高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第26講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

［課程標(biāo)準(zhǔn)］1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，能

畫出這些三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大QJ')值2借助

圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2兀］上，正切函數(shù)在［-爹，之上的性質(zhì).

基礎(chǔ)知識(shí)整合

＞知識(shí)梳厘

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

⑴在正弦函數(shù)y=sinx,00,2印勺圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0),停，1),

(兀，0),俘，一1),(271,0).

(2)在余弦函數(shù)y=cosx,曰0,2兀］的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1),仔，0),

(兀，-1),仔,0),(271,1).

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y二sinxy-cosxy=tanx

y斗

1丁、江2r.

圖象7

77….……….X

-10...klz..….…多

-11

畫

定義域國(guó)旦國(guó)旦

jx|%￡區(qū)且存日+%兀，

值域[o^r-i,n[osir-i,11畫E

在畫在畫「(22-1沅，

兀兀］在|TT|［一］+/兀，與+左兀］

—g+2kli,5+2kli的］匹Z1上遞

單調(diào)性

色紅Z)上遞增；增；在11。12%兀,(2)匹④上遞增

在畫+1)兀］伏?Z)上涕

兀C73兀減

8+2左兀，2+2左兀

魚豆Z）上遞減

x=112母+2左兀(2￡Z)X=K]2E(《?Z)

時(shí),ymax=1；時(shí),ymax=1；

最值x=[15|兀+無(wú)最值

X=國(guó)]一3+

22兀優(yōu)￡Z)日寸,'min

2kli(k￡Z)日寸,ymin=—

=-1

1

奇偶性國(guó)］奇函數(shù)回偶函數(shù)呵奇函數(shù)

對(duì)

司（左兀+1,0）,

稱

眄(E,0),kJZ國(guó)件，。），舊

中

對(duì)左GZ

稱心

性對(duì)

㈤直線x=E+J,畫直線X=E,

稱無(wú)對(duì)稱軸

kbk?Z

軸

最小正

國(guó)區(qū)因互126|TI

周期

。知識(shí)拓展

1.函數(shù)y=Asin（①x+9）（AR0,①加）和y=Acos（69x+（p）（A^O,①WO）的最小正

2兀兀

周期7=向，函數(shù)V=Atan（0x+0）（A加，①邦）的最小正周期7=而函數(shù)y=|Asin（①x

兀

+0）|,y=|Acos（（yx+（p）\,y=|Atan（0x+夕）|的周期均為T=而函數(shù)y=HsinQx+夕）

2兀

+砥屏0）,y=|Acos（（yx+夕）+例（原0）的周期均為T=面.

2.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半周期,

相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是銅期.正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距

離是半周期.

3.若/（%）=Asin（cox+9）（AW0,①RO）,則

7T

（i）Hx）為偶函數(shù)的充要條件是9=2+?/?z）；

（2）;（x）為奇函數(shù)的充要條件是9=for（左￡Z）.

＞雙基自測(cè)

1.函數(shù)y=l-sinx,%￡[0,2兀]的大致圖象是（）

37r27r%

答案B

解析當(dāng)x=0時(shí)，y=l；當(dāng)x=為時(shí)，y=0;當(dāng)》=兀時(shí)，y=l;當(dāng)》=當(dāng)時(shí),

y=2;當(dāng)X=2兀時(shí)，y=l.結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知B正確.故選B.

2.下列函數(shù)中，最小正周期為2兀的奇函數(shù)為（）

AA.y=s-inX]cosX]B.y=sin2x

C.y=tan2xD.y=sin2x+cos2x

答案A

解析y=sin2x為偶函數(shù)；y=tan2x的最小正周期為菱；y=sin2x+cos2x為非

奇非偶函數(shù)，故B,C,D都不正確.故選A.

3.（2021.新高考I卷）下列區(qū)間中，函數(shù)於）=7sin（T）單調(diào)遞增的區(qū)間是

B《，兀

答案A

TTTTITTTz.TT.

解析令一1+2%兀+2左兀，攵￡Z,得一g+2EWxW§+2E,%￡Z.

