令y=f+依+4(〃>0),

令f+依+4=0,計算八二。2—16,

當A〈0時，即0vav4時，方程￡+狽+4=0不存在實根;

畫y=犬2+依+4草圖,

不等式的解集為.

當△二()時，即時，方程%2+依+4=0的兩根為

畫y=X2+依+4草圖,

y八

6-

4-

2-

ii?_________I?_____i?

-6-4-2。246x

-2-

-4-

不等式的解集為

當A〉。時，即時，方程M+依+4=0的兩根為

畫y=犬2+Q%+4草圖,

y八

6-

4-

2-

???_____111A

-6-4-20246x

-2-

-4-

不等式的解集為

(2)X(X2-6X+5)<0.

解：令%(%2-6兄+5)=0(*),

則方程（*）的三個根從小到大排列分別為%=

把三個根分別標在x軸上，并完成表格，

iiii111111A

-3-2-10123456^

玉<

X的取值范圍x<x1x<x2x2<X<x3X〉電

—6x+5）的符號

請根據表格寫出不等式X（X2-6X+5）＜0的解集.

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）結合判別式，根據一元二次方程和二次函數，一元二次不等式的關系求解;

（2）根據方程的根與不等式解集的關系求解.

【小問1詳解】

令y=爐+ox+4（a>0）,

令f+ax+4=0,計算A=4-16，

當A<0時，即0<a<4時，方程/+依+4=。不存在實根；回y=X?+OX+4草圖,

不等式的解集為R.

當△=€）時，即。=4時，方程/+奴+4=0的兩根為％=%=-2.畫丁=爐+?！?4草圖,

不等式的解集為{x|xw-2}.

Ia—-16—ci+y]G~—16

當A〉0時，即a>4時，方程/+依+4=0的兩根為石=二^----------,X。=

2------------2

...r、，，AFq,-a—-16_—ci+da~-16

不等式的解集為\xx<-------------或X〉--------------

22

【小問2詳解】

令尤(x?_6無+5)=0(*),

則方程(*)的三個根從小到大排列分別為占=0；%2=1；七=5.

把三個根分別標在x軸上，

―?------1------1---*—*——?------1-----1------*----1——>

-3-2-10123456x

x<0時，X2—6x+5>0,則無(尤2-6龍+5)<0,

0<x<l時，x2—6x+5>0,則廠—6x+5)>0,

1<%<5時，X2-6X+5<0，則尤(V—6X+5)<0,

x>5時，x2—6x+5>0,則無(尤2—6x+5)>0,

完成表格，

X的取值范圍x<x1X]<x<x2x2<X<x3X〉

—6%+5)的符號—+—+

根據表格可得，不等式X(X2-6X+5)<0的解集為{x|x<0或l<x<5}.

17.已知A={x|x=3左，左cZ},3={x|x=3左+1,左eZ}.

(1)判斷3,5是否在集合A中，并說明理由；

(2)判斷6m—2(機wZ)是否在集合8中，并說明理由；

(3)若aeA,b&B,判斷a+b是否屬于集合8,并說明理由.

【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由見解析

(2)6/篦-2。篦?Z)在集合8中，理由見解析

(3)a+b屬于集合8,理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據集合A中元素的特征判斷求解；

(2)根據集合B中元素的特征判斷求解；

(3)設a=3p,peZ,人=3q+l,qeZ,進而根據集合B中元素特征判斷求解.

【小問1詳解】

=3=3x1,；.3在集合A中，

令3左=5,則左=gcz,故5不在集合A中.

【小問2詳解】

6m-2=3（2m-l）+l,且2/八—IwZ,故6m-2（meZ）在集合8中.

【小問3詳解】

設a=3p,peZ,b=3q+l,qeZ,

則。+3=3（夕+4）+1,/?+4€2,

所以a+Z?屬于集合反

18.（1）解關于x,y的方程組《

兄2=3.

x=X%一%x1+4/=8,

（2）已知＜和V2是關于X,y的方程組＜LQ+4）1為參數）的兩組不同實數解.

y=%

一32公64左2—8

求證：①%+%=

X1X2=7FTI

②xxx2+8+3石+3X2=0；

x+4_石+4

2（其中占,％2片―2）.

%2+2石+2

【答案】（1）｛（2,-1）｝,（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用代入消元法求解即可;

（2）由方程組消元得一元二次方程，結合韋達定理證明即可.

x+V=1

【詳解】（1）由方程組《.c，消元得2x—4=0,解得x=2,從而y=l—2=—1,

x-X=3

方程組的解為｛（2,—1）｝.

X"）消元得（4左之+3242九+64左2一8=0（*）,

（2）由方程組

y=Q+4）'

由題意，石,馬是此方程（*）的兩個不同實根,

211

則A=（3242）-4（4^2+l）（64Z:2-8）＞0,得16/一IvO，即一〈人

-32k264k2-8

①由韋達定理得xt+x2=

64左2一83（—32燈64左2—8+32左2+8—96%2

2+

4k+1+44+14k2+1

③；（％2+4）（玉+2）+（芯+4）（尤2+2）=2[%尤2+3（玉+x?）+8]=2x0=0,

々+4再+4

?玉+2w0,%+2w0,

入2+2$+2

19.證明:

(1)“a>4”是“％2一以+4=o有兩個不相等實數根”的充分不必要條件；

(2)設集合4={%|04尤<1},對集合A中的每一個x,不等式辰-加伯1均成立的一個必要不充分條

件為aWb+L

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用充分條件與必要條件的概念，結合方程的判別式證明；

(2)利用充分條件與必要條件的概念，結合特值法證明.

【小問1詳解】

爐―公+4=0有兩個不相等實數根OA="2—4x4>0Oa<-4或a>4.

'%>4”可以推出“°<-4或0>4",“a<-4或a>4”不能推出"a>4”,

所以“a>4”是“/一6+4=o有兩個不相等實數根”的充分不必要條件.

【小問2詳解】

若對集合人={]|0斗41}中的每一個天，不等式辰—而歸1均成立，

令x=l得|。一441,-l<a—b<l,b-l<a<b+l,從而成立.

若a〈Z?+l,取a=-l3=1,則辰一芯|VI可化為卜+/區(qū)1,

當x=l時，滿足0<x<l,但,+/|=2>1,即不等式辰—對41不成立.

綜上，設集合A={x|0<x〈l},對集合A中的每一個x,不等式|依-歷[?1均成立的一個必要不充分

條件為aWb+1.

20.已知A=(q,%,%,4)為實數數組，定義集合

+a

P[A)=[al,a2,a3,a4,al+4,。2+a4,^+a2+03,/+/+。4，卬+。23+/｝，給定正整數

m,若{1,2,…，相—l,m}cP（A）,則稱A為相一連續(xù)生成數組.

（1）判斷3=（0,2,1,4）是否為5-連續(xù)生成數組？是否為6-連續(xù)生成數組？說明理由；

⑵若。=（0,1,。,2）為6-連續(xù)生成數組，求。的值，并說明理由；

（3）數組4=（%,4，/，4）是否為10-連續(xù)生成數組？說明理由.

【答案】（1）3=（0,2,1,4）是5-連續(xù)生成數組，不是6-