取左=o,貝ij-卜xW興因?yàn)椋╫,g-f,y,所以區(qū)間（o,習(xí)是函數(shù)於）的單

調(diào)遞增區(qū)間.故選A.

4.（人教B必修第三冊(cè)第七章復(fù)習(xí)題A組Tu改編）函數(shù)4沙=cos（2x+§的圖

象的對(duì)稱軸方程為,對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.

答案x=-郛?Z）隹+竽,。卜?Z）

JTJT女冗

解析令2x+,=E/GZ）,解得對(duì)稱軸方程為x=-d+了”GZ）；函數(shù)人為

JTJTJTKTT

的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足2x+w=foi+2（lcZ）,解得工=五+5■（左?Z）,所以對(duì)稱

中心的坐標(biāo)為他+竽，0卜?Z）.

5.（人教A必修第一冊(cè)習(xí)題5.4Tio改編）y=3sin（2T）在區(qū)間0,扛的值

域是.

答案[-13

解析當(dāng)X?0,E時(shí)，2x-y,sin（2x—-；，1,故

3sin（2x-聿）?-|,3,即y=SsinQx-5）在區(qū)間0,為上的值域?yàn)?1,3.

核心考向突破

考向一三角函數(shù)的定義域和值域

例1⑴函數(shù)y=2tan,+1的定義域?yàn)?.

答案+墨左?z]

解析由3x+氏E+方代Z,解得城+號(hào),左?Z,所以函數(shù)y=2tan（3x+3

的定義域?yàn)閉+冬左?z].

(2)函數(shù)y=lgsin2x+的定義域?yàn)?/p>

兀

sin2x>0,左兀vxv左兀+7，%￡Z,jrjr

2

解析由c倚，日4/.-3Wxv-]或0<x<2?**?

t9-%2>0,

—34W3,

的定義域?yàn)?/p>

函數(shù)y=lgsin2x+y]9-x2-3,-flufofl

⑶(2023?北京豐臺(tái)區(qū)二模)若函數(shù)外)=sin%-cos2x,則庶

，fix)

的值域?yàn)?/p>

2

答案01

解析=sing-cos|^2x-J=---=。.火x)=sinx-cos2x=sin%-(1-2sin2x)

=2sin2x+sinx-1,設(shè)t-sinxE[-1,1],貝ljy=It1+t-\,^[-1,1],當(dāng)

tQ-1,4)時(shí)，y=2^+t-\單調(diào)遞減，當(dāng)P1時(shí)，y=2t1+t-\單調(diào)

遞增，所以當(dāng)t=時(shí),3=-1;當(dāng)。=1時(shí),ymax=2.所以外)的值域?yàn)镵，2.

(4)函數(shù))7=sin%-cosx+sinxcosx,xe[0,兀]的最大值與最小值的差為

答案2

解析令■=sin%—cos%,又九￡[0,兀],:?1二色sinQ—彳1,t^[-1,y[2].由

_?！?-t21-t2

t=sinx-cosx,得Z2=1-2sin%cosx,即sinxcosx=-?./.原函數(shù)變?yōu)閥=t+~?-,

=

日[-1,包即y~亍2+1+/./?當(dāng)t—\日寸,'max=—]+1+]=1；當(dāng)t=-1

時(shí)，>min=-;-1+|=-L故函數(shù)的最大值與最小值的差為2.

I觸類旁通I

1.三角函數(shù)定義域的求法

（1）求三角函數(shù)的定義域常常歸結(jié)為解三角不等式（或等式）.

（2）求三角函數(shù)的定義域經(jīng)常借助三角函數(shù)的圖象，有時(shí)也利用數(shù)軸.

（3）對(duì)于較為復(fù)雜的求三角函數(shù)的定義域問(wèn)題，應(yīng)先列出不等式（組）分別求解,

然后利用數(shù)軸求交集.

2.求三角函數(shù)的值域（最值）的三種類型及解題思路

（1）形如y=asira+6cosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin（①x+夕）+c的形式，再求

值域（最值）.

（2）形如》=酒112%+戾血+（:的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=K化為關(guān)于/的二次

函數(shù)求值域（最值）.

（3）形如y=asinxcosx+Z?（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx,

化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）.

即時(shí)訓(xùn)練1.（2023?新鄉(xiāng)三模）已知函數(shù)火x）=4,2%-看|+1的定義域是[0,

m],值域?yàn)閇-1,5],則m的最大值是（）

A2兀C兀

A-TB-3

堞D-T

OO

答案A

解析Vxe[0,m],2機(jī)-&.&）的值域?yàn)閇-1,5],A-

菱Wsin[2x—?.]W2加一不五不，解得4，..加的取大值為至.故選

A.

2.函數(shù)y=1g（sinx-cosx）的定義域是_______.

｛兀5TTI

xW+2far<x<7+2kn,左eZj

解析要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx>0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫

出[0,2兀]上y=5血和y=cosx的圖象,如圖所示:

J

在［0,2兀］內(nèi)，滿足siiw=cosx的x為苧，在售，內(nèi)sinx>cosx,再結(jié)合

正弦、余弦函數(shù)的周期是2兀，所以定義域?yàn)橄?2foi<x號(hào)+2E,左?Z；.

考向二三角函數(shù)的單調(diào)性

例2(1)(2024?濟(jì)南質(zhì)檢)已知函數(shù)於)=2cos(x+看，設(shè)。=劇，。=周，c

貝1J。，b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

答案A

兀兀3兀

解析由2knWx++7i,kRZ得2%兀一kRZ,所以?x)

/兀、兀3兀兀

=2cos［x+dJ的單調(diào)遞減區(qū)間為［2E-不2/OT+yJ(^EZ),所以於)在［0,或上單

調(diào)遞減，所以即。>。>口

(2)函數(shù)產(chǎn)2sin|^-2%)(00,兀］)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

c71兀7兀

A.0,g

B.12112

「「兀5兀5兀

力，TD?3，兀

答案C

解析y=2sine一2x)=-2sin(2x—，由胃+2左兀?2工一號(hào)?:+2左兀，左GZ,

解得？+EWxWV+E，k《Z,即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為^+kn,~^+kn,左GZ,

JTSjT

??.當(dāng)k=0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為錚y

I觸類旁通I

1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法

⑴代換法：將比較復(fù)雜的三角函數(shù)解析式中含自變量的代數(shù)式（如5+0）整

體當(dāng)作一■-?角，利用基本三角函數(shù)。=sinx,y=cosx,y=tanx）的單調(diào)性列不等式

求解.

（2）圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

提醒：要注意求函數(shù)y=Asin（s+e）的單調(diào)區(qū)間時(shí)。的符號(hào)，若0<0,那么

一定要先借助誘導(dǎo)公式將o化為正數(shù).同時(shí)切莫忘記考慮函數(shù)自身的定義域.

2.比較三角函數(shù)值大小的方法

先統(tǒng)一為同名的三角函數(shù)，然后利用誘導(dǎo)公式把角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，

再利用函數(shù)的單調(diào)性比較.

即時(shí)訓(xùn)練1.（2024.山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)）已知段）=cos（2x+0）,廁與

7T

火》）的一個(gè)極值點(diǎn)是不貝?。?/p>

A./）在電，篇上單調(diào)遞增

B.於）在［去篇上單調(diào)遞減

C.於）在（音，野上單調(diào)遞增

D.於）在（卷目上單調(diào)遞減

答案C

兀兀（兀、

解析因?yàn)榛饃）=cos（2x+9）,磔</,?。┑囊粋€(gè)極值點(diǎn)是不所以cos|j+q|=

兀兀兀兀

±1,所以］+9=而，左?Z,即9=_）+E,左GZ.因?yàn)閨夕|<1，所以9=_W,火為

（兀、兀兀兀

=cos（2x—?.由一兀+2ZTIW2冗一gW2Z兀，k^Z,解得一§++左兀，k^Z.

當(dāng)k=0時(shí)，段）在（-*看上單調(diào)遞增，故C正確，D錯(cuò)誤；由2加0-畀兀

+2防I,解得聿+EWxW竽+析，攵￡Z.當(dāng)左=0時(shí)，於）在（季，號(hào)）上單調(diào)遞

減，故A,B錯(cuò)誤.故選C.

2.（2024德州開學(xué)考試）函數(shù)y=|tanx|的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減

區(qū)間為.

答案防I,左兀+野，左?Z[kn-,kn,左?Z

解析作出函數(shù)y=|tan%|的圖象，如圖.

觀察圖象可知，函數(shù)y=|tanx|的單調(diào)遞增區(qū)間為[E,E+方，左?Z,單調(diào)遞

減區(qū)間為,苫，kn,左@Z.

多角度探究突破_______________________________________

考向三三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性

角度1三角函數(shù)的周期性

例3（1）函數(shù)/（x）=cosx+2cos%：的一■-4周期為（）

A.兀B.2兀

C.3兀D.4兀

答案D

解析易知y=cosx,yi=2cosg的最小正周期分別為2兀，4兀，貝4兀的

公倍數(shù)4兀是人外的一個(gè)周期.故選D.

1—cos4x

（2）（2023?南昌模擬）函數(shù)汽x）的最小正周期是（）

A兀C兀

A]B2

C.兀D.2兀

答案B

1-cos4x2sin^2x兀

解析因?yàn)槎危?sin4x=2sin2xcos2x=tan2x,所以最小正周期7=亍

⑶（2023?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）函數(shù)於）=上向|+|cosx|的最小正周期和最小值分

別為（）

A，兀.4.1Br，2兀,,2

三

J1D.兀，1

答案C

解析解法一：因?yàn)?+*Sin（x+野+cos（x+裔胡x）,++習(xí)=

sinQ+習(xí)+cos1+3）=|cosx|+|-sinr|=|cosx|+|sinx|=fix）,故排除A,D;最

小正周期為自，當(dāng)x?0,■^時(shí)，於）=sinx+cosx=disin（x+點(diǎn)），當(dāng)x=0或翔，

7U）取得最小值1,所以函數(shù)1》）的最小值是1.故選C.

兀

表sin2kjiWxW2kTi+],

兀一

表sin

-4;2kli+2<xW2kn+兀，

解法二：由題設(shè),?

3兀

,in,2E+兀v%W2E+，

,2左兀+竽vxW2

in廠（女+1）兀

kRZ,所以人冷的部分圖象如下:

JT

所以最小正周期和最小值分別為5,1.故選c.

觸類旁通I求三角函數(shù)周期的常用方法

正弦型、余弦型、正切型函數(shù)的最小正周

公式法期分別是需,舒,俞

由幾個(gè)三角函數(shù)的和組成的函數(shù)，可先找

最小公

出每個(gè)函數(shù)的最小正周期，求出所有最小

倍數(shù)法

正周期的最小公倍數(shù)即可

通過(guò)函數(shù)的圖象觀察得到函數(shù)的最小正

圖象法

周期

對(duì)于較特殊的函數(shù)，不能用上述方法求解時(shí),

定義法

可用周期的定義驗(yàn)證函數(shù)的最小正周期

即時(shí)訓(xùn)練1.（2023?長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)一模）函數(shù)sin2x+1的最小正周期為

（）

A.7iB.2兀

7T

C，2D.不能確定

答案A

解析作出函數(shù)>=sin2x+1的圖象如圖所示，得到函數(shù)的最小正周期為TT.

故選A.

2.（2023?江西上高一模）若函數(shù)於）=21211（丘+§的最小正周期T滿足1<T<2,

則自然數(shù)上的值為.

答案2或3

兀71

解析由題意得1<%<2,左?N,：.^<k<n,左GN,，％=2或3.

角度2三角函數(shù)的奇偶性

例4（1）函數(shù)/0）=25由23+1—1是（）

A.最小正周期為2n的奇函數(shù)

B.最小正周期為TT的偶函數(shù)

C.最小正周期為2TT的偶函數(shù)

D.最小正周期為TT的奇函數(shù)

答案D

解析fix)=2sin2(j+J-1=一1-2sin2(j+J=一cosq+2x)=sin2x,可得

2兀

段)的最小正周期為萬(wàn)=兀因?yàn)榛?X)=sin(-2x)=-sin2x=-於),所以於)是奇

函數(shù)，所以八%)是最小正周期為兀的奇函數(shù).故選D.

(2)(2023?威海三模)已知函數(shù)Hx)=sinr-cos(2x+0)(°G[O,n])為偶函數(shù),則

9=()

兀

A.0B，

71

(2^2D*兀

答案C

解析.?&)的定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù)，..附=]第3(兀+0)=-cos(-

兀兀

兀+9)n-cos°=cos9=>cos9=0,丁9￡[0,兀],，夕=].當(dāng)夕=]時(shí),八％)=-sinxsin2x

為偶函數(shù)，滿足題意.故選C.

I觸類旁通I解答三角函數(shù)奇偶性問(wèn)題的常用方法

(1)依據(jù)奇(偶)函數(shù)的定義，即由五-x)=-五X)

(或火-X)=人動(dòng)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量X都成立，建立關(guān)于參數(shù)的方程.

(2)由奇(偶)函數(shù)的必要條件入手，求出參數(shù)的可能取值，再進(jìn)行驗(yàn)證.

(3)三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為丁=44118或丁=42115的形式，而偶函數(shù)

一般可化為y=Acosox+6的形式.據(jù)此結(jié)合誘導(dǎo)公式可以確定參數(shù)的值.

(4)在,=45[!1(0_￥+9)(或,=4<：050%+6)中代入％=0,若y=0,貝為奇函數(shù)，

若y為最大或最小值，則為偶函數(shù).

「即時(shí)訓(xùn)練若函數(shù)y=3cos(2x-^+J為奇函數(shù)，則|0|的最小值為..

,..71

答案6

兀兀5兀_

解析依題意得，一w+9=E+1?eZ）,9=而+石（左?Z）,因此|刎的最小

值殿

角度3三角函數(shù)的對(duì)稱性

例5（1）（多選）（2024?濟(jì)南模擬）已知函數(shù)於）=或血+＜：05式0＞0）的最大值為

2,則（）

A.a=y[3

B.丁=於）的圖象關(guān)于點(diǎn)用0）對(duì)稱

7T

C.直線x=4是y=Hx）圖象的一條對(duì)稱軸

D.丁=於）在[,4上單調(diào)遞增

答案AD

解析易得兀0=asin%+cosx=yja1+lsin（x+9）/119=，則J（x）^：yja2+1=

2,解得"小，故A正確；由A項(xiàng)分析知於）=2sin[x+|）,當(dāng)》=聿時(shí)，局=

2s試=小，故B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤;當(dāng)x?[o,§時(shí)，%+/用羅，由正弦函數(shù)的

性質(zhì)可得，此時(shí)y=Hx）單調(diào)遞增，故D正確.故選AD.

（2）（2022?新高考I卷）記函數(shù)外）=sin"+；）+0（①＞0）的最小正周期為T.若

y＜r＜7i,且丁=%）的圖象關(guān)于點(diǎn)修，2）中心對(duì)稱，則局=（）

3

A.1B，2

C.|D.3

答案A

27T271271

解析因?yàn)椴唬糡＜兀，所以不＜?。钾?，解得2＜。＜3.因?yàn)閥=?x）的圖象關(guān)

，3兀、，3兀兀、，3兀兀、

于點(diǎn)［甘，2)中心對(duì)稱，所以6=2,且sin匠①+或+6=2,即sin^0+編=0,

LL、|3兀71,z__「ccLL、rl3jl3兀兀19兀LL、13兀兀,

所以Z①+1=左兀(％￡Z),又2V①V3,PJTI^~<YC0+4<~,所以E①+［=4兀，

解得①=|,所以於)=sin(|x+手+2,所以局=sin(|x畀手+2=s祥+2=1.

故選A.

I觸類旁通I求三角函數(shù)圖象對(duì)稱中心、對(duì)稱軸的方法

(l)y=sinx圖象的對(duì)稱中心是(fat,0),左?Z,對(duì)于y=Asin(0x+0)圖象的對(duì)

稱中心，由方程。％+9=攵兀，左?Z解出x即可.

兀兀

(2))7=sin%圖象的對(duì)稱軸是直線工二左兀+/,左￡Z,由cox+(p=尿+牛女￡Z

解出二即可得到函數(shù)y=Asin(cox+9)圖象的對(duì)稱軸.

(3)注意y=tanx圖象的對(duì)稱中心為曰Oj(^EZ).

即時(shí)訓(xùn)練(2024.邯鄲模擬)寫出函數(shù)八%)=詈工圖象的一個(gè)對(duì)稱中心：

1—sinx

答案］4,0)(答案不唯一)

x.xX.X%x兀

cos9二-sm9「cos^+sin7;1+tan/tan/+tan4

COSX2222

解析?

1-tan11-tan^tan4

（無(wú)兀、vjp左兀7L7C

tan|j+4J,令]+a=y（左?Z）,則x=_]+for/?Z）,令左=0,則x=—],所以

函數(shù)危溷象的一個(gè)對(duì)稱中心是0；

課時(shí)作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1-函數(shù)五x)=In(cosx)的定義域?yàn)?)

A.\x\hi一+胃，kGZ

B.{%|左兀+兀,kRZ}

兀兀

C.ix2%兀一5Vx<2E+5,kRZ

D.{x|2E<x<2E+兀，左￡Z}

答案c

兀兀

解析由cosx>0,解得2E—]<x<2左兀+],左?Z,所以函數(shù)?x)=ln(cosx)的

定義域?yàn)椴凡纷筘?3<X<2E+3,左?z].

2.(2023?四川成都模擬)在函數(shù)y=sin|x|,y=|sinx|,y=tan(x+],y=cos(2x+§

中，最小正周期為兀的函數(shù)的個(gè)數(shù)為()

B.2

C.3D.4

答案C

解析函數(shù)y=sin|x|的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù).

-SV~Pi~0

令fix)=|sinx|,則找x+7i)=|sin(x+兀)|=|-sinx|=|sinx|=f^x),則函數(shù)y=|sinx|

的最小正周期為兀，y=tan(x+§的最小正周期為T=f=兀，y=cos(2x+§的最小

2兀

正周期為T=了=兀故選C.

3.(2023?蘭州模擬)如圖所示，函數(shù)y=cosx,|tanx(0Wx<?且月與)的圖象是

答案C

兀、3兀

sinv,0&%<2或兀忘X<2，

解析丁=cosx|tanx|=5根據(jù)

TL

-sin%,2<X<JI，

正弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)圖象如圖所示.故選C.

4.（2023?長(zhǎng)沙模擬）正割（Secant）及余割（Cosecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)

家、天文學(xué)家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在

《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定義正割seca=±,

余割csca=熹.則函數(shù)於）=+：+去：的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-1,1]B.[-y/2,y/2]

C.[-2,2]D.[-啦，-1）U（-1,1）U（1,啦]

答案D

解析Hx）=+最\=cosx+sinx=gsin（x+：）,其中sin%#0,cosx力0,

所以-V2<?<V2,且於并±1，即於）的值域?yàn)閇-蛆，-1）U（一1,1）U（1,陋].故

選D.

5.（2023?太原二模）已知函數(shù)段）=cosx-2cos2自-助+1,則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.產(chǎn)+-"為奇函數(shù)B."為偶函數(shù)

cy=/x+；）—1為奇函數(shù)D-y=，x+：）—1為偶函數(shù)

答案B

伊必l+cos|j-x）

解析因?yàn)殪叮?cosx-2cos2l-2I+1=cosx-2x-----------+1=cosx-

sinx=6cos1+,所以火x）=6cos1+手,所以，x-4}=也cos（J-4）+4=也

cosx,所以y=《x-番為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤,B正確;又y=[x+：）-1=dicos[x+1]

-1=-V2sinx-1,所以函數(shù)y=/x+^-l為非奇非偶函數(shù)，故C,D錯(cuò)誤.故

選B.

6.（2023?全國(guó)乙卷）已知函數(shù)八x）=sin（5+0）在區(qū)間（會(huì)引單調(diào)遞增，直線

》=聿和》=用為函數(shù)丁=加）的圖象的兩條對(duì)稱軸，貝4-司=（）

A.一半B,4

C.；D.坐

答案D

T2冗7L712兀7L

解析由題意，2=y_6=2,不妨設(shè)0>0，則7=兀，8=7=2,當(dāng)x=d時(shí),

兀兀5兀

1Ax）取得最小值，貝1J2石+9=2左兀_],左?Z,貝1」9=2癡_不，左?Z,不妨取左=0,

則於）=sin（2尤一事則（一尚=sin（一苧）=坐故選D.

7.（2024徐州模擬）設(shè)a,煩勻?yàn)殇J角，則“a>2廠是“sin（a-￡）>sinQ”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

TTTTTT

解析因?yàn)閍,4均為銳角，所以0<?<2,0<夕<].當(dāng)o>2B時(shí)，2>?-^>0.

（兀兀、

因?yàn)楹瘮?shù)丁=$皿-在?上單調(diào)遞增，所以sin（a-份）sin￡,故“a>2廠是“sin（a

TTTTTTTT

-份〉sin.”的充分條件；當(dāng)sin（a-￡）>sin￡時(shí)，由0<a<],0<A<],得一]<a-4<5,

（兀兀\

因?yàn)楹瘮?shù)y=siiw在[-5,之上單調(diào)遞增，所以a-夕川,即a>2△故國(guó)>2廠是“sin（a

一份〉sin￡”的必要條件.綜上所述，“a>2廠是“sin（a-份〉sin.”的充要條件.

8.（2023?榆林四模）已知函數(shù)4x）=cosfcox+9-"cosRx+9+如。>0）的最小

正周期為兀，且曲線丁=%）關(guān)于直線工￡對(duì)稱，貝巾el的最小值為（）

兀

A兀n5

A6B24

lJLc兀

ur-24D.§

答案B

兀

兀)

解析+75+9_%+2,cos\ax+(p-

兀兀兀)

--sinfcox+9-+9-(

cos\COX+61+2cox+2p—I.*?*fix)

2兀則於）=一；（夕虧兀：曲線=段）

的最小正周期是兀，，五=兀,??co=1,sin2x+2J.y

關(guān)于直線工=1對(duì)稱，.,.ZxW+Z。一m=左兀+方，左GZ,...夕ku7兀

=T+24，k《Z,貝lj當(dāng)左

77T571571

0時(shí)，101=五，當(dāng)左=一1時(shí)，101=萬(wàn)，貝小9怕勺最小值為五.故選B.

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2024.山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)）已知函數(shù)外）=tan（2T）,則下列說(shuō)法正

確的是（）

7T

A.兀0的最小正周期為]

B.於）在信號(hào)上單調(diào)遞減

D.4x）的定義域?yàn)椴凡范?桁，左?z:

答案AC

解析因?yàn)橥猓?tan[2xV）,對(duì)于A,於）的最小正周期為T=l，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)x黑，時(shí)，2x-聿無(wú)，9，因?yàn)閥=tanz在z?（0,期上單調(diào)遞增,

故於）在（右§上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)榧樱┑淖钚≌芷跒門=E

所以周述一野故。正確；對(duì)于D,令2x-藉+E,上Z,解得

詔+竽，左?Z,所以外）的定義域?yàn)椴肪?當(dāng)―z],故D錯(cuò)誤.故選AC.

10.（2024?保定模擬）若函數(shù)人%）=25：1113.053%+2＜：0523；1-1,貝1J（）

A.於）=A/2COS^6X+

71

B.Hx）的最小正周期為]

7T

C.於）的圖象關(guān)于直線％=方對(duì)稱

D.於）在[-告，0上單調(diào)遞增

答案BCD

解析由題意得於）=sin6x+cos6x=M^sin（6x+：）=d^cosbx-；）,所以於）

TTTTTTTT

的最小正周期為A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?q+a=,所以五X）的圖象關(guān)于直線

工=壺對(duì)稱，C正確；由x?-專，0,得6x+*,所以於）在-全，0

上單調(diào)遞增，D正確.

11.（2023?湖南邵陽(yáng)一模）隨著時(shí)代與科技的發(fā)展，信號(hào)處理以各種方式被廣

泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.而信號(hào)處理

4sin[⑵-1)x]

背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)，?=z—1—的圖象就可以近似的模擬

i=1一

某種信號(hào)的波形，則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)Xx)的圖象關(guān)于直線x=W對(duì)稱

B.函數(shù)人x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱

C.函數(shù)人x)為周期函數(shù)，且最小正周期為兀

D.函數(shù)人x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的最大值為4

答案ABD

-

解析因?yàn)楹瘮?shù)段)=z4sin[(2z1)x]=S加+曾sin3x+2si詈n5x+號(hào)sinU7x定義域

i=1」

、sin(3TI+3x)sin(5兀+5%)sin(7兀+7%)

為R,A+x)=sin(TT+x)+++]

.sin3xsin5xsin7x.、sin(-3x)sin(-5x)

=-sinx-一j=sin(z-x)+++

sin(-7x)兀

-------7-------=八-x),所以函數(shù)Hx)的圖象關(guān)于直線x=]對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B,

“、.，、sin(-3x)sin(-5x)sin(-7x)sin3xsin5x

j\—x)=sin(-x)++y=_sinx-—

sin7x

所以函數(shù)4X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，故B正確；對(duì)

于C,由題意知1Ax+?=-Hx)新X),故c錯(cuò)誤；對(duì)于D,由題意可知/(x)=cosx

+cos3x+cos5x+cos7xW4,故D正確.故選ABD.

三、填空題

12.函數(shù)於)=sin(2x+用-3cosx的最小值為.

答案-4

解析=sin(2x+竽)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos-3cosx+1=

C3、2I?

—2lcosx+I+,—1WcosxW1,??當(dāng)cosx=1時(shí)，兀v)有最小值—4.

13.已知火x)=sin^(x+1)小cos5(x+D],則段)的最小正周期為

，加)+m)+…+12023)=.

答案6小

7T

解析依題意可得人x)=2sin1x,其最小正周期T=6,且11)+五2)+…+16)

=0,故加)+/2)+."2023)=加)=5.

14.(2023?泰州模擬)當(dāng)。=%時(shí),?=sin26-cos20取得最大值,則sin(2%+手

答案W

解析人。)=sin26-3(1+cos26)=sin26-cos26-^=乎

^^sin20-害cos2H-3=坐'sinQ。-9)一；［其中coscp半,sin,

，當(dāng)購(gòu)

7171

取得最大值時(shí)，2%-9=5+2而，左￡2,所以2%=9+]+2而，左@2,所以sin26o

2小當(dāng)，所以

sin1。+2+2%兀J=coscpcos20o=cos"+2+=-sin^=

5

sin(26o+率的+景。s2%=冬平+久一啕=喀

四、解答題

15.已知函數(shù)?x)=sin12x-§+坐.

⑴求函數(shù)人x)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱中心；

(2)若Hxo)W小，求xo的取值范圍.

解(1)函數(shù)火x)的最小正周期丁=兀

由2x—女=Mr,kQZ得x=亳+當(dāng)左?Z,

故函數(shù)外)圖象的對(duì)稱中心為償+竽，*k?Z.

(2)因?yàn)槲鍃o)W小，

4兀7171

所以一亍+2knW2xu-2^3+2%兀，kRZ,

n兀7C

BP-2+E,K^Z.

I兀兀

即％0的取值范圍為jxo-/+E<M)<Q+內(nèi)I,女ezj.

16.已知函數(shù)火%)=2sinxcosx+cos(2x-+cos(2x+^j,%￡R.

⑴求《金)的值；

兀

(2)求函數(shù)人乃在區(qū)間后，可上的最大值和最小值，及相應(yīng)的x的值；

兀

(3)求函數(shù)於)在區(qū)間岳可上的單調(diào)區(qū)間.

解(1)V/(x)=2sinxcosx+cos[lx-+cos[lx+=sin2x+cos2xcos^+

sin2xsin看+cos2xcos